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1、洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用主要内容第1 页/共58 页1.Rolle 定理推论:一、中值定理第2 页/共58 页2.Lagrange 中值定理称为有限增量定理.推论第3 页/共58 页3.Cauchy 中值定理第4 页/共58 页4.Taylor 中值定理 第5 页/共58 页 常用函数的麦克劳林公式第6 页/共58 页二、LHospital 法则 LHospital 法则 I：第7 页/共58 页LHospital 法则 II:第8 页/共5
2、8 页第9 页/共58 页第10 页/共58 页三、导数应用 1.函数单调性的判定法设 f(x)在区间 I 上可导.2.函数的极值及其求法定义:极大值和极小值统称为极值,取得极值的点称为极值点.第11 页/共58 页导数为0 的点称为函数的驻点.极值存在的必要条件注意：导数不存在的点也可能是极值点!第12 页/共58 页极值存在的第一充分条件 第13 页/共58 页极值存在的第二充分条件 注意:(1)使二阶导数不为0 的点一定是极值点.第14 页/共58 页求极值的步骤(2)求出驻点和不可导点.(3)由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点.(4)求出极值点处的函数值即得全部极值.第15
3、页/共58 页步骤:(1)求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值.注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3.最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;第16 页/共58 页4.曲线的凹凸与拐点 定义:设 f(x)在 I 内连续,则 f(x)在 I 上图形为向上凹的.则 f(x)在 I 上图形为向上凸的.第17 页/共58 页判别法：拐点存在的必要条件 第18 页/共58 页一、内容小结1.中值定理Rolle 定理Lagrange 中值定理Cauchy 中值定理T
4、aylor 中值定理2.LHospital 法则3.导数的应用函数单调性判别法函数极值与判别法函数图形凹凸性判别法函数图形拐点的求法函数图形渐近线的求法4.弧微分及计算第19 页/共58 页1.水平渐近线 则 y=A 是曲线 y=f(x)的水平渐近线.2.铅直渐近线 则 x=a 是曲线 y=f(x)的铅直渐近线.第20 页/共58 页3.斜渐近线 则 y=kx+b 是曲线 y=f(x)的斜渐近线.由此可得第21 页/共58 页主要题型举例1.证明等式或讨论根的存在性2.证明不等式3.LHospital 法则的应用4.单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法5.应用问题的最值6.作图第22 页/共
5、58 页1.证明等式或讨论根的存在性Example 1.Proof.第23 页/共58 页由Rolle 定理，得第24 页/共58 页Example 2.分析：Proof.由Rolle 定理得:证明在(a,b)内方程第25 页/共58 页Example 3.若 a b 0,分析:第26 页/共58 页Proof.设 0ab,显然,f(x),g(x)满足Cauchy 中值定理的条件.由Cauchy 中值定理,第27 页/共58 页Proof.由介值定理,Example 4.第28 页/共58 页(1)(2)注意到由(1),(2)得(3)(4)(3)+(4),得第29 页/共58 页2.证明不等式
6、Example 5.Proof.利用Lagrange 中值定理证明不等式时,由Lagrange 中值定理,则第30 页/共58 页注意:第31 页/共58 页Example 6.Proof.第32 页/共58 页Example 7.设函数f(x)在0,1 上具有三阶连续导数,且 Proof.由 f(x)在0,1 上具有三阶连续导数,且 第33 页/共58 页从而两式相减得，第34 页/共58 页Example 8.Proof.当 x=0 时,等号成立.所以 f(x)单调递增.从而,第35 页/共58 页Example 9.Proof.所以 f(x)单调递增.第36 页/共58 页Example
7、 10.Proof.第37 页/共58 页3.LHospital 法则的应用Example 11.Solution.第38 页/共58 页Example 12.Solution.第39 页/共58 页Example 13.Solution.第40 页/共58 页Example 14.问 f(x)在 x=0 处是否连续可导?Solution.故 f(x)在 x=0 处连续.第41 页/共58 页故 f(x)在 x=0 处可导.第42 页/共58 页4.单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法Example 15.Solution.列表讨论如下:第43 页/共58 页Example 16.Proof
8、.所以 G(x)单调递增.所以 F(x)单调递增.第44 页/共58 页Example 17.Solution.列表讨论如下:极大极小第45 页/共58 页Example 18.Solution.拐点 拐点第46 页/共58 页Example 19.Solution.第47 页/共58 页Example 20.Solution.第48 页/共58 页5.应用问题的最值Example 21.从一块边长为a 的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截去多大的小方块，才使盒子容量最大？Solution.如图所示第49 页/共58 页第50 页/共58 页Example 22.Solution.6.作图 第51 页/共58 页第52 页/共58 页Example23.Solution.奇函数第53 页/共58 页第54 页/共58 页列表如下:第55 页/共58 页极大值 拐点极小值第56 页/共58 页作图The end 第57 页/共58 页感谢您的欣赏第58 页/共58 页