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1、第第1章章 复数与复变函复数与复变函数数学物理方程数数学物理方程本讲稿第一页，共四十七页数学物理方法数学物理方法 复变函数论复变函数论 数学物理方程数学物理方程本讲稿第二页，共四十七页参考书目：参考书目：1.数学物理方程讲义（第三版），姜尚礼，高教版2.数学物理方程，陈才生，东南大学出版社3.数学物理方程，王明新，清华大学出版社4.数学物理方程，吴崇试，北京大学出版社5.数学物理方程（第二版），谷超豪，高等教育出版社6.数学物理方法（第3版），梁昆淼，高等教育出版社7.数学物理方法（2009），闫桂峰，高等教育出版社还可参阅其它有关复变函数、积分变换的书籍。本讲稿第三页，共四十七页第一章第一章
2、 复数与复变函数复数与复变函数1.1 复数和复平面的基本概念1.2 复平面区域与边界的定义1.3 初等复变函数1.4 复变函数的极限和连续性第一篇第一篇 复变函数论复变函数论本讲稿第四页，共四十七页1.1 1.1 复数和复平面的基本概念复数和复平面的基本概念复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x,y R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2，当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz2共轭复数z=xiy复数不能比较大小本讲稿第五页，共四十七页复平面复数与平面向量一一对应复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴
3、模幅角或 关系：主幅角本讲稿第六页，共四十七页本讲稿第七页，共四十七页欧拉公式：z=(cos+isin)z=exp(i)注意 两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k 本讲稿第八页，共四十七页复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：z=(cos+isin)指数表示：z=exp(i)本讲稿第九页，共四十七页复数的运算设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1 z2=(x1 x2)+i(y1 y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-z2)-z2本讲稿第十页，共四十七页乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加本讲稿第十一页，共四十七页除法运算两个复数相
4、除等于它们的模相除，幅角相减本讲稿第十二页，共四十七页乘方运算设本讲稿第十三页，共四十七页开方运算设（k0，1，2，n-1，n为自然数）上式中k每取一值对应一根，共有n个根。本讲稿第十四页，共四十七页共轭运算补充：补充：本讲稿第十五页，共四十七页例1.1计算复数解：所以（k0，1，2），对应三个根本讲稿第十六页，共四十七页例1.2 试利用复数证明三角形的内角和等于 证明：如图所以本讲稿第十七页，共四十七页课堂练习本讲稿第十八页，共四十七页1.2 1.2 复平面区域与边界的定义复平面区域与边界的定义定义1：邻域邻域-领域：领域：满足条件|z-z0|的所有复数的集合。记为-去心邻域：去心邻域：满足
5、条件0|z-z0|的所有复数的集合。|z-z0|0|z-z0|0，使得 那么称z0为E的内点内点。Ez0如果E内的每一个点都是它的内点，那么称E为开集开集。本讲稿第二十页，共四十七页定义3：区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1.D是开集；2.D是连通的。定义4：边界和闭区域设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界。区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为Dz1z2p本讲稿第二十一页，共四十七页若在区域D内作任意闭合曲线，曲线所包围的所有点都属于D，那么D称为单连通区域，单连通区
6、域，否则，D称为复连通区域。复连通区域。D单连通域多连通域定义5：单连通域与多连通域单连通域与多连通域规定规定：若观察者沿边界线走时，区域总保持在观察者的左边，那么观察者的走向为边界线的正向正向；反之，则称为边界线的负向负向。D逆时针方向逆时针方向顺时针方向顺时针方向本讲稿第二十二页，共四十七页xO yx yORx yORx yROrx yR-ROxO y课堂练习1用复数表示出下列点集本讲稿第二十三页，共四十七页课堂练习2在复平面表示出满足下列条件的点集本讲稿第二十四页，共四十七页1.3 1.3 初等复变函数初等复变函数设E是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，
7、对于集合E中的每一个复数z，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，复变函数，记为w=f(z)。说明1 如果z的一个值对应着w 的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值函数单值函数；如果z的一个值对应着多个w的值，那么我们称f(z)是多多值函数值函数。变量z为自变量自变量；w为因变量因变量；数集E为定义域定义域；w的所有取值构成的数集w|w=f(z),zE为值域值域复变函数的定义复变函数的定义本讲稿第二十五页，共四十七页说明2复变函数w =f(z)可以看作是z平面到w平面上的一个映射。复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=
8、x+iy=f(z)z平面平面本讲稿第二十六页，共四十七页指数函数性质幂函数n为正整数 可加性可加性周期性周期性几类基本初等函数本讲稿第二十七页，共四十七页三角函数性质周期性周期性无界性无界性设本讲稿第二十八页，共四十七页补充补充本讲稿第二十九页，共四十七页双曲函数性质1.以2i为周期2.与正弦函数、余弦函数的关系本讲稿第三十页，共四十七页补充补充本讲稿第三十一页，共四十七页根式函数注意根式函数是多值函数设本讲稿第三十二页，共四十七页对数函数性质1设本讲稿第三十三页，共四十七页性质2注意符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别恒等式下列式子不成立本讲稿第三十四页，共四十七页课堂练习计算Ln2，L
9、n(-1)，Ln(-i)，Ln(1+i)O x y1+i2-i-1本讲稿第三十五页，共四十七页一般幂函数性质多值函数只有为整数时，才是单值函数。本讲稿第三十六页，共四十七页课堂练习：1.求解sinz=0的全部根2.求解sinz=2的全部根本讲稿第三十七页，共四十七页反三角函数本讲稿第三十八页，共四十七页反双曲函数本讲稿第三十九页，共四十七页例1.3求 的值例1.4求 的值例1.5举例说明等式 可能不成立。本讲稿第四十页，共四十七页1.4 1.4 复变函数多值性的讨论复变函数多值性的讨论(自学自学)根式函数本讲稿第四十一页，共四十七页多值函数的函数值不仅与z的位置有关，而且与z的演变历史有关，因
10、为不同的演变历史将具有不同的幅角。多值复变函数的多值性来源于复数幅角的不确定性。支点 对于某一多值函数w而言，若自变量z在复平面上沿包围点a的任意闭合曲线环绕一周回到原处时，对应的函数值w都发生了改变，那么a点就称为多值函数wf(z)的支点。本讲稿第四十二页，共四十七页例求二次根式函数 的支点。是一个支点也是一个支点。因为：因为：z环绕无穷远点一周，就相当于环绕一个以原点为环绕无穷远点一周，就相当于环绕一个以原点为圆心、半径任意大的圆周一周，其结果将使圆心、半径任意大的圆周一周，其结果将使w的值发生改的值发生改变。变。本讲稿第四十三页，共四十七页单值分支函数 称为二次根式函数 的一个单值分支单值分支。平面（一）称为该二次根式函数的一个单叶区域单叶区域。本讲稿第四十四页，共四十七页黎曼面将z平面（一）中割线的下缘与z平面（二）中割线的上缘连接起来，所构成的双叶面称为二次根式函数 的黎曼面黎曼面。本讲稿第四十五页，共四十七页Riemann面根式函数在普通复平面中，表示同一点。本讲稿第四十六页，共四十七页对数函数Riemann面本讲稿第四十七页，共四十七页