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1、费马费马(fermat)引引理理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定定理理且 存在证:设则费马 证毕第1页/共27页罗尔（罗尔（Rolle）定）定理理满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在 a,b 上取得最大值 M 和最小值 m.若 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点第2页/共27页若若 M m,则则 M 和和 m 中至少有一个与端中至少有一个与端点值不等点值不等,不妨设 则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.则由费马引理得 例如,第3页/共27页使2)定理条件只是充分定理条件只是充分的的.本定理可推广为在(
2、a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证 F(x)在 a,b 上满足罗尔定理.第4页/共27页例例1.证明方程证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设第5页/共27页二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存
3、在一点即定理结论成立.拉氏 证毕第6页/共27页拉格朗日中值定理的拉格朗日中值定理的有限增量形式有限增量形式:推论:若函数在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.证:在 I 上任取两点格朗日中值公式,得由 的任意性知,在 I 上为常数.令则第7页/共27页例例2.证明等式证明等式证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证:经验:欲证时只需证在 I 上第8页/共27页例例3.证明不等式证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有第9页/共27页三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定中值定理理分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3
4、)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西 构造辅助函数第10页/共27页证证:作辅助函数作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错!上面两式相比即得结论.第11页/共27页柯西定理的几何意柯西定理的几何意义义:注意:弦的斜率切线斜率第12页/共27页例例4.设设至少存在一点使证:问题转化为证设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明第13页/共27页例例5.试证至少存在一点试证至少存在一点使证:法1 用柯西中值定理.则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即分析:
5、第14页/共27页例例5.试证至少存在一试证至少存在一点点使法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在第15页/共27页内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理第16页/共27页思考与练习思考与练习1.填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程第17页/共27页2.设设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设第1
6、8页/共27页3.若若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.第19页/共27页4.思考思考:在在即当时问是否可由此得出 不能!因为是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.应用拉格朗日中值定理得上对函数第20页/共27页作业作业P134 7,8,10,12,14,*15提示:题*15.题14.考虑第二节 第21页/共27页备用题备用题求证存在使1.设 可导，且在连续，证:设辅助函数因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即使得第25页/共27页设 证明对任意有证：2.不妨设第26页/共27页感谢您的欣赏！第27页/共27页