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1、第1 页 郑 州外国 语学 校 2019 届 高考全 真模 拟（三）参考答案与试题解析 一、选 择题（本大 题包 括 12 小 题，每小 题 5 分，共 60 分.）1.已知集合|3 0 A x x a，2|log(2)1 B x x，若BA，则 实 数a 的取值范围是()A(,6)B(，6 C(,12)D(12,)【解答】解：30 xa，3ax，3aA，)，22log(2)1 log 2 x，0 2 2 x，24 x，(2 B，4，BA，23a，6 a，实数a 的取值范围是(，6 故选：B 2.已知z 的共轭复数是z，且|1 2(z z i i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于
2、()A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【解答】解：设(,)z x yi x y R，|1 2 z z i，221 2(1)(2)x y x yi i x y i，22120 x y xy，解得：322xy，复数z 在复平面内对应的点为3(,2)2，此点位于第四象限 故选：D 3.某城市为了了解市 民搭 乘公共交通工具的 出行 情况，收集并整理 了 2017 年全年 每月公交和地铁载客量的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是()A 全年各月公交载客量的极差为 41 B 全年各月地铁载客 量的中位数为 22.5 C 7 月份公交与地铁的载客量相 差最多 D
3、全年地铁载客量要小于公交载客量【解答】解：对于选项 A，全年各月公交载客量的极差为 46 5 41，故选项A 正确，第2 页 对于选项B，全年各月地铁载客量的中位数为21 2422.52，故选项B 正确，对于选项C，7 月份公交与地铁的载客量相差 32，且为全年最多，故选项C 正确，对于选项D，全年地铁载客量明显要大于公交载客量，故选项D 错误，综合 得：选项D 错误，故选：D 4.已知(2,0)M，(2,0)N，|4 PM PN，则动点P 的轨迹是（）A 一条射线 B 双曲线 C 双曲线左支 D 双曲线右支【解答】解：如 果是 双曲 线，那 么|4 2 PM PN a，2 a；而两个 定点(
4、2,0)M，(2,0)N 为双曲 线的 焦点，2 c；而在双 曲线 中ca，所以 把后 三个关 于双 曲线 的答 案全 部排除，故选：A 5.若*13nx n Nxx的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则22(aaa x dx)A 36 B 812 C 252 D 25【解答】解：*1(3)()nx n Nxx 的展开式的通项为 5211(3)()3,0,1,nrr n r r n r rr n nT C x C x r nxx，因为展开式中含有常数项，所以502nr，即25rn 为整数，故n 的最小值为 5 5 a 所以52 2 2 251 2525 522aaa x dx x dx
5、故选：C 6.如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线 0 xy，222 xy 所围成的 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则 43 z x y 的最大值和最小值分别为()A 52，7 B 52，52 C 7，52 D 7，7【解答】解：由题意可知直线平移直线 0 4 3 xy，当直线经过A 上取得最小值，平第3 页 移到与222 xy 相切于B 时，取得最大值，(1,1)B，最小值为：7；由22243xyx y z 可 得：2225 8 18 0 x zx z，2264 4(8)25 0 zz，解 得 52 z，52 z（舍去），所以则 43 z x y 的最大值和最小值分别为：52；7
6、 故选：A 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为()A 22 B 3 C 23 D 13【解答】解：根据题意，该三棱锥的原图为如图的S ABC，SD 在俯视图中投成了一个点，故SD 平面(ABCD ABCD 为俯视图的四个顶点），DE平行于正视的视线，故DE BC，根据题意，2 DE BE SD，所以SB 为最长的棱，因为BD ABCD，SD BD，2 2 28 BD DE BE，228 4 2 3 SD BD SD 故选：C 第4 页 8.已知数列：12；212，222，232；312，322，372；，12n，22n，32n，212nn；，则此数列的前 2036 项之和为
7、()A 1024 B 2048 C 1018 D 1022【解 答】解：将 此 数 列 分 组：第 一 组：12；第 二 组：2221 2 3 32 2 2 2；第 三 组：3 3 31 2 7 72 2 2 2，第n 组：1 2 3 2 1 2 12 2 2 2 2nnn n n n 由2(2 1)(2 1)(2 1)2036n，即12 2 2036nn，解得 10 n 则此数列的前 2036 项之和为102 102(2 1)102 1 2 1 2 12110182 2 2 2 故选：C 9.已知六人排成一排拍 照，其中甲、乙、丙三 人 两两不相邻，甲、丁 两 人必须相邻，则满足要求的排队方
8、法数为()A 72 B 96 C 120 D 288【解答】解：设另外两人为戊己可以分步完成，甲丁捆绑后排序有22A 种方法，捆绑后的甲丁戊己排序，有33A 种方法，将乙丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有23A 种方法，根据分 步乘法原理，共有 2 6 6 72 种方法 故选：A 10.已知长方体1 1 1 1ABCD ABCD 中，底面ABCD 的长 4 AB，宽 4 BC，高13 AA，点 M，N 分别是BC，11CD 的中点，点P 在上底面1 1 1 1ABCD 中，点Q 在1AN 上，若 13 PM，则PQ 长度的最小值是()A 52 B 352 C 6525 D 355【
9、解答】解：取11BC 的中点O，则 POM 为直角三角形，13 PM，2 OP，即点P 在以O 为圆心，半径为 2 的圆在正方形1 1 1 1ABCD 内的弧上，PQ 长度的最小值等于圆心到1AN 的距离减去半径 2，1ANO 的面积1114 4 4 2 2 4 2 2 6222S，第5 页 又 1ANO 的面积1162S AN d 655d，PQ 长度的最小值是6525 故选：C 11.已知抛物线2:8 C y x 与直线(2)(0)y k x k 相交于A，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|2|FA FB，则AB 的中点的横坐标为()A 52 B 3 C 5 D 6【解答】解：根据题意
10、，设AB 的中点为G，抛物线2:8 C y x 的准线为:2 lx，焦点为(2,0)，直线(2)y k x 恒过定点(2,0)P 如图过A、B 分别作AM l 于M，BN l 于N，由|2|FA FB，则|2|AM BN，点B 为AP 的中点、连接OB，则1|2OB AF，又由|2|FA FB，则|OB BF，点B 的横坐标为 1，B 为P、A 的中点，则A 的横坐标为 4，故AB 的中点G 的横坐标为1 4 522；故选：A 12.设函数3()(ln)(3 1)ln(3)f x x x x x a x，若不等式()0 fx 有解，则实数a 的最小值为()A 21e B 22e C 212 e
11、 D 11e【解答】解：若不等式()0 fx 有解，则31()(3)3 a lnx lnxx 有解，第6 页 令31()()(3)3 g x lnx lnxx，则11()(1)3(1)g x lnx lnxxx，令1()3(1)h x lnxx，则231()xhxx，令()0 hx，解得：13x；令()0 hx，解得：103x，故()hx 在1(0,)3递减，在1(3，)，故1()()3(2 3)03minh x h ln，故()0 hx，令()0 gx，即 10 lnx，解得：xe，令()0 gx，即 10 lnx，解得：0 xe，故()gx 在(0,)e 递减，在(,)e 递增，故()mi
12、ng x g（e）11e，故a 的最小值是11e，故选：D 二、填 空题（本大 题共 4 小题，每 题 5 分，共 20 分.）13.已知直角 ABC 中，2 AB，1 AC，D 为斜边BC 的中点，则向量AD 在BC 上的投影为 3510【解答】解：直角 ABC 中，2 AB，1 AC，D 为斜边BC 的中点，如图，；过点A 作AE BC，垂足为E，则ED 是向量AD 在BC 上的投影；15|22AD BC，2cos5B；243cos cos 2 2cos 1 2 155ADE B B，5 3 3 5|cos(2)()2 5 10ED AD B；故答案为：3510 第7 页 14.在 ABC
13、 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 2 cos 2 c B a b，若 ABC 的面积 3 Sc，则ab 的最小值为 48【解答】解：ABC 中，2 cos 2 c B a b，由正弦定理得 2sin cos 2sin sin 2sin()sin C B A B B C B，即 2sin cos 2sin cos 2sin cos sin C B B C C B B，2sin cos sin 0 B C B，1cos2C，可得23C；又 ABC 的面积为13sin 324S ab C ab c，14c ab；再由余弦定理可得：2 2 22 cos c a b ab C，整理可得：2
14、 2 2 21316a b a b ab ab，当且仅当ab 时，取等号，48 ab，即ab 的最小值为 48 故答案为：48 15.已知定义在R 上的函数1 1 3()(1)xxf x e e x x，满 足 不 等 式(4)(2 3)2 f x f x，则x 的取值范围是(，2【解答】解：根据题意，函数1 1 3()(1)(1)1xxf x e e x x，设3()(1)1xxg x f x e e x x，则有33()()()()()x x x xg x e e x x e e x x g x，且2()3 1xxg x e e x，则()gx 为奇函数，且在R 上为增函数，(4)(2 3
15、)2 f x f x，即(4)1(2 3)1 f x f x，则有(5)(3 1)g x g x，则有 5 3 1 xx，解可得 2 x，即不等式的解集为(，2；故答案为：(，2 16.已知函数()2sin()(0,0)2f x x，()04f，()()44f x f x，且()fx 在2,18 9 上单调，则 的最大值为 5【解答】解：函数()2sin()f x x，()2sin()044f，第8 页 4k，kZ；又()()44f x f x，4x 是()fx 图象的对称轴，42k，kZ；由 得，24kk，kZ，取4，且 41 k，kZ；()2sin()4f x x 的最小正周期为2T；又(
16、)fx 在2(,)18 9上单调，29 18，即116，解得 6；综上，的最大值为 5 故答案为：5 三、解 答题（本大 题 共 6 小题，共 70 分，其 中 22，23 题 为选做 题，做其 中一 道即可.解 答应 写出详 细过 程.）17.等差数列na 的前n 项和为nS，2 1517 aa，1055 S 数列nb 满足2lognnab（1）求数列nb 的通项公式；（2）若数列nnab 的前n 项和nT 满足3218nTS，求n 的值【解答】解：（1）设等差数列na 的公差为d，则有112 15 17,10 45 55,adad 解得11,1,ad 则nan（3 分）又2lognnab，
17、即 2nanb，（4 分）所以 2nnb（5 分）（2）依题意得：231 2 1 2()()(1 2 3)(2 2 2 2)nn n nT a a a b b b n(1)2(1 2)2 1 2nnn 1(1)222nnn（8 分）又3232(1 32)18 18 5462S，则1(1)2 5482nnn，（10 分）第9 页 因为1(1)()22nnnfn 在*nN 上为单调递增函数，（11 分）所以 8 n（12 分）18.四棱锥P ABCD 中，PD 平面ABCD，AB AD，/AD BC，1 AB，22 AD BC，3 PD（1）求证：平面PBD 平面PAC；（2）M 为棱PB 上异于
18、B 的点，且AM MC，求直线AM 与平面MCD 所成角的正弦值【解答】（1）证明：在 Rt ABC 与 Rt ABD 中，22BCAB，22ABAD，BC ABAB AD，90 ABC DAB，ABC DAB，ABD BCA，90 ABD CBD，90 BCA CBD，AC BD，PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，PD AC，BD PD D，AC 平面PBD，又AC 平面PAC，平面PBD 平面PAC（4 分）（2）解：过A 作/AE DP，PD 平面ABCD，AE 平面ABCD，即AE，AB，AD 两两垂直，（5 分）以A 为原点，AB，AD，AE 所在的直线为x，y，z 轴，建立空
19、间直角坐标系，1 AB，22 AD BC，3 PD，(0 A，0，0)，(1 B，0，0)，(1 C，22，0)，(0,2,0)D，(0,2,3)P，(1 AB，0，0)，(1,2,3)BP，(0 CB，22，0)，设BM BP，(0，1，则 1,2,3 AM AB BP，2,2,32CM CB BP，第10页 AM MC，22(1)()2(2)3 02AM MC，由(0，1，解得13，（8 分）2(3AM，23，3)3，2(3M，23，3)3，设0(nx，0y，0)z 为平面MCD 的一个法向量，则0 0 0002 2 2 303 3 3202n DM x y zn DC x y，取 2 z
20、，得6(2n，3,2)，（10 分）设直线AM 与平面MCD 所成角为，|2 39sin cos,13|AM nAM nAM n，直线AM 与平面MCD 所成角的正弦值为2 3913（12 分）19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)xyC a bab 的上顶点为(0,3)，圆222:4aO x y 经过点(0,1)M（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P，Q 两点，过M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N，若 PQN 的面积为 3，求直线1l 的斜率【解答】解：（1）由椭圆C 的上顶点为(0,3)，则 3 b，又圆2 2 21:4O x
21、 y a，经过点(0,1)M，则 2 a，椭圆C 的方程为22143xy（4 分）第11 页（2）易知 不能与 轴垂直.设直线1l 的方程为 1 y kx，由221431xyy kx，消 y 可得22(3 4)8 8 0 k x kx，设点1(Px，1)y，2(Qx，2)y，则12 2834xkxk，12 2834xkx，2232 3 4 0 8k k，（6 分）222 2 21 2 1 2 1 2 24 6 1 2 1()()1|34kkPQ x x y y k x xk，（8 分）直线2l 的方程为11 yxk，即 0 x ky k，2222|2 111kMNkk，PQN 的面积22221
22、 1 4 6 1 2 1 232 2 3 41kkS PQ MNkk，（10 分）解得12k，即直线1l 的斜率为12（12 分）20.为方便市民出行，倡导低碳出行 某市公交公司推出利用支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动 设置了一 段时间的推广 期，在推 广期内采用随 机优惠鼓 励市民扫码支付乘车该公司 某线路公 交车队统计了 活动推广 期第一周内使 用 扫码支 付的情况，其中x（单位：天）表示活动 推出的天次，y（单位：十人次）表示当天使用扫码支付的人次，整理后得到如图所示的统计表 1 和散点图 表1:x 第 1天 第 2天 第 3天 第 4天 第 5天 第 6天 第 7天 y 7 12 2
23、0 33 54 90 148（1）由散点图分析后，可用bx aye 作为该线路公交 车在活动推广期使用扫 码支付的人次 y 关于活动推出天次x 的回归方程，根据表 2 的数据，求此回归 方程，并预报第8 天使用扫码支付的人次（精确到整数）表2:x y z 721iix 71iiixy 71iiixz 4 52 3.5 140 2069 112 表中 ln zy，7117iizz（2）推广期结束后，该车队对此期间乘客的支付情况进行统计，结果如表 3 表3:支付方式 现金 乘车卡 扫码 第12页 频率 10%60%30%优惠方式 无优惠 按 7 折支付 随机优惠（见下面统计结果）统计结果显示，扫码
24、支付中享受 5 折支付的频率为13，享受 7 折支付的频率为12，享受 9 折支付的频率为16 已知该线路公交车票价为 1 元，将上述频率作为相应事件发生的概率，记随机变量 为在活动期间该线路公交车搭载乘客一次的收入（单位：元），求 的分布列和期望 参考公式：对于一组数据(iu，)i，2(u，2)，(nu，)n，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221niiiniiu nuu nu，au 参考数据：5.3200.33 e，5.5244.69 e，5.7298.87 e【解答】解：（1）由题意得bx az lny lne bx a，717 2221112 7 4 3.517740 7
25、4iiiiiz xzbxxx，3.5 0.5 4 1.5 a z bx，z 关于x 的线性回归方程为 0.5 1.5 zx，即 y 关于x 的回归方程为0.5 1.5 xye，（4 分）当 8 x 时，5.5244.69 ye，第 8 天使用扫码支付的人次为 2447（6 分）（2）由题意得 的所有取值为 0.5，0.7，0.9，1，1(0.5)30%0.103P，1(0.7)60%30%0.752P，1(0.9)30%0.056P，(1)10%0.10 P，（8 分）的分布列为：0.5 0.7 0.9 1 P 0.10 0.75 0.05 0.10 第13页 0.5 0.10 0.7 0.7
26、5 0.9 0.05 1 0.10 0.72 E（12 分）21.已知函数1()lnaf x xx（1）讨论()fx 的单调性；（2）当01 a 时，证明：()(sin 1)xf x a x【解答】解：（1）由1()af x lnxx 得221 1(1)()(0)a x af x xx x x（1 分）当 10 a 即 1 a 时，()0 fx，所以()fx 在(0,)上单调递增（2 分）当 10 a 即 1 a 时，由()0 fx 得 1 xa；由()0 fx 得 1 xa，（3 分）所以()fx 在(0,1)a 上单调递减，在(1,)a 上单调递增（4 分）（2）要证()(sin 1)xf
27、 x a x 成立，只需证 ln 1 sin x x a a x a 成立，即证 ln sin 1 x x a x 下 证：ln 1 x x ax 设()ln 1 g x x x ax 则()ln 1 g x x a，（6 分）所以()fx 在1(0,)ae 上单调递减，在1(ae，)上单调递增 所以1 1 1 1()()(1)1 1a a a ag x g e a e ae e（8 分）因为01 a，所以110ae，则()0 gx，即 ln 1 x x ax，当且仅当 1 x，1 a 时取等号（9 分）再证：1 sin 1 ax a x 设()sin h x x x，则()1 cos 0 h
28、 x x 所以()hx 在(0,)上单调递增，则()(0)0 h x h，即 sin xx 因为01 a，所以 1 sin 1 ax a x 当且仅当 0 a 时取等号，（11 分）又 ln 1 x x ax 与 1 sin 1 ax a x 两个不等式的等号不能同时取到，即 ln sin 1 x x a x，所以()(sin 1)xf x a x（12 分）22.在极坐标系中，曲线1C 方程为 8cos 0，以极点为坐标原点，极轴为 轴正半轴的平面直角坐标系中，曲线23 cos:(sinxCy 为参数）（1）将1C，2C 化为直角坐标系中普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 极坐标
29、系 中1C 上的点 对应的极角 为34，Q 为2C 上的动 点，求PQ 中点M 到直线33:(2xtCtyt 为参数）距离的最小值【解答】解：（1）221:(4)16 C x y，222:13xCy.（3 分）1C 为圆心是(4,0)，半径是 4 的圆；2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是 3，短半轴长是 1 的椭圆.（5 分）第14页（2）当34 时，(4,4)P，(3 cos Q，sin)，故3(2 cos2M，12 sin)2 3C 为直线 50 xy，M 到3C 的距离 31|cos sin 9|222|sin()9|23 2d，从而当 sin()13 时，d 取得最小值
30、42（10 分）23.已知()|f x x（1）解不等式(2 3)5 fx；（2）若22(2)(3)1 x x f x f x a 在 1 x，3 上恒成立，求实数a 的取值范围【解答】解：（1）()|f x x，(2 3)|2 3|5 f x x，5 2 3 5 x，解之得，不等式的解集为|1 4 xx.（5 分）（2）22(2)(3)1 x x f x f x a 在 1 x，3 上恒成立，22|2|3|1 x x x x a 在 1 x，3 上恒成立，221 2(+1 1)x x x，当 时取等.且，当 时取等.最小值为 4，且当 时取到.（9 分），即.故a的范围|3 aa.（10 分）