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1、 数 学 建 模 之 概 率 模 型 主讲人主讲人： 侯致武侯致武Email: 现实世界的变化受着众多因素的影响，包括现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。本章讨论如何用随机变
2、量和概率分布描述随型。本章讨论如何用随机变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型机因素的影响，建立随机模型概率模型概率模型。概率模型概率模型确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型概率模型概率模型一、概率论基本知识一、概率论基本知识二、概率模型的典型案例二、概率模型的典型案例一、概率论基础知识一、概率论基础知识1、古典概
3、型、古典概型)()()|(BPABPBAP例：现有例：现有100100个零件，其中个零件，其中9595个长度合格，个长度合格，9494个直径和格，个直径和格，9292个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径合格的概率。合格的概率。设设A=A=长度合格长度合格，B=B=直径合直径合格格9592)()()|( APABPABP10092)(,10095)( ABPAP条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 设设B B1 1,B,B2 2,B,Bn n为样本空间为样本空间S S的一个
4、划分，且有的一个划分，且有P(BP(Bi i)0)0， i=1,2,n,i=1,2,n,则对则对E E的任一事件的任一事件A A，有，有: : niiiBAPBPAP1)()()(niBPBAPBPBAPAPABPABPnjjjiiii, 2 , 1,)()()()()()()(1贝叶斯公式贝叶斯公式全概率公式全概率公式例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂例：某电子设备制造厂所用的某种晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂元件制造厂次品率次品率 提供份额提供份额甲厂甲厂0.020.020.150.15乙厂乙厂
5、0.010.010.800.80丙厂丙厂0.030.030.050.05设这三家的产品在仓库中是均匀混合的设这三家的产品在仓库中是均匀混合的, ,且无区别的标志。现在仓库中随机地抽且无区别的标志。现在仓库中随机地抽取一只晶体管取一只晶体管, , (1)(1)求它是次品的概率；求它是次品的概率；(2)(2)若已知取到的是次品若已知取到的是次品, ,问此次品是哪个厂生产的可能性更大？问此次品是哪个厂生产的可能性更大？设设A=“A=“取到的是一只次品取到的是一只次品”,B,Bi i=“=“所取产品由第所取产品由第i i厂提供厂提供”, ,易知易知B B1 1,B,B2 2,B,B3 3是样本空间的一
6、个划分是样本空间的一个划分。解解(1)(1)由全概率公式由全概率公式: :=0.15=0.150.02+0.800.02+0.800.01+0.050.01+0.050.03=0.01250.03=0.0125(2)(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式: :24. 00125. 015. 002. 0)()()()(111 APBPBAP|ABP 31)()()(iiiBAPBPAp同理同理 P(BP(B2 2|A)=0.64, P(B|A)=0.64, P(B3 3|A)=0.12 .|A)=0.12 .以上结果表明，这只次品来自以上结果表明，这只次品来自乙厂乙厂的可能性最大。的可能性最大。贝努利
7、试验贝努利试验: 设随机试验设随机试验E只有两种可能的结果只有两种可能的结果:A及及 ,且且P(A)=p,（0p1), 将试验将试验E独立地重复进行独立地重复进行n次次, 简称简称n重重贝努贝努利试验利试验(Bernoulli)。 n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A A出现的次数服从出现的次数服从二项分布二项分布AnkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1( 二项分布二项分布2、随机变量及其分布、随机变量及其分布泊松分布泊松分布n重贝努利试验中重贝努利试验中小概率事件小概率事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布.)0,.,2 , 1 , 0( ,!为为常常数数
8、kekkXPk为为常常数数）0(0, 00,)( xxexfx指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命， 动物的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等动物的寿命，电话问题中的通话时间，服务时间等. .如如：同龄人的身高同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。、体重、考试分数、某地区年降水量等。如果决定试验结果如果决定试验结果X的是的是大量随机因素的总和大量随机因素的总和，假设，假设各个因素之间近似各个因素之间近似独立独立，并且每个因素的单独作用，并且每个因素的单独作用相对均匀相对均匀地小，地小，那么那么X的分布近似正态分布。的分布近似正
9、态分布。,21)(222)( xexf)2 ，（记记为为NX描述了随机变量描述了随机变量的的概率取值中心概率取值中心均值均值数学期望数学期望3、数学期望的概念和计算、数学期望的概念和计算 1)(kkkpxXE dxxxfXE)()( dxxfxgXgEYE)()()()( 1)()(kkkpxgXgEYE XgY 4、MATLAB中相关的的概率命令中相关的的概率命令MATLAB工具箱对每一种分布都提供工具箱对每一种分布都提供5 5类函数，其命令字符为：类函数，其命令字符为：概率密度：概率密度：pdf 概率分布概率分布：cdf逆概率分布逆概率分布：inv 均值与方差均值与方差：stat随机数生成
10、：随机数生成：rnd 当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可标量、数组或矩阵）和参数即可. .在在MATLAB中输入以下命令：中输入以下命令：x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z)1密度函数：密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当当mu=0,sigma=1时可缺省时可缺省)如对均值为如对均值为mumu、标准差为、标准差为
11、sigmasigma的正态分布，举例如下：的正态分布，举例如下：3逆概率分布：逆概率分布：x=norminv(P,mu,sigma). 即求出即求出x ，使得，使得PX b(购进价购进价) c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是
12、随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2准准备备)()(rncbrnrbarnr赔退回赚售出nbannr)( 赚售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-cnndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解
13、求解将将r视为连续变量视为连续变量( )( )f rp r0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()( (概率密度概率密度) )cbbadrrpdrrpnn)()(0结果解释结果解释nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱ncbnba)(,)(0rp9.3 随机存贮策略随机存贮策略问问题题以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；以周为时间单位；一周的商品
14、销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。周末根据库存决定是否订货，供下周销售。（s, S) 存贮策略存贮策略制订下界制订下界s, 上界上界S，当周末库存小于，当周末库存小于s 时订货，时订货，使下周初的库存达到使下周初的库存达到S; 否则，不订货。否则，不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s, S) 存贮策略存贮策略, ,使使( (平均意义下平均意义下) )总费用最小总费用最小模型假设模型假设 每次订货费每次订货费c0, 每件商品购进价每件商品购进价c1,每件商品每件商品一周贮存费一周贮存费c2,每件商品缺货损失费每件商品缺货损
15、失费c3 (c1c3) 每周销售量每周销售量 r 随机、连续，概率密度随机、连续，概率密度 p(r) 周末库存量周末库存量x, 订货量订货量 u, 周初库存量周初库存量 x+u 每周贮存量按每周贮存量按 x+u-r 计计 0)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(建模与求解建模与求解（s, S) 存贮策略存贮策略0usx确定确定(s, S), 使目标函数使目标函数每周总费用的平均值最小每周总费用的平均值最小平均平均费用费用 订货费订货费c0, 购进价购进价c1, 贮存费贮存费c2, 缺货费缺货费c3, 销售量销售量 r Suxu
16、sx, 0s 订货点，订货点， S 订货值订货值12130)()(ccccdrrpdrrpSSuxuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(建模与求解建模与求解1）设）设 xs, 求求 u 使使 J(u) 最小，确定最小，确定SSSdrrpccdrrpcc01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJScSc23,建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJSP1P20rp21PP2）对库存）对库存 x，确定订货点确定订货点s)()(101SLxSccJ若订货若订货u, u+x=S, 总费用
17、为总费用为 )(2xLJ 若不订货若不订货, u=0, 总费用为总费用为 12JJ )()(1xIxLxc记)()(0SIcxI订货点订货点 s 是是的最小正根的最小正根建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不订货不订货)()(101SLSccxLxc)()(0SIcxI)()(0SIcxI最小正根的最小正根的图解法图解法J(u)在在u+x=S处达到最小处达到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在在x=S处达到最小值处达到最小值I(S)I(x)图
18、形图形建模与求解建模与求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()(1xLxcxIJ(u)与与I(x)相似相似I(S)()(0SIcxI的最小正根的最小正根 s9.4 轧钢中的浪费轧钢中的浪费轧制钢材轧制钢材两道工序两道工序 粗轧粗轧(热轧热轧) 形成钢材的雏形形成钢材的雏形 精轧精轧(冷轧冷轧) 得到钢材规定的长度得到钢材规定的长度粗轧粗轧钢材长度正态分布钢材长度正态分布均值可以由轧机调整均值可以由轧机调整方差由设备精度确定方差由设备精度确定粗轧钢材长粗轧钢材长度大于规定度大于规定切掉多余切掉多余 部分部分粗轧钢材长粗
19、轧钢材长度小于规定度小于规定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精轧精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背背景景分析分析设已知精轧后钢材的规定长度为设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为粗轧后钢材长度的均方差为 记粗轧时可以调整的均值为记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的，则粗轧得到的钢材长度钢材长度x为正态随机变量，记作为正态随机变量，记作 xN(m, 2)切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率)(lxPP整根报废整根报废的概率的概率)(lxPPPPm,存在最佳的存在最佳的m使总的浪费最小使总的浪费最小lPPP
20、m,0p(概率密度概率密度)mxP mPP lldxxxpdxxplxW)()()(ldxxlpdxxxp)()(建模建模选择合适的目标函数选择合适的目标函数切掉多余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费 =+lPm粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧粗轧N根根成品材成品材 PN根根成品材长度成品材长度l PN总长度总长度mNNlPNmN lPm共浪费长度共浪费长度 mN-lPNlPmPNlPNmN)()(mPmmJ记222)(21)(,)()(mxlexpdxxpmP选择合适的目标函数选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费
21、长度lPmNlPNmN得到一根成品材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数更合适的目标函数优化模型：求优化模型：求m 使使J(m) 最小（已知最小（已知l , ）建模建模粗轧粗轧N根根得成品材得成品材 PN根根实际上，实际上，J（m）恰好是平均每得到一根成品材所需钢材的长度恰好是平均每得到一根成品材所需钢材的长度22()212x mlmedx,mxylm,)()(J2221)()()(yzeydyyz)()(mPmmJ222)(21)()()(mxlexpdxxpmPz)()()(zzzJ)()(J求解求解求求 z 使使J(z) 最小（已知最小（已知 ） 求解求解微分法求极值微
22、分法求极值)()()(zzzJ0)()()(zzz)(/ )(zzz)()(zz0dzdJ2221)()()(yzeydyyz)(/ )()()(zzzFzzF简表)()()(zzzFz*z例例设设l=2(米米), =20(厘米厘米)，求求 m 使浪费最小。使浪费最小。 =l/ =10z*=-1.78 *= -z*=11.78m*= * =2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)zzF)(1.
23、02.00-1.0-2.0105F(z)z算出 再代入 即得到 的最优值zm9.5 随机人口模型随机人口模型背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t) 时刻时刻 t 的人口的人口, 随机变量随机变量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律；得到的变化规律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差若若X(t)=n, 对对t到到t+ t的出生和死亡概
24、率作以下假设的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比，记成正比，记bn t ;出生二人及二人以上的概率为出生二人及二人以上的概率为o( t).2)死亡一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比，记成正比，记dn t ;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o( t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。bn与与n成正比，记成正比，记bn= n , 出生概率出生概率；dn与与n成正比，记成正比，记dn= n， 死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设)()1)()()()(1111totdtbtPtdtPtb
25、tPttPnnnnnnnn建模建模为得到为得到Pn(t)=P(X(t)=n),的变化规律，的变化规律，考察考察Pn(t+ t) =P(X(t + t)=n).事件事件X(t + t)=n的分解的分解X(t)=n-1, t内出生一人内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人，出生或死亡二人，出生且死亡一人，出生且死亡一人， )概率概率Pn(t+ t) Pn-1(t)bn-1 t Pn+1(t)dn+1 t Pn(t)1-bn t -dn t o( t)()()() 1()() 1(11tnPtPntPndtdPn
26、nnn)()()()(1111tPdbtPdtPbdtdPnnnnnnnn一组递推微分方程一组递推微分方程求解的困难和不必要求解的困难和不必要00, 0, 1)0(nnnnPn(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察X(t)的期望的期望E(X(t)和方差和方差D(X(t)bn= n，dn= n微分方程微分方程建模建模1)()()()(nntEtnPdtdE)()()()1()()1(121111tPntPnntPnndtdEnnnnnn1)()(nntnPtEX(t)的期望的期望求解求解)()()() 1()() 1(11tnPtPntPndtdPnnnn基本方程基本方程1)()1(kktPkkn-1=k1nndtdPndtdEn+1=k)()1(1tPkkkk求解求解0)0()()(nEtEdtdErtextx0)( 比较：确定性指数增长模型比较：确定性指数增长模型)()()(212tEtPntDnnX(t)的方差的方差E(t)- (t) - = r D(t) rentErt,)(0E(t)+ (t)Et0n0 , D(t) 1)()()(0tteentDX(t)大致在大致在 E(t) 2 (t) 范围内（范围内（ (t) 均方差）均方差）r 增长概率增长概率r 平均增长率平均增长率