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1、专题九 力的运算合成与分解（精讲）一、力的合成1合力与分力定义（1）共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者几个力作用在物体上的不同点，但这几个力的作用线延长后相交于同一点，这几个力就叫共点力，所以，共点力不一定作用在同一点上，如第三图所示的三个力F1、F2、G就为共点力。（2）合力和分力定义：当一个物体受到几个力的共同作用时，我们可以找到这样一个力，这个力产生的效果，跟原来几个力共同作用产生的效果相同，则这个力叫那几个力的合力，那几个力是这一个力的分力。注意：合力与分力是等效替代关系，并不同时作用于物体上，因此不能把合力和分力同时当成物体受的力。2力的合成定则（1）力的合成定义（1）力的
2、合成：求几个力的合力的过程叫力的合成。（2）特性：力的合成是唯一的。只有同一物体所受的力才可合成。不同性质的力也可以合成。（2）力的合成定则平行四边形定则：求两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的线段作邻边，作平行四边形，夹在两分力之间的对角线就表示合力的大小和方向。这叫做力的平行四边形定则。应用范围：定则是一切矢量的运算法则，不仅适用于力的合成，也适用于速度、加速度等矢量合成。定则只能计算几个共点力合力，对于非共点力，合力没有意义。三角形定则：平行四边形定则可简化为三角形定则。若从O点出发先作出表示力F2的有向线段，再从F2端点出发作表示力F1的有向线段，连接F2的始端和F1的末端，则
3、该有向线段即表示合力F的大小和方向。或求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的有向线段首尾依次相接地画出，从F1的起点到F2的终点作有向线段，则此有向线段表示合力的大小和方向，如图乙所示。不在同一直线上的两个分力与其合力，一定围成一个封闭的三角形。类推，不在同一直线上的n个力与其合力，一定围成一个封闭的（n+1）边形。3共点力合成的方法（1）作图法（图解法）。作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度。表示分力和合力有向线段共点且要画成实线，与分力平行对边要画成虚线，力线段上要画上刻度和箭头。从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和
4、F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向，如图所示。（2）计算法：先根据力的平行四边形定则作出力的合成示意图，然后运用数学知识求合力大小和方向。（3）求解合力的两种方法的比较作图法求合力，须严格用同一标度作出力的图示，作出规范的平行四边形，才能较精确的求出合力的大小和方向计算法求合力，只需作出力的示意图，对平行四边形的作图要求也不太严格，重点是利用数学方法求解，往往适用于两力的夹角是特殊角的情况【题1】如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住物体静止不动。在这三种情况下，若绳的张力
5、分别为FT1、FT2、FT3，定滑轮对轴心的作用力分别为FN1、FN2、FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则AFT1FT2FT3， FN1FN2FN3BFT1FT2FT3，FN1FN2FN3CFT1FT2FT3，FN1FN2FN3DFT1FT2FT3，FN1FN2FN3【答案】A4两个以上共点力的合成有两种方法（1）先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。（2）把分力依次首尾相接（平移），从第一个的始端连向最后一个力的末端，就得到合力。【题2】如图，有五个力F1、F2、F3、F4、F5作用一点O，构成一个正六边形的两邻边和
6、三条对角线，设F310 N，试求这五个力的合力。【答案】30 N，方向沿F3的方向【解析】此题若应用平行四边形定则，根据正六边形的几何特征及三角形的有关知识进行计算求解，将会涉及繁杂的数学运算，我们巧用物理概念、物理规律和物理方法作出平行四边形分析、研究、推理和论证，合理地选择了合成的顺序就使解题变得极为简单明了，巧妙而富有创意。本题中可以看出此题巧妙的地方在于F1与F4的合力与F3大小相等，方向相同，同理，F2与F5的合力也与F3大小相等，方向相同依据六边形的性质及力的合成的平行四边形定则，可求得五个力的合力等效为三个共点同向的F3的合力即所求五个力的合力大小为30 N，方向沿F3方向（注意
7、：合力与合成顺序无关）。【题3】六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60，如图。试确定它们的合力的大小和方向。【答案】6F，与大小为5F的那个力同向。5合力与分力的关系 （1）合力与分力的三性等效性：合力的作用效果与分力的共同作用效果相同相互替代关系；同体性：各个分力作用在同一个物体上受力物体相同；作用在不同物体上的力不能求合力。瞬时性：某个分力变化了，合力同时也发生变化瞬时对应关系。（2）合力与分力的大小关系两个共点力合力范围的确定两个共点力的合力范围：|F1F2|FF1F2。当两个力反向时，合力最小，为|F1F2|；当两力同向时，合力最大，为F1F2
8、。两个力的合力不一定等于这两个力的代数和。合力可能大于每一个分力，也可能小于每一个分力，也可能等于每一个分力，也可能比一个分力大，比另一个分力小。【题4】关于合力与其两个分力的关系，正确的是A合力的大小一定大于小的分力、小于大的分力B合力的大小随两分力夹角的增大而增大 C合力的大小一定大于任意一个分力D合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力【答案】D【解析】根据平行四边形定则可知：两个共点力的合力的大小不一定大于小的分力，如下图甲，也不一定小于大的分力，如下图乙；合力的大小也不随夹角的增大而增大如下图丙；并且也不一定大于任意一个分力。二个分力大小一定时，合力大小随两分力间夹角增大而减小
9、。合力一定时，二等大分力的夹角越大，二分力越大。两个力的合力的方向不一定沿分力方向，一般与两个分力的方向都不相同。【题5】如图所示，两个共点力F1、F2的大小一定，夹角是变化的，合力为F。在角从0逐渐增大到180的过程中，合力F的大小变化情况为A从最小逐渐增加到最大 B从最大逐渐减小到零C从最大逐渐减小到最小 D先增大后减小【答案】C（3）三个共点力的合成范围最大值：三个力同向时，其合力最大，为FmaxF1F2F3。最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的和的绝对
10、值。【题6】三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法中正确的是AF大小的取值范围一定是0FF1F2F3BF至少比F1、F2、F3中的某一个大C若F1F2F3368，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零D若F1F2F3362，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零【答案】C（4）等大的两个共点力合成时的三个特殊值。夹角60时，F合F1F2，如图a。夹角90时，F合F1F2，如图b。 夹角120时，F合F1F2，如图c。两个等大的力合成：若两分力夹角小于120，合力比分力大。若两分力夹角等于120，合力与分力一样大。若两分力夹角大于120，合力比分力小。夹
11、角为的大小相同的两个力合成：由几何关系知OACB为菱形，其对角线AB、OC垂直平分，则合力大小F2F1cos，方向与F1夹角为。【题7】如图，体操吊环运动有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环（图甲），然后身体下移，双臂缓慢张开到图乙位置，则在此过程中，吊环的两根绳的拉力FT（两个拉力大小相等）及它们的合力F的大小变化情况为AFT减小，F不变 BFT增大，F不变CFT增大，F减小 DFT增大，F增大【答案】B【题8】如图所示，在粗糙水平面上有A、B、C、D四个小物块，它们用四根相同的橡皮绳连接成一个菱形并保持静止。已知DAB120，每根橡皮绳的弹力大小为F，当剪断AD间橡皮绳后，物块A所受摩擦力
12、大小为AF BF C2F D0【答案】A【解析】剪断AD间橡皮绳前，对A受力分析可知，A水平方向受两橡皮绳的拉力和摩擦力作用而处于平衡状态，由于DAB120，每根橡皮绳的弹力大小为F，故A受拉力的合力为F，方向沿AC方向；当剪断AD间橡皮绳后，物块A只受AB间橡皮绳拉力，大小为F，则此时A仍能处于静止，摩擦力大小与拉力的大小相等，方向沿AB的反方向，故A正确，B、C、D错误。6力的合成中两类最小值问题（1）合力一定，其中一个分力的方向一定，当两个分力垂直时，另一个分力最小。【题9】如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60角且不变，当F与竖直方向的夹角为
13、时F最小，则、F的值分别为【答案】B【解析】小球重力不变，位置不变，则绳OA拉力的方向不变，故当拉力F与绳OA垂直时，力F最小，故30，FGcos G，B正确。（2）合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，当另一个分力与合力方向垂直时，这一分力最小。【题10】如图所示，一物块受一恒力F作用，现要使该物块沿直线AB运动，应该再加上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为AFcos BFsin CFtan DFcot 【答案】B二、力的分解1力的分解定义及分解原则（1）定义：求一个已知力的分力的过程。是力的合成的逆运算。（2）遵循原则：遵循平行四边形定则或三角形定则。（3）把一个已知力F作
14、为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力F1和F2，如图所示。注意：这时，合力实际是存在的，分力实际不存在。2力的分解的几种情况（1）不受条件限制的分解 一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个（如图）。（2）有条件限制的力的分解 已知合力和两个分力的方向时，有唯一解。已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解。已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为，有下面几种可能：当FsinF2F时，有两解，如图甲所示。当F2Fsin时，有唯一解，如图乙所示。当F2F时，有唯一解，如图丁
15、所示。【题11】把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30角，而大小未知；另一个分力F2F，但方向未知，则F1的大小可能是AFBFCFDF【答案】D【解析】如图所示，过F点作F1的垂线FA，则Fsin30。3按力的实际情况分解的方法（1）力的效果分解法通常根据力的作用效果分解力才有实际意义。思路：效果分解法：按力的作用效果分解（思路图）实际问题根据力的作用效果确定两个实际分力的方向再根据两个实际分力方向（平行四边形定则）作出平行四边形把对力的计算转化为边角的计算由三角形知识或数学知识求出两分力的大小。4常见实例分析 （1）拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F
16、可分解为水平向前的力F1（F1Fcos）和竖直向上的力F2（F2Fsin）。 （2）物体的重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2，F1mgsin，F2mgcos。（3）球的重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2。F1mgtan，F2。（4）球的重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2。F1mgtan，F2。（5）物体的重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1；二是使物体拉紧BO线的分力F2。F1F2。（6）质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的
17、分力F1；二是压缩BC的分力F2。F1mgtan，F2。【特别提醒】按力的作用效果分解时，准确确定两个分力的方向是关键，作出平行四边形后常用三角函数、相似三角形求解。把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代的关系，不能认为在这两个分力方向上有两个施力体（或受力体），如物体沿斜面下滑时，重力分解为沿斜面下滑的力G1Gsin，和压向斜面的力G2=Gc os，这两个力都是物体受到的，施力体只有一个地球。也不能错误地认为G2就是对斜面的压力，因为G2不是斜面受到的力，且性质也与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力。【题12】如图所示，电灯的重力G10 N，AO绳与顶板间的夹角为45，BO绳水平，试
18、求AO绳和BO绳拉力的大小？【答案】AO绳和BO绳拉力的大小分别为10 N、10 N法1：力的作用效果分解法结点O和灯的重力产生了两个效果，一是沿OA向下的拉紧AO的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，画出平行四边形如图甲所示，因此，由几何关系得F110 NF210 N。法2：正交分解法结点O与灯受到三个力作用FA、FB、G，如图乙所示。由水平方向和竖直方向，列方程得FAsin45G，FAcos45FB解得FA10 N，FB10 N。【题13】如下图所示，光滑斜面的倾角为，有两个相同的小球，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直斜面，则两挡板受到小球压力大小之比为_
19、，斜面受到的两个小球压力的大小之比为 。【答案】 对球1所受重力来说，其效果有二：第一，使物体欲沿水平方向推开挡板；第二，使物体压紧斜面。因此，其力的分解如图甲所示，由此得两个分力，大小分别为：F1Gtan，F2G/cos。对球2所受重力G来说，其效果有二：第一，使物体垂直挤压挡板；第二，使物体压紧斜面。因此，其力的分解如上图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为：F3GsinF4Gcos所以挡板A、B所受压力之比为： 斜面所受两个小球压力之比为： 三、正交分解法1定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。2建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力
20、为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。3方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解，即由不在坐标轴上的每个力的末端分别向x轴、y轴作垂线，坐标轴原点到垂足间的部分就为该力在该坐标轴上的分力。x轴上的合力：FxFx1Fx2Fx3 y轴上的合力：FyFy1Fy2Fy3。合力大小：F 合力方向：与x轴夹角为，则tan 。4正交分解法的适用原则正交分解法是分析力或其他矢量问题的常用方法，往往适用于下列情况：（1）)物体受到三个以上的力的情况.（2）物体受到三个力的作用，其中有两个力互相垂直的情况.（3
21、）只分析物体某一方向的运动情况时，需要把不沿该方向的力正交分解，然后分析该方向上的受力情况.【题14】如图所示，某人用轻绳牵住一只质量m0.6kg的氢气球，因受水平风力的作用，系氢气球的轻绳与水平方向成37角。已知空气对气球的浮力为15N，人的质量M50kg，且人受的浮力忽略不计（g取10N/kg，sin370.6，cos370.8）。求：（1）水平风力的大小；（2）人对地面的压力大小；（3）若水平风力增强，人对地面的压力如何变化？（要求说明理由）【答案】（1）12N （2）491N （3）见解析。（2）对人进行受力分析，并分解如图：由平衡条件列式：竖直方向：FNMgTsin37500150.
22、6491N；（3）若风力增强，只改变了水平方向的力，视气球及人为一整体可知，竖直方向上的受力情况没改变，人对地面的压力不变。【题15】减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是 【答案】B拓展点一个结论的应用结论：把一合力对称分解为两大小相等的分力，两分力夹角越大，两分力越大。【题16】家中厨房中用的菜刀、木工用的斧头等，其横截面可简化为一个等腰三角形，如图所示，在物理中称为劈，设劈顶角ACB2，劈的重力不计，当垂直劈背加上压力F后，两侧劈面对物体的作用力为多少？顶角的大小会
23、产生什么影响？【答案】 劈的顶角2较小时，角较小，sin 较小，加上同样的压力F后，两侧面推开物体的力较大，反之，劈的顶角较大时，在同样的压力下两侧面推开物体的力较小。【解析】劈背上加压力F后，产生的效果是沿垂直AC、BC两侧面方向把物体推开，因此将F沿这两个方向分解，画出力分解的平行四边形，如图所示，由sin ，得两侧面推开物体的力F1F2。劈的顶角2较小时，角较小，sin 较小，加上同样的压力F后，两侧面推开物体的力较大，反之，劈的顶角较大时，在同样的压力下两侧面推开物体的力较小。因此锋利的刀具，其刀口必定做得很簿，但刀口较薄时，强度就差了，使用中容易“卷刃”，所以应用中要兼顾这两个方面。
24、【题17】（多选）如图所示，吊车用两根等长的绳子OA和OB将质量分布均匀的铁板匀速吊离地面，下列说法中正确的是A绳越长，每根绳对铁板拉力越小B绳越长，两根绳对铁板拉力的合力越小C两根绳子对铁板拉力的合力竖直向上D两根绳子对铁板的拉力和铁板的重力是共点力【答案】ACD四、对称法解决非共面力问题在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，解决此类问题时要注意图形结构的对称性特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性，即某些力大小相等，方向特点相同等。【题18】（多选）如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同。下列说法正确的有 A三条绳中的张力都相等B杆对地面的压力大于自身重力C绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零D绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力【答案】BC