冀教版九年级上册数学ppt课件(第26章--解直角三角形).ppt

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1、第二十六章 解直角三角形26.1 锐角三角函数第1课时 正 切1课堂讲解u正切的定义u正切的应用u特殊角(30，45，60)的正切值2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升梯子是我们日常生活中常见的物体.在下图中，哪个梯子更陡？你是怎 样判断的？你有几种判断方法？(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎 样判断的？1知识点正切的定义1.如图，在Rt ABC 和Rt ABC 中，C C2.90.当A A 时，具有怎样3.的关系?知1导观察与思考 知1导2.如图，已知EAF90，BC AF，BC AF，3.垂足分别为C，C.具有怎样的关系?正切的定义：如图，在Rt ABC中，如果锐角A确定，那

2、么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 A的正切，记作tan A，即tan A.知1讲 例1 如图，在Rt ABC 中，C 90.(1)如图(1)，A 30，求tan A，tan B 的值.(2)如图(2)，A 45，求tan A 的值.知1讲 知1讲(1)在Rt ABC中，A30，B60，且 tan A tan 30 tan B tan 60解：知1讲(2)在Rt ABC中，A45，ab.tan A tan 45 总 结知1讲 直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利 用勾股定理求出未知的直角边，再利

3、用正切的定义 求解1 在ABC 中，AC 5，BC 4，AB 3，那么下列2 各式正确的是()3 A tan A B tan A 4 C tan B D tan B 知1练 知1练2 在Rt ABC 中，C 90，若斜边AB 是直角边BC的3倍，则tan B 的值是()3 A.B 3 C.D 4 一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来5 的2倍，那么它的两个锐角的正切值()6 A 都没有变化 7 B 都扩大为原来的2倍8 C 都缩小为原来的一半 9 D 不能确定是否发生变化 2知识点 正切的应用知2讲议一议在下图中，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?知2讲1.当梯子与地面所成的角为锐角A

4、时，tan A tan A的值越大，梯子越陡 因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比 值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关知2讲例2 在Rt ABC中，C90，tanB，BC，则AC等于()A3 B4 C D6 解：在Rt ABC中，C90，B的对边为AC，邻边是BC，由正切的定义知，tanBACA1(图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC 的正切值是()2 A 2 3 B.4 C.5 D.知2练 知2练 2 在Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，且CD 3 2，BD 8，则tan A 的

5、值是()4 A 2 B 4 5 C.D.知2练 3 如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点D 为边AC的中点，DE BC于点E，连接BD，则tan DBC的值为()A.B.C D.知3讲3知识点 特殊角（30，45，60）的正切值130，45，60角的正切值如下表：30 45 60tan 1角三角函数值三角函数例3 tan(x10)，则锐角x的度数是()A20 B 30 C 35 D 50知3讲D tan(x10)x1060，x50.故选D导引：1 如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若BOC 120，则tan A 的值为()2 A.3 B.4 C.5 D.知3练 2 如图所示的

6、是一个含有30 角的直角三角板，其中AC 30 cm，A 30，C 90，则BC 边的长为()3 A 30 cm B 20 cm 4 C 10 cm D 5 cm知3练 第二十六章 解直角三角形26.1 锐角三角函数第2课时 正弦和余弦1课堂讲解u正弦 u余弦 u锐角三角函数的取值范围u特殊角(30,45,60)的正弦、余弦值2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 如图，当Rt ABC中的锐角A确定时，A的对边与邻边的比便随之确定.此时，其他边 之间的比也确定吗？与同伴进行交流.1知识点正弦 正弦：如图，在Rt ABC中，C90，A的对 边与斜边的比叫做A的正弦，记作sin A，即 sin A

7、 知1讲问 题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(A)为30，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？知1导知1导 这个问题可以归结为：在Rt ABC中，C=90，A=30，BC=35 m，求 AB(如图).根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70(m).也就是说，需要准备70 m长的水管.知1导思考1:在上面的问题中,如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？在上面求AB(所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于3

8、0，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于知1导思考2:如图，任意画一个Rt ABC，使C=90，A=45，计算A的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？知1导 如图，在Rt ABC中，C=90，因为A=45，所以Rt ABC是等腰直角三角形.由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2,AB=BC.因此即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于例1 如图，在Rt ABC 中，B 90，AC=200,sinA=0.6,求BC 的长.知1讲在Rt ABC中，即BC=2000.6=120.解：C知1练 1 在Rt ABC

9、 中，C 90，sin A，BC2 6，则AB()3 A 4 B 6 4 C 8 D 10知1练 2 如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则3 sin A 的值为()4 A.B.5 C.D.2知识点 余弦 余弦：如图，在Rt ABC中，C90，A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cos A，即cos A知2讲知2讲例2 如图，在Rt ABC中，C 90，AC12，BC5，求sin A，cos A的值导引：在Rt ABC中，已知两直角边长，可先用勾股定理求 斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A的值 解：C90，AC12，BC5，AB sin A cos A总 结知2讲 在直角三角

10、形中，求锐角的正弦和余弦时，一定要根据正弦和余弦的定义求解其中未知边的长度往往借助勾股定理进行求解知2讲例3 如图，在Rt ABC中，C90，sin A BC40，求ABC的周长和面积 已知BC40，求ABC的周长，则还需要求出其他两边的长，借 助sin A的值可求出AB的长，再 利用勾股定理求出AC的长即可，直角三角形的面积等于两直角边 长乘积的一半导引：知2讲解：sin A AB BC40，sin A，AB50.又AC ABC的周长为ABACBC120，ABC的面积为 BCAC 4030600.总 结知2讲 正弦的定义表达式sin A 可根据解题需要变形为 BC ABsin A 或AB 余

11、弦的定义表达式cos A 也可变形为 AC ABcos A 或AB.知2练 1 如图，在44 的正方形方格图形中，小正方形的2 顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则图3 中ABC 的余弦值是()4 A 2 B.5 C.D.知2练 2 如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，3 B 两点，P 是AB 上一点(不与A，B 重合)，连接OP，4 设POB，则点P 的坐标是()5 A(sin，sin)6 B(cos，cos)7 C(cos，sin)8 D(sin，cos)知3讲3知识点 锐角三角函数的取值范围1.锐角三角函数的定义：定义：如图，在Rt ABC 中，C 90，A，B，C 的对

12、边分别为a，b，c，则有sin A，cos A tan A 我们把sin A，cos A，tan A 叫做A 的三角函数，即 锐角A 的正弦、余弦、正 切叫做A 的三角函数2.锐角三角函数的取值范围：在Rt ABC中，因为各边边长都是正数，且斜边边长 大于直角边边长，所以对于锐角A，有tan A0，0sin A1，0cos A1.知3讲1 若 是锐角，sin 3m 2，则m 的取值范围是()2 A.m 1 B 2m 33 C 0m 1 D m 4 如果0 A 90，并且cos A 是方程5(x 0.35)0的一个根，那么cos A _知3练 知4讲4知识点 特殊角(30，45，60)的正弦、余

13、弦值130，45，60角的函数值如下表：30 45 60sin cos 角三角函数值三角函数1 在ABC 中，A，B 都是锐角，且sin A，2 cos B，则ABC 的形状是()3 A 直角三角形 B 钝角三角形4 C 锐角三角形 D 不能确定知4练 1.正弦的定义2.余弦的定义3.求锐角三角函数值的三种方法：(1)在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出(2)利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角(若 该角的三角函数值知道或者易求)(3)利用互余的两个角间的特殊关系求第二十六章 解直角三角形26.2 锐角三角函数 的计算1课堂讲解u用计算器求已知锐角的三角函数值u用计算器求已知三角

14、函数值的对应角u用计算器探究三角函数的性质2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为=16，那么缆车垂直上升的距离 是多少？（结果精确到0.01 m)在Rt ABC中，ACB=90，BC=ABsin 16.你知道sin16是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.怎样用科学计算器求三角函数值呢？1知识点用计算器求已知锐角的三角函数值1.计算器的使用方法：(1)求整数度数的锐角三角函数值，在科学计算器的面 板上涉及三角函数的键有sin，cos 和tan，当我们 计算整数度数的某锐角的三角函数

15、值时，可选按这 三个键之一，然后再从高位到低位依次按出表示度 数的键，然后按键，屏幕上就会显示出结果知1讲(2)求非整数度数的锐角三角函数值，若度数的单位是用 度、分、秒表示的，在用科学计算器计算其三角函数 值时，同样先按sin，cos 或tan 键，然后从高位到低位 依次按出表示度的键，再按”键，然后，从高位到低 位依次按出表示分的键，再按”键，然后，从高位到 低位依次按出表示秒的键，再按”键，最后按键，屏幕上就会显示出结果知1讲2.说明：(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，也有 的计算器会显示11个数位如无特别说明，计算结果一 般精确到万分位；(2)不同的计算器按键方式不同

16、，因此在使用之前要首先了 解计算器的功能与使用方法知1讲例1 用计算器计算:(结果精确到万分位)(1)sin 26；(2)sin824815_ 已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，将屏幕显示的结果按要求取近似值即可知1讲 导引：0.43840.9921总 结知1讲(1)依次按sin 2 6 键，得到数据再精确到万分位即可；(2)依次按sin 8 2”48”15”键，得到数据再 精确到万分位即可例2 已知在Rt ABC 中，C 90，若A 23，斜 边c 14，求A 的对边a的长(结果精确到0.01)c 是斜边，而a是A 的对边，故可利用A 的正弦求a.由sin A 则acsin A

17、14sin 23，利用计算器 计算得a5.47.知1讲 导引：解：总 结知1讲 对于不是特殊角的三角函数，一般只能利用计算器进行计算注意结果要符合题目的精确度要求知1练 1 如图，是我们数学课上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算 cos 55，按键顺序正确的是()2 A.2 cos 5 5 3 B.2 cos 5 5 0 4 C.2 cos 5 5 5 D.2 5 5 cos 知1练 2 利用计算器求sin 30 时，依次按键sin30，则计算器上显示的结果是()3 A 0.5B 0.707C 0.866D 12知识点 用计算器求已知三角函数值的对应角想一想 为了方便行人推自行车过某天

18、桥，市政府在10m高的天桥两端修建 了 40 m长的斜道（如图).这条斜道的倾斜角是多少？知2讲知2讲 1已知三角函数值，用计算器求角度，需要用到sin，cos，tan 键的第二功能“sin 1，cos 1，tan 1”和 SHIFT 键2具体操作步骤是：先按SHIFT 键，再按sin，cos，tan 键之一，再依次输入三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果知2讲 拓展：(1)上面得出的结果是以“度”为单位的，再按”键 即可显示以“度、分、秒”为单位的结果(2)求角度的计算结果，如没有特别说明，一般精确到 1.3易错警示：注意由值求角必须保证按键顺序正确知2讲例3 根据下列条件求锐角A的

19、度数：(结果精确到1)(1)sin A0.732 1；(2)cos A0.218 7；(3)tan A3.527.导引：利用sin，cos，tan 键的第二功能计算，即先按SHIFT 键，再按sin或cos或tan键，然后输入三角函数值，最 后按键，即可显示结果 知2讲解：(1)先按SHIFT sin 0.7321键，显示：47.062 734 57，再 按”键，即可显示47345.84，所以A474.(2)先按 SHIFT cos 0.2187键，显示：77.367 310 78，再 按”键，显示77222.32，所以A7722.(3)先按 SHIFT tan 3.527键，显示：74.17

20、0 530 81，再 按”键,显示741013.91，所以A7410.总 结知2讲 由值求角，计算器显示的角度的单位是“度”，一般需要化为用“度、分、秒”表示的形式，用”键可实现两者间的转换知2练 1 已知 为锐角，且tan 3.387，下列各值中与 最接近的是()2 A 7333 B 7327 C 1627 D 16213 在ABC 中，C 90，BC 5，AB 13，用科学 4 计算器求A 约等于()5 A 2438 B 6522 C 6723 D 2237知2练 3 如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3 m，铅直高度BC为2.8 m，则A的度数约为_(用科学计算器计算，结果精确到0

21、.1)知3讲3知识点 用计算器探究三角函数的性质 三角函数值的大小有锐角的度数决定，与其在哪个直角三角形中无关，具体来说：(1)tan A 随着A 的增大而增大，A 越接近90，tan A 的值就增加得越快，tan A 可以等于任何一个正数(2)sin A 的值随着锐角A 的增大而增大；cos A 的值随着 锐角A 的增大而减小例4 已知，为锐角，且cos 是方程2x25x30的一 个根，cos cos，试求的度数及的取值范围 先求出方程2x25x30的根，从而得到cos 的值，再根据特殊角的三角函数值求出的度数，最后根据 锐角三角函数的增减性确定的取值范围 知3讲 导引：解方程2x25x30

22、，得x13，x20cos 1，且cos 是方程2x25x30的一个根，cos cos 60 60.为锐角，cos cos，cos cos 60.又锐角的余弦值随角的度数的增大而减小，060.知3讲解：总 结知3讲 解方程，由特殊角的三角函数值可知 的度数，再利用锐角与其余弦值的关系，通过比较得到 的取值范围.1 在Rt ABC 中，C 90，下列各式中正确的是 2()3 A sin A sin B B tan A tan B4 C sin A cos B D cos A cos B5 用计算器比较tan 25，sin 27，cos 26 的大小关6 系是()7 A tan 25cos 26si

23、n 278 B tan 25sin 27cos 269 C sin 27tan 25cos 2610 D cos 26tan 25sin 27知3练 3 用计算器求sin 15，sin 25，sin 35，sin 45，4 sin 55，sin 65，sin 75，sin 85 的值，研究5 sin 的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：6 若 sin 则()7 A 3060 B 30908 C 060 D 6090知3练 1利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序：先按 sin键或cos键或tan键，再按角度值，最后按键，就 可求出相应的三角函数值2已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键

24、顺序：先按SHIFT键，再按sin键或cos键或tan键，然后输入 三角函数值，最后按键，就可求出相应角度第二十六章 解直角三角形26.3 解直角三角形1课堂讲解 u已知两边解直角三角形u已知一边及一锐角解直角三角形u已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题，往 往需要确定直角三角形的边和角.直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.那么至少知道几个元 素，就可以求出其他的元素呢？1知识点已知两边解直角三角形 在Rt ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？知1讲例1

25、如图，在Rt ABC 中，C=90，AC 15，BC 8.解这个直角三角形.(角度精确到1)知1讲 解：A28420.B 90 A 90 28420 615540.AB2 AC2 BC2 15282289，AB 17.1定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知 元素的过程，叫做解直角三角形2直角三角形中的边角关系：在Rt ABC 中，C 90，A，B，C 的对 边分别为a，b，c.则有：知1讲(1)三边之间的关系：a2b2 c2；(2)两锐角之间的关系：A B 90；(3)边角之间的关系：sin A cos B，cos A sin B，tan A 知1讲 要点精析：解直角三角形时，已知两边

26、求第三边用勾股定理；已知一锐角求另一锐角用“直角三角形两锐角互余”；在两边一锐角中，有两个元素已知，则可用三角函数的 定义求出第三个元素 由上可知在直角三角形的六个元素(三条边和三个角)中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，就可以求出另外三个元素知1讲 3解直角三角形时，选择三角函数关系式遵循以下原则：尽量选可以直接应用原始数据的关系式；尽量选择便于计算的关系式如：当所求的元素既可 用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法4易错警示：在直角三角形中寻找已知元素与未知元素 的数量关系时，常建立三角函数模型研究边角之间的关 系，注意正弦、余弦、正切三种函数都是涉及两边一角，要正确选

27、择，不能将它们弄混知1讲 5.解直角三角形的类型：（1）已知两边解直角三角形（2）已知一边及一锐角解直角三角形已知两边解直角三角形 已知斜边和一条直角边解直角三角形知1讲例2 已知在Rt ABC 中，C 90，A，B，C 的对边分别为a，b，c，且c 5，b 4，求这个三角 形的其他元素(角度精确到1)求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角 形”的含义相同求角时，可以先求A，也可以先 求B，因为 sin B cos A.知1讲导引：由c 5，b 4，得sin B 0.8，B538.A 90 B3652.由勾股定理得知1讲解：知1练 1 在Rt ABC 中，C 90，AB AC2 则A

28、的度数为()3 A 90 B 60 4 C 45 D 30知1练 2 在ABC 中，C 90，AB 4，AC 3，欲求A 的值，最适宜的做法是()3 A 计算tan A 的值求出4 B 计算sin A 的值求出5 C 计算cos A 的值求出6 D 先根据sin B 求出B，再利用90 B 求出 2知识点 已知一边及一锐角解直角三角形 在Rt ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？知2讲知2讲 1.已知一条直角边和一个锐角解直角三角形：已知一锐角，则另一锐角易求而求另两边则需要运用定义法，将已知数据代入三角函数关系式中计算如用已知直角边除以其对角的正弦可得斜边长，用

29、已知直角边除以其对角的正切可得另一直角边有时也可用勾股定理求第三边，但要防止误差变大，所以要尽量选可以直接应用原始数据的关系式知2讲例3 如图，在Rt ABC，C=90，C=90，A=34，AC6.解这个直角三角形.(结 果精确到0.001)解：B=90A=90 3456.知2讲 2.已知斜边和一锐角解直角三角形：已知斜边和一锐角，则另一锐角易求而求两直角边，必然要运用定义法，由斜边乘已知锐角的正弦可得已知锐角的对边；由斜边乘已知锐角的余弦可得已知锐角的邻边当求出一直角边后，另一直角边也可用勾股定理计算，但要注意误差可能较大知2讲例4 在Rt ABC中，C90，A，B，C的对边分 别为a，b，

30、c，且c100，A2644.求这个三角形 的其他元素(长度精确到0.01)已知A，可根据B90A得到B的大小而 已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数 A2644，C90，B9026446316.由sin A 得acsin A100sin 264444.98.由cos A 得bccos A100cos 264489.31.解：导引：知2练 1 如图，在Rt ABC 中，C 90，B 30，AB 8，则BC 的长是()2 A.B 43 C D 知2练 2 在ABC 中，C 90，若B 2A，b 3，3 则a等于()4 A.B.5 C 6 D.知3讲3知识点 已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形例5

31、 如图，在ABC 中，AB 1，AC sin B 求BC 的长 要求的BC 边不在直角 三角形中，已知条件中 有B 的正弦值，作BC 边上的高，将B 置于直角三角形 中，利用解直角三角形就可 解决问题导引：如图，过点A作AD BC于点D.AB1，sin BADABsin B1 BD CDBC 知3讲解：总 结知3讲 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B 点作AC 的垂线，则B 的正弦值就无法利用1 在Rt ABC 中，C 90，B 50，AB 2 10，则

32、BC 的长为()3 A 10tan 50 B 10sin 40 4 C 10sin 50 D.知3练 2 如图，在ABC中，B90，tan C AB 6 cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速 度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的 速度移动若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，PBQ的最大面积是()A18 cm2 B12 cm2 C9 cm2 D3 cm2知3练 1.常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流.2.解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必 须有一个已知边，为什么？第二十六章 解直角三角形26.4 解直角三角形的应用第1课

33、时 用解直角三角形 解视角的应用1课堂讲解u仰角的应用u俯角的应用2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？三种，重叠、向上、和向下知1讲1知识点仰角的应用仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角定义：例1 如图小山岗的斜坡AC 的坡度是 坡角为，在 与山脚C 距离200 m 的点D 处测得山顶A 的仰角为 26.6，求小山岗的高(结果精确到1 m，参考 数据：sin 26.60.45，cos 26.60.89，tan 26.60.50)知1讲 知1讲 设小山岗的高为x m，由题意得tan 又在Rt ABD中，tan 26.6而BDBCCD，由此可得关于x的方程，从而解得AB的长导引：知1讲 设小山岗的高为x m，在Rt ABC中，由题意得 tan BCBDDCBC 在Rt ABD中，tan ADBtan 26.6 解得x300，即小山岗的高约为 300 m.解：