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1、关于函数展开成幂级数第一张，PPT共二十六页，创作于2022年6月定理定理 若幂级数若幂级数的收敛半径的收敛半径则其和函则其和函在收敛域上在收敛域上连续连续；且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分,运算前后收敛半径相同，运算前后收敛半径相同，即即收敛域收敛域1.1.1.1.幂级数和函数的分析运算性质幂级数和函数的分析运算性质幂级数和函数的分析运算性质幂级数和函数的分析运算性质:复习复习第二张，PPT共二十六页，创作于2022年6月 求部分和式的极限求部分和式的极限二、幂级数和函数的求法二、幂级数和函数的求法 求和求和逐项求导或求积分法逐项求导或求积分法 逐项求
2、导或求积分逐项求导或求积分对和式积分或求导对和式积分或求导难难（在收敛区间内）（在收敛区间内）第三张，PPT共二十六页，创作于2022年6月第五节本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第九章 展开方法展开方法直接展开法直接展开法间接展开法间接展开法第四张，PPT共二十六页，创作于2022年6月则称函数在该区间内能展开成幂级数则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数给定函数如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数
3、它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数例如例如:第五张，PPT共二十六页，创作于2022年6月则称函数在该区间内能展开成幂级数则称函数在该区间内能展开成幂级数给定函数给定函数如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?第六张，PPT共二十六页，创作于2022年6月则称函数在该区间内能展开成幂级数则称函数在该
4、区间内能展开成幂级数给定函数给定函数如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得函数能展开成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义:它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数例如例如:无穷级数无穷级数有限形式有限形式表示函数表示函数第七张，PPT共二十六页，创作于2022年6月一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 其中其中(在在 x 与与 x0 之间之间)称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项.则在则在若函数若函数的某邻域内具有的某邻域内具有 n+1 阶导数阶导数,此式称为此式称为 f(x)的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有该邻域内有:1.
5、1.回忆泰勒公式回忆泰勒公式回忆泰勒公式回忆泰勒公式第八张，PPT共二十六页，创作于2022年6月为为f(x)的的泰勒级数泰勒级数.则称则称待解决的问题待解决的问题:若函数若函数的某邻域内具有的某邻域内具有任意阶任意阶导数导数,2.2.2.2.泰勒级数定义泰勒级数定义泰勒级数定义泰勒级数定义:当当x0=0 时时,泰勒级数泰勒级数 又称为又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.？第九张，PPT共二十六页，创作于2022年6月定理定理1.各阶导数各阶导数,则则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:证明证
6、明:设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有3.3.3.3.泰勒级数的收敛定理泰勒级数的收敛定理泰勒级数的收敛定理泰勒级数的收敛定理:泰勒级数泰勒级数泰勒级数泰勒级数收敛于收敛于收敛于收敛于f f(x x)第十张，PPT共二十六页，创作于2022年6月定理定理2.若若 f(x)能展成能展成 x 的幂级数的幂级数,则这种展开式是则这种展开式是惟一的惟一的,且且证证:设设 f(x)所展成的幂级数为所展成的幂级数为则则显然结论成立显然结论成立.4.4.4.4.系数的惟一性定理系数的惟一性定理系数的惟一性定理系数的惟一性定理:第十一张，PPT共二十六页，创作于2022年
7、6月说明：说明：2)2)幂级数的展开式是唯一的幂级数的展开式是唯一的幂级数的展开式是唯一的幂级数的展开式是唯一的.？问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?第十二张，PPT共二十六页，创作于2022年6月二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步第一步第三步第三步 判别在收敛区间(R,R)内是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开利用已知其级数展开式的函
8、数展开0.求求求求第二步第二步 写出泰勒级数 ,并求出其收敛半径 R;则则则则第十三张，PPT共二十六页，创作于2022年6月例例1.将函数展开成 x 的幂级数.解解:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故(在0与x 之间)故得级数 第十四张，PPT共二十六页，创作于2022年6月例例2.将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:得级数得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足第十五张，PPT共二十六页，创作于2022年6月常用函数的幂级数展开式（常用函数的幂级数展开式（要求牢记！要求牢记！）第十六张，PPT共二十六页，创作于2022年6月2.间接展开法间接展开法根据唯一性根据
9、唯一性根据唯一性根据唯一性,利用利用利用利用已知的函数展开式已知的函数展开式已知的函数展开式已知的函数展开式,通过通过通过通过变量变量变量变量代换代换代换代换,四则运算四则运算四则运算四则运算,恒等变形恒等变形恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分逐项积分逐项积分等方法等方法等方法等方法,函数函数已知展开式的新函数已知展开式的新函数转化转化将所给函数展开成幂级数将所给函数展开成幂级数.例例1.将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解:把把 x 换成换成,得得第十七张，PPT共二十六页，创作于2022年6月解解解解思考：思考：思考：思考：例例例例2 2将
10、将将将展开成展开成展开成展开成x x的幂级数的幂级数的幂级数的幂级数.将将将将-2-2x x代入上式中代入上式中代入上式中代入上式中x x的位置，即得的位置，即得的位置，即得的位置，即得将将将将展开成展开成展开成展开成x x的幂级数的幂级数的幂级数的幂级数.将将将将展开成展开成展开成展开成x x的幂级数的幂级数的幂级数的幂级数.第十八张，PPT共二十六页，创作于2022年6月解解解解例例例例3 3将将将将展开成展开成展开成展开成x x的幂级数的幂级数的幂级数的幂级数.第十九张，PPT共二十六页，创作于2022年6月例例4.将将展成展成解解:的幂级数的幂级数.第二十张，PPT共二十六页，创作于2
11、022年6月例例5解解第二十一张，PPT共二十六页，创作于2022年6月例例6.将将在在x=0处展为幂级数处展为幂级数.解解:因此因此第二十二张，PPT共二十六页，创作于2022年6月例例7.将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数解解:x1 时时,此级数条件收敛此级数条件收敛,因此因此 第二十三张，PPT共二十六页，创作于2022年6月注意：注意：把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化转化函数函数展开式已知的新函数展开式已知的新函数转化转化经验：经验：1)1)有理函数有理函数转化转化2)2)指数函数指数函数转化转化3)3)对数函数对数函数转化转化4)4)三角函数三角函数转化转化5)5)反三角函数：反三角函数：先求导化为有理函数，再积分先求导化为有理函数，再积分第二十四张，PPT共二十六页，创作于2022年6月内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;2.常用函数的幂级数展开式下节课默写！下节课默写！第二十五张，PPT共二十六页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第二十六张，PPT共二十六页，创作于2022年6月10/19/2022