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1、数学物理方法数学物理方法王丽艳答疑地点：数学系(图书馆507)概述概述主干基础课以高数和普物为基础，为后续专业主干基础课以高数和普物为基础，为后续专业课做准备承上启下。课做准备承上启下。课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述物理问题的能力、综合应用数学知识的能力，物理问题的能力、综合应用数学知识的能力，提高运算能力。提高运算能力。课程的主要内容有：复变函数论、积分变换及课程的主要内容有：复变函数论、积分变换及应用、偏微分方程的定解问题、特殊函数、近应用、偏微分方程的定解问题、特殊函数、近似解法似解法.教材及指导书 一、教材：一、教材：管平等编管平等编.
2、数学物理方法，第二版，高等教育出版社，数学物理方法，第二版，高等教育出版社，2010年年4月月 二、主要的参考书：二、主要的参考书：梁昆淼编梁昆淼编.数学物理方法，第三版，高等教育出版社，数学物理方法，第三版，高等教育出版社，1998年年6月月。胡嗣柱、倪光炯编，数学物理方法，上海：复旦大学出版社胡嗣柱、倪光炯编，数学物理方法，上海：复旦大学出版社郭敦仁编，数学物理方法，北京：人民教育出版社。郭敦仁编，数学物理方法，北京：人民教育出版社。陆全康编，数学物理方法自学辅导，上海：上海科学技术出版社。陆全康编，数学物理方法自学辅导，上海：上海科学技术出版社。要求和考核基本要求基本要求：1、课前预习、
3、课前预习2、按时、准时上课，不迟到、早退和缺席、按时、准时上课，不迟到、早退和缺席3、上课认真听讲，做好笔记、上课认真听讲，做好笔记4、课后复习，整理笔记，独立完成作业、课后复习，整理笔记，独立完成作业成绩组成和考试方式：成绩组成和考试方式：1、平时成绩（出勤、听课、作业、笔记、平时成绩（出勤、听课、作业、笔记)占占20%，考试占考试占80%2、考试方式：闭卷笔试、考试方式：闭卷笔试第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数主要内容:1.1复变函数和解析函数1.2复变函数的积分1.3复变函数的级数1.4留数及其应用1.5分式
4、线性变换。第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数1.1复变函数和解析函数1.1.1 复变函数z=x+iy x=Re z，y=Im z i为虚数单位，i2=-1复数的几何意义一、复数的概念一、复数的概念复平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数注：注：第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数复数的表示复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：z=r(cos+isin)指数表示：z=r exp(i)复数的运算z1=z2当且仅当Rez1=R
5、ez2且Imz1=Imz1注：注：复数不能比较大小复数不能比较大小复数相等第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数零点与无穷远点零点与无穷远点复平面上特殊的点:零点和无穷远点.(1)复数零的幅角没有定义,模为0.(2)无穷远点的模为,幅角不确定.包含“无穷远点”的复平面称为扩充复平面，该无穷远点借助测地投影法来定义。第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数测地投影法定义无穷远点A AA第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数二、复数的运算二、复数的运算第一章第一章 复变
6、函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数三、三、复变函数复变函数区域的基本概念邻域平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的-邻域|z-z0|0|z-z0|z0z0第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数开集如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。Gz0内点设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1
7、.D是开集；2.D是连通的。边界点设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。闭区域区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为Dz1z2p边界D的边界点之全体称为D的边界。第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数x yORx yORx yROrx yR-ROxO y1xO y第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数单连通域与多连通域单连通域与多连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B
8、，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。BB单连通域多连通域第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数复变函数的定义复变函数的定义设D是复平面上的一个区域。如果有一个确定的法则f存在，使得对于D内的的每一个复数z，有一个或多个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为w=f(z)。说明1如果z的一个值对应着唯一一个w值，那么我们称f(z)是单值函数单值函数；如果z的一个值对应着多个w值，那么我们称f(z)是多值函数多值函数。值域：M=w|w=f(z),zD第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复
9、变函数与解析函数说明2复变函数w=f(z)可以看作是z平面到w平面上的一个映射。复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iyw=f(z)z平面w平面第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数举例求0,0r1经w=iz变换后在w平面上的图形。z平面w平面第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数复变函数举例基本初等函数指数函数z平面w平面第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数双曲函数三角函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复
10、变函数与解析函数复变函数与解析函数对数函数幂函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数复变函数的极限和连续性设 A=u0+iv0第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数1.1.2 解析函数解析函数一、一、复变函数可微与导数的概念复变函数可微与导数的概念定义定义1第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数设复变函数设复变函数 f 在在 内有定义内有定义,如果极限如果极限存在存在,则称函数则称
11、函数 f 在在 处处可导可导,并称此极限值为并称此极限值为f在点在点 处的处的导数导数,记为记为 ,即即或记为或记为 定义定义结论结论：可微等价于可导，且：可微等价于可导，且若函数若函数 在区域在区域 D 内的每一点都可导，则称内的每一点都可导，则称在在 D 内可导内可导.第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数例例1.求求 (为正整数为正整数)的导数的导数.解：解：第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数1.从定义形式上看，复变
12、函数与一元实变函从定义形式上看，复变函数与一元实变函数数 是完全一样的，所以实变函数论中的相是完全一样的，所以实变函数论中的相关规则往往可以适用于复变函数。关规则往往可以适用于复变函数。2.复变函数的可导有更严格的要求复变函数的可导有更严格的要求 实变函数实变函数xx只能沿实轴逼近只能沿实轴逼近0 0，而复变函数而复变函数z则可以沿任何曲线逼近于则可以沿任何曲线逼近于0 0。例如：例如：注意注意：第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数首先看首先看z则沿实轴逼近于则沿实轴逼近于0的情形：的情形：再看再看z沿虚轴逼近于沿虚轴逼近于0的情形：的情形：第一章
13、第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数定理1.1.1(可导的必要条件必要条件)Cauchy-Riemann条件第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数例例5证明：证明：第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数定理定理（可微的充要条件）可微的充要条件）第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数
14、复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数导数导数f(z0)的幅角的幅角Argf(z0)是曲线经过是曲线经过w=f(z)映射后在映射后在z0处的处的转动角转动角.w=f(z)Argf(z0)导数导数f(z0)的模的模|f(z0)|是经过是经过w=f(z)映射后通过映射后通过z0的的任何曲线在任何曲线在z0的的伸缩率伸缩率。Z 平面平面w 平面平面复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角）第一章第一章 复变函数复
15、变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数解：解：第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数二、解析函数的定义二、解析函数的定义设函数w=f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域D内的每一点解析，则称f(z)在区域D内是解析函数说明2.称函数的不解析点为奇点1.解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数由定理由定理9.2即得：即得：定理定理9.3 （判断解析的充要条件）判断解析的充要条件）第一章
16、第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数解：解：例例7.下列函数在何处可导，何处解析下列函数在何处可导，何处解析第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数解解:第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数解解:第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数证明证明:第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数 三、三、初等函数及性质初等函数及性质1.1.指数指数函数函数性质：性质：注意注意：第一章第一章 复变
17、函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数2.2.三角函数三角函数性质：性质：，第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数3.3.对数对数函数函数说明：说明：第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数性质：性质：第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数解解:第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数4.4.幂函数幂函数性质：性质：第
18、一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数解：解：第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数作作 业业 习习 题题 （P P）1 1（1 1）（）（3 3）（）（5 5）；）；2 2第一章第一章
19、 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节
20、第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数.以以z轴作实部轴作实部,颜色作虚部颜色作虚部在这个图像中在这个图像中,为了把不同虚部表示出来为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了我们将它画成了4个个图像图像,它们分别具有不同的颜色它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的也就是虚部的值是不同的,而而实部的形状则相同实部的形状则相同.注意注意,在实轴的正方向在实轴的正方向,曲面的表现就是我曲面的表现就是我们熟悉的实数的对数函数曲线的图像们熟悉的实数的对数函数曲线的图像.第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数以以z轴作虚部轴作虚部,颜色作实部颜色作实部这个图像很这个图像很像一个螺旋像一个螺旋和上一个图和上一个图像完全不同像完全不同.第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数第一章第一章 复变函数复变函数 第一节第一节 复变函数与解析函数复变函数与解析函数