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1、返回 返回 后页 后页 前页 前页2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法.返回 返回二、初等函数的幂级数展开式一、泰勒级数返回 返回 后页 后页 前页 前页一、泰勒级数在第六章3的泰勒定理中曾指出,若函数f 在点x0 的某邻域内存在直至n+1 阶的连续导数,则这里为 拉格朗日型余项返回 返回 后页 后页 前页 前页由于余项是关于 的高阶无穷小,因此 在点 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论.再进一步,设函数 f
2、 在 处存在任意阶导数,就 可以由函数 f 得到一个幂级数 其中 在x与x0之间,称(1)式为 f 在点的泰勒公式.返回 返回 后页 后页 前页 前页通常称(3)式为 f 在 处的泰勒级数.对于级数(3)是否能在点 附近确切地表达 f,或者说级数(3)在点 附近的和函数是否就是 f 本身,这就是本节 所要着重讨论的问题.请先看一个例子.例1 由于函数在处的任意阶导数都等于0(见第六章4 第 二段末尾),即 返回 返回 后页 后页 前页 前页因此 f 在 的泰勒级数为 显然它在 上收敛,且其和函数.由 此看到,对一切 都有.上例说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不 都能收敛于该函数本身,哪
3、怕在很小的一个邻域内.那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢?返回 返回 后页 后页 前页 前页定理14.11 设 f 在点 具有任意阶导数,那么 f 在 区间 上等于它的泰勒级数的和函数的 充分条件是:对一切满足不等式 的,有 这里 是f 在点 泰勒公式的余项.本定理的证明可以直接从第六章3泰勒定理推出.如果 f 能在点 的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数,则称函数 f 在点 的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式返回 返回 后页 后页 前页 前页的右边为 f 在 处的泰勒展开式,或幂级数展 开式.由级数的逐项求导性质可得:若 f 为幂级数 在收敛区间 上的和函数,则 就是 f 在
4、上的泰勒展开式,返回 返回 后页 后页 前页 前页即幂级数展开式是惟一的.在实际应用上,主要 讨论函数在 处的展开式,这时(3)式就变成称为麦克劳林级数.从定理14.11 知道,余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的,下面我们重新写出当 时的 返回 返回 后页 后页 前页 前页积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便于后面的讨论.它们分别是返回 返回 后页 后页 前页 前页二、初等函数的幂级数展开式例2 求k次多项式函数的幂级数展开式.解 由于返回 返回 后页 后页 前页 前页即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例3 求函数 f(x)=ex 的幂级数展开式.解 显见 返回 返回 后
5、页 后页 前页 前页对任何实数 x,都有返回 返回 后页 后页 前页 前页例4 所以在上可以展开为麦克劳 林级数:返回 返回 后页 后页 前页 前页返回 返回 后页 后页 前页 前页同样可证(或用逐项求导),在上有例5 所以 的麦克劳林级数是返回 返回 后页 后页 前页 前页用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且 当 时收敛,时发散,故级数(5)的收敛域 是.下面讨论在上它的余项的极限.当 时,对拉格朗日型余项,有 返回 返回 后页 后页 前页 前页当时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.此时有 返回 返回 后页 后页 前页 前页这就证得在 上 的幂级数展开式就是(5).将(5
6、)式中 x 换成,就得到函数 处的泰勒展开式:其收敛域为 例6讨论二项式函数的展开式.解 当 为正整数时,由二项式定理直接展开,就得 到 f 的展开式,这已在前面例2中讨论过.返回 返回 后页 后页 前页 前页下面讨论不等于正整数时的情形,这时于是 的麦克劳林级数是运用比式法,可得(6)的收敛半径.在内 考察它的柯西型余项 返回 返回 后页 后页 前页 前页由比式判别法,返回 返回 后页 后页 前页 前页于 1所以在 返回 返回 后页 后页 前页 前页论如下:对于收敛区间端点的情形,与 的取值有关,其结返回 返回 后页 后页 前页 前页一般来说,只有比较简单的函数,其幂级数展开式能直接从定义出
7、发,并根据定理14.11 求得.更多的情况是从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运返回 返回 后页 后页 前页 前页算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数的幂级数展开式.注 求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数 各项的系数,根据展开式的惟一性,不管用什么方 法得到的系数都是一样的.这就是间接展开的根据.例7 以与 分别代入(8)与(9)式,可得返回 返回 后页 后页 前页 前页对于(10)、(11)分 别逐项求积可得函数 与 的展开式:-11-2-1 1 2返回 返回 后页 后页 前页 前页由此可见,熟练掌握某些初等函数的展开式,对求 其他一些函数的幂级数展开式是非常方便和有用的,
8、特别是例3 例7 的结果,对于今后用间接方法求幂 级数展开十分方便.返回 返回 后页 后页 前页 前页解 利用,得处连续,在处无定义,例8 求函数 在处的幂级数展开 式.返回 返回 后页 后页 前页 前页而级数 的收敛域为,所以注 严格地说,上式中的 幂级数在 上有和函数,而 只是它在 上的和函数.又因为,所以返回 返回 后页 后页 前页 前页用类似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函数表和对数表,但这些表 是怎样制作出来的呢?例9 计算 的近似值,精确到 解 可以在展开式 中令,得.这是一个交错级数,故有 返回 返回 后页 后页 前页 前页.为了误差小于0.0001,就必须计算 级数前1
9、0000 项的和,收敛得太慢.为此在(13)式中 令,代入(13)式,有估计余项:返回 返回 后页 后页 前页 前页取,就有 因此 返回 返回 后页 后页 前页 前页最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函 数,这是幂级数特有的功能.例10 用间接方法求非初等函数的幂级数展开式.解 以 代替 ex 的展开式中的 x,得 返回 返回 后页 后页 前页 前页再逐项求积,就得到 在上的展开式:F(x)用上述级数的部分和逐项逼近的过程,示于 下图:返回 返回 后页 后页 前页 前页-2-1 1 2O-1-0.50.51返回 返回 后页 后页 前页 前页复习思考题 1.设幂级数 在 的和函数为,问 在 处的幂级数展开式是什么?2.设函数 在上的幂级数展开式为若上式右边的幂级数在(或)收敛,能否 得出上式在(或)成立?(结合例8进行讨 论)