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1、Chapter 4(5)微分中值定理与微分中值定理与导数应用小结导数应用小结洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用主要内容主要内容1.Rolle定理定理推论推论:一、中值定理一、中值定理2.Lagrange 中值定理中值定理称为有限增量定理称为有限增量定理.推论推论3.Cauchy中值定理中值定理4.Ta
2、ylor中值定理中值定理 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式二、二、LHospital法则法则 LHospital法则法则 I：LHospital法则法则 II:三、导数应用三、导数应用 1.函数单调性的判定法函数单调性的判定法设设 f(x)在区间在区间 I上可导上可导.2.函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:极大值和极小值统称为极值极大值和极小值统称为极值,取得极值的点称为极值点取得极值的点称为极值点.导数为导数为0的点称为函数的驻点的点称为函数的驻点.极值存在的必要条件极值存在的必要条件注意：导数不存在的点也可能是极值点注意：导数不存在的点也可能是极值点!极值存在的第一
3、充分条件极值存在的第一充分条件 极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件 注意注意:(1)使二阶导数不为使二阶导数不为0的点一定是极值点的点一定是极值点.求极值的步骤求极值的步骤(2)求出驻点和不可导点求出驻点和不可导点.(3)由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点.(4)求出极值点处的函数值即得全部极值求出极值点处的函数值即得全部极值.步骤步骤:(1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点;(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较比较大小大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最那
4、个小那个就是最小值小值.注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)3.最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;4.曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 定义定义:设设 f(x)在在 I内连续内连续,则则 f(x)在在 I上图形为向上凹的上图形为向上凹的.则则 f(x)在在 I上图形为向上凸的上图形为向上凸的.判别法：判别法：拐点存在的必要条件拐点存在的必要条件 一、内容小结一、内容小结1.中值定理中值定理Rolle定理定理Lagr
5、ange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理Taylor中值定理中值定理2.LHospital法则法则3.导数的应用导数的应用函数单调性判别法函数单调性判别法函数极值与判别法函数极值与判别法函数图形凹凸性判别法函数图形凹凸性判别法函数图形拐点的求法函数图形拐点的求法函数图形渐近线的求法函数图形渐近线的求法4.弧微分及计算弧微分及计算1.水平渐近线水平渐近线 则则 y=A 是曲线是曲线 y=f(x)的水平渐近线的水平渐近线.2.铅直渐近线铅直渐近线 则则 x=a 是是曲线曲线 y=f(x)的的铅直渐近线铅直渐近线.3.斜渐近线斜渐近线 则则 y=kx+b 是曲线是曲线 y=f(x)的斜的
6、斜渐近线渐近线.由此可得由此可得主要题型举例主要题型举例1.证明等式或讨论根的存在性证明等式或讨论根的存在性2.证明不等式证明不等式3.LHospital法则的应用法则的应用4.单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法5.应用问题的最值应用问题的最值6.作图作图1.证明等式或讨论根的存在性证明等式或讨论根的存在性Example 1.Proof.由由Rolle定理，得定理，得Example 2.分析：分析：Proof.由由Rolle定理得定理得:证明在证明在(a,b)内方程内方程Example 3.若若 a b 0,分析分析:Proof.设设 0ab,显然显然
7、,f(x),g(x)满足满足Cauchy中值定理的条件中值定理的条件.由由Cauchy中值定理中值定理,Proof.由介值定理由介值定理,Example 4.(1)(2)注意到注意到由由(1),(2)得得(3)(4)(3)+(4),得得2.证明不等式证明不等式Example 5.Proof.利用利用Lagrange中值定理证明不等式时中值定理证明不等式时,由由Lagrange中值定理中值定理,则则注意注意:Example 6.Proof.Example 7.设设函数函数f(x)在在0,1上具有三阶连续导数上具有三阶连续导数,且且 Proof.由由 f(x)在在0,1上具有三阶连续导数上具有三阶
8、连续导数,且且 从而从而两式相减两式相减得，得，Example 8.Proof.当当 x=0 时时,等号成立等号成立.所以所以 f(x)单调递增单调递增.从而从而,Example 9.Proof.所以所以 f(x)单调递增单调递增.Example 10.Proof.3.LHospital法则的应用法则的应用Example 11.Solution.Example 12.Solution.Example 13.Solution.Example 14.问问 f(x)在在 x=0处是否连续可导处是否连续可导?Solution.故故 f(x)在在 x=0处连续处连续.故故 f(x)在在 x=0处可导处可
9、导.4.单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法Example 15.Solution.列表讨论如下列表讨论如下:Example 16.Proof.所以所以 G(x)单调递增单调递增.所以所以 F(x)单调递增单调递增.Example 17.Solution.列表讨论如下列表讨论如下:极大极大极小极小Example 18.Solution.拐点拐点拐点拐点Example 19.Solution.Example 20.Solution.5.应用问题的最值应用问题的最值Example 21.从一块边长为从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截去同样大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截去多大的小方块，才使盒子容量最大？多大的小方块，才使盒子容量最大？Solution.如图所示如图所示Example 22.Solution.6.作图作图 Example23.Solution.奇函数奇函数列表如下列表如下:极大值极大值拐点拐点极小值极小值作图作图The end