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1、高二数学简单的线性规划2 设z=2x+y，式中变量x、y 满足下列条件 求z 的最大值和最小值 分 析：从 变 量x、y 所 满 足 的 条 件来 看，变 量x、y 所 满 足 的 每 个 不 等 式都 表 示 一 个 平 面 区 域，不 等 式 组 则表示这些平面区域的公共区域xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC 分 析：不 等 式 组 表 示 的 区 域 是 图中的ABC xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC 从图上可看出，点(0，0)不在以上公共区域内，当x=0，y=0 时，t=2x+y=0 点(0，0)在直线l0：2x+y=0 上xyO1 2 3 4 5 6
2、 7654321ABC 作 一 组 与 直 线l0平 行 的 直 线(或 平 行移动直线l0)l：2x+y=t，t R 可 知，当 在l0的 右 上 方 时，直 线 上的点(x，y)满足2x+y 0，即t 0 xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC而且,直线l 往右上平移时,t 随之增大 在 经 过 不 等 式 组 所 表 示 的 公 共 区域 内 的 点 且 平 行 于l 的 直 线 中，以 经 过点A(5，2)的直线l2所对应的t 最大，l2大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点 以 经 过 点B(1，1)的 直 线l1所 对 应 的
3、t 最 小 所 以：zmax=2 5+2=12，zmin=2 1+3=3 xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABCl2l1 在 上 述 问 题 中，不 等 式 组 是 一 组对 变 量x、y 的 约 束 条 件，由 于 这 组 约束 条 件 都 是 关 于x、y 的 一 次 不 等 式，所 以 又 可 称 其 为 线 性 约 束 条 件 z=2x+y 是 欲 达 到 最 大 值 或 最 小 值 所 涉及 的 变 量x、y 的 解 析 式，我 们 把 它 称为 目 标 函 数 由 于z=2x+y 又 是 关 于x、y 的 一 次 解 析 式，所 以 又 可 叫 做 线性目标函数线性规划
4、的有关概念：注 意：线 性 约 束 条 件 除 了 用 一 次 不等式表示外，也可用一次方程表示 一 般 地，求 线 性 目 标 函 数 在 线 性约 束 条 件 下 的 最 大 值 或 最 小 值 的 问 题，统称为线性规划问题例如：我 们 刚 才 研 究 的 就 是 求 线 性 目 标函 数z=2x+y 在 线 性 约 束 条 件 下 的 最大 值 和 最 小 值 的 问 题，即 为 线 性 规 划问题线性规划的有关概念：满 足 线 性 约 束 条 件 的 解(x，y)叫做 可 行 解，由 所 有 可 行 解 组 成 的 集 合叫 做 可 行 域 在 上 述 问 题 中，可 行 域就 是
5、阴 影 部 分 表 示 的 三 角 形 区 域 其中 可 行 解(5，2)和(1，1)分 别 使 目 标函 数 取 得 最 大 值 和 最 小 值，它 们 都 叫做这个问题的最优解线性规划的有关概念：例1已知x、y 满足，试求z=300 x+900y 的最大值典型例题：分 析：先 画 出 平 面 区 域，然 后在 平 面 区 域 内 寻 找 使z=300 x+900y 取最大值时的点 例1已知x、y 满足，试求z=300 x+900y 的最大值典型例题：解：作 出 可 行域，见 图 中 四 边 形AOBC 表 示 的 平 面区域x+2y=2502x+y=300 xy250 150COBA典型例
6、题：作出直线l0：300 x+900y=0，即x+3y=0，将它平移至点A，显然，点A 的坐标是可行域中的最优解，它使z=300 x+900y 达到最大值 易得点A(0，125)，所以z max=3000+900125=112500 l0：x+3y=0 xy250 150COBAx+2y=2502x+y=300解线性规划问题的基本步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值典型例题：变 题1：在 例1中，若 目 标 函 数 设 为z=400 x+300y，约 束 条件 不 变，则z 的 最 大 值在
7、点C 处取得 l0：4x+3y=0 xy250 150COBAx+2y=2502x+y=300 变 题2：若 目 标 函 数 设 为z=300 x+600y，约 束 条 件 不 变，则z 的 最 大 值 可在线段AC 上任一点处取得等等 事 实 上，可 行 域 内 最 优 解 对 应 的点 在 何 处，与 目 标 函 数z=ax+by(a 0，b 0)所 确 定 的 直 线l0：ax+by=0的斜率()有关 就 本 例 而 言，若=(直 线x+2y=250的 斜 率)，则 线 段AC 上 所 有点 都 使z 取 得 最 大 值(如：z=300 x+600y 时)；当 0 时，点A 处使z 取得
8、最大值(比如：例1)；当 2 时，点C 处使z 取得最大值(比如：z=400 x+300y 时)，其它情况请同学们课外思考 例2 求z=600 x+300y 的最大值，使式中的x，y 满足约束条件 典型例题：分 析：画 出 约 束条 件 表 示 的 平 面 区域即可行域再解xyO252100CBA3x+y=300 x+2y=2522x+y=0 z max=60070+300900=69000 例3 已知x、y 满足不等式组求z=3x+y 的最小值典型例题：分析：可先找出可行域,平行移动直线l0：3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值.z min=1 2x+y=1xy20.5OPx+
9、2y=2l0：3x+y=0 1满足线性约束条件的可行域内共有_个整数点 4 2设z=x y，式中变量x，y 满足求z 的最大值和最小值z max=1，z min=3练习：小结 3教材P64练习1：(1)求z=2x+y 的最大值，使式中的x、y 满足约束条件练习：小结xy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2 x+y=0 x+y-1=0 x-y=0CBAO2 1-1-2-1123z max=3 3教材P64练习1：(2)求z=3x+5y 的最大值和最小值，使x、y 满足约束条件练习：小结xy(98,178)3x+5y=05x+3y-15=0 x-y+1=0CBAO3x-5y-3=0-1-115z max=14，z min=11.小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1根据线性约束条件画出可行域(即不等式组所表示的公共区域)；2设t=0，画出直线l0 3观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解 4最后求得目标函数的最大值或最小值