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1、课题：简单的的线性性规划划（3 3）线性性规划的划的应用用2021/8/11 星期三1汉寿县第三中学 艾镇南解线性规划应用问题的一般步骤解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数）设好变元并列出不等式组和目标函数3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）在可行域内求目标函数的最优解（注意整数解的调整）1）理清题意，列出表格：）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题还原成实际问题(准确作图，准确计算准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；画出线性约束
2、条件所表示的可行域，画图力保准确；法法1 1：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的：移在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；法法2 2：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取：算线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。2021/8/11 星期三2汉寿县
3、第三中学 艾镇南应用应用1 1有关二元一次代数式取值范围有关二元一次代数式取值范围解：由解：由、同向相加可得：同向相加可得：求求2x+y的取值范围。的取值范围。例例1.若实数若实数x,y满足满足 由由得得 将上式与将上式与同向相加得同向相加得 +得得以上解法正确吗？为什么？以上解法正确吗？为什么？2021/8/11 星期三3汉寿县第三中学 艾镇南首先：我们画出首先：我们画出表示的平面区域表示的平面区域 当当x=3,y=0时时,得出得出2x+y的的最小值为最小值为6,但此时但此时x+y=3,点点(3,0)不在不等式组的所表不在不等式组的所表示的平面区域内示的平面区域内,所以上述所以上述解答明显错
4、了解答明显错了1234567x6543210-1-1-2y-2-3-4ADCB但不等式但不等式与不等式与不等式所表示的平面区域却不同？所表示的平面区域却不同？（扩大了许多！）（扩大了许多！）从图中我们可以看出从图中我们可以看出没错没错解得解得2021/8/11 星期三4汉寿县第三中学 艾镇南通过分析，我们知道上述解法中，通过分析，我们知道上述解法中，是对的，但用是对的，但用x的最大的最大(小小)值及值及y的最大的最大(小小)值来确值来确定定2x+y的最大的最大(小小)值却是不合理的。值却是不合理的。怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就怎么来解决这个问题和这一类问题呢？这就是我们今天要学习的线
5、性规划问题。是我们今天要学习的线性规划问题。求求2x+y的取值范围。的取值范围。例例1.若实数若实数x,y满足满足 2021/8/11 星期三5汉寿县第三中学 艾镇南y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB我们设我们设我们设我们设z=2x+y方程变形为方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为等式表示斜率为-2,纵截距为纵截距为z的直线的直线,把把z看成参数看成参数,方程表示的是一组平行线方程表示的是一组平行线要求要求z的范围，现在就的范围，现在就转化为求转化为求这一组平行线这一组平行线中中,与阴影区域有交点与阴影区域有交点,且在且在y轴上的截距达到轴上的截距达到最大和最
6、小的直线最大和最小的直线.由图，我们不难看出，这由图，我们不难看出，这种直线的纵截距的最小值为种直线的纵截距的最小值为过过A(3,1)的直线，纵截距最的直线，纵截距最大为过大为过C(5,1)的直线。的直线。所以所以过过A(3,1)时，因为时，因为z=2x+y，所，所以以同理，过同理，过B(5,1)时，因为时，因为z=2x+y，所以，所以2021/8/11 星期三6汉寿县第三中学 艾镇南y1234567x6543210-1-1-2-2-3-4ADCB解：作线形约束条件所表解：作线形约束条件所表示的平面区域，即如图所示的平面区域，即如图所示四边形示四边形ABCD。作直线所以，求得求得 A(3,1)
7、B(4,0)C(5,1)D(4,2)可使达到最小值，将直线平移，平移到过A点的平行线与重合时，达到最大值。可使当平移过C点时，与的平行线重合时，例例1.若实数若实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范围的取值范围2021/8/11 星期三7汉寿县第三中学 艾镇南解法2：由待定系数法:设 2x+y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)ym+n=2，m-n=1 m=3/2，n=1/2 2x+y=3/2(x+y)+1/2(x-y)4x+y6，2x-y472x+y11例例1.若实数若实数x,y满足满足 求求2x+y的取值范围的取值范围2021/8/11 星期三8汉寿县第三中学 艾镇南例
8、例1:某某工工厂厂生生产产甲甲、乙乙两两种种产产品品.已已知知生生产产甲甲种种产产品品1t需需消消耗耗A种种矿矿石石10t、B种种矿矿石石5t、煤煤4t；生生产产乙乙种种产产品品1吨吨需需消消耗耗A种种矿矿石石4t、B种种矿矿石石4t、煤煤9t.每每1t甲甲种种产产品品的的利利润润是是600元元,每每1t乙乙种种产产品品的的利利润润是是1000元元.工工厂厂在在生生产产这这两两种种产产品品的的计计划划中中要要求求消消耗耗A种种矿矿石石不不超超过过300t、消消耗耗B种种矿矿石石不不超超过过200t、消消耗耗煤煤不不超超过过360t.甲甲、乙乙两两种种产产品品应应各各生生产产多多少少(精精确到确
9、到0.1t),能使利润总额达到最大能使利润总额达到最大?甲产品甲产品 （1t）乙产品乙产品 （1t）资源限额资源限额 （t）A种矿石（种矿石（t）B种矿石（种矿石（t）煤（煤（t）利润（元）利润（元）产品产品消耗量消耗量资源资源列表列表：51046004491000300200360设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元应用2有关利润最高、效益最大等问题2021/8/11 星期三9汉寿县第三中学 艾镇南例题分析例题分析 甲产品甲产品 （1t）乙产品乙产品 （1t）资源限额资源限额 （t）A种矿石（种矿石（t）B种矿石（种矿石（t）煤（煤（
10、t）利润（元）利润（元）产品产品消耗量消耗量资源资源列表列表：51046004491000300200360把题中限制条件进行把题中限制条件进行转化：转化：约束条件约束条件10 x+4y3005x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y.目标函数：目标函数：设生产甲、乙两种产品设生产甲、乙两种产品.分别为分别为x t、yt,利润总额为利润总额为z元元xtyt2021/8/11 星期三10汉寿县第三中学 艾镇南例题分析解解:设设生生产产甲甲、乙乙两两种种产产品品.分分别别为为x t、yt,利利润润总总额额为为z=600 x+1000y.元元,那么那么10 x+4y300
11、5x+4y2004x+9y360 x0y 0z=600 x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出以上不等式组所表示的可行域作作 出出 一一 组组 平平 行行 直直 线线 600 x+1000y=t，解得交点解得交点M的坐标为的坐标为(12.4,34.4)5x+4y=2004x+9y=360由由10 x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600 x+1000y=0M答答:应生产甲产品约应生产甲产品约12.4吨，乙产品吨，乙产品34.4吨，能使利润总额达到最大。吨，能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经经过过可可行行域域上上的的点点M时时,目目标标函函数数在在y轴上
12、截距最大轴上截距最大.9030 0 xy10 201075405040此时此时z=600 x+1000y取得最大值取得最大值.2021/8/11 星期三11汉寿县第三中学 艾镇南【例例例例3 3 3 3】营养学家指出营养学家指出营养学家指出营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供成人良好的日常饮食应该至少提供成人良好的日常饮食应该至少提供成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg0.075kg0.075kg0.075kg的碳水化合物的碳水化合物的碳水化合物的碳水化合物,0.06kg0.06kg0.06kg0.06kg的蛋白质的蛋白质的蛋白质的蛋白质,0.06kg0.06kg0.06kg0
13、.06kg的脂肪的脂肪的脂肪的脂肪.1kg1kg1kg1kg食物食物食物食物A A A A含有含有含有含有0.105kg0.105kg0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物碳水化合物碳水化合物,0.07kg0.07kg0.07kg0.07kg蛋白质蛋白质蛋白质蛋白质,0.14kg0.14kg0.14kg0.14kg脂肪脂肪脂肪脂肪,花费花费花费花费28282828元元元元;而而而而1kg1kg1kg1kg食物食物食物食物B B B B含有含有含有含有0.105kg0.105kg0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物碳水化合物碳水化合物,0.14kg0.14kg0.14kg0
14、.14kg蛋白质蛋白质蛋白质蛋白质,0.07kg0.07kg0.07kg0.07kg脂脂脂脂肪肪肪肪,花费花费花费花费21212121元元元元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求为了满足营养专家指出的日常饮食要求为了满足营养专家指出的日常饮食要求为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花同时使花同时使花同时使花费最低费最低费最低费最低,需要同时食用食物需要同时食用食物需要同时食用食物需要同时食用食物A A A A和食物和食物和食物和食物B B B B多少多少多少多少kgkgkgkg？应用3有关成本最低、运费最少等问题得点得点得点得点MM的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为 答：每天需要同时食用食
15、物答：每天需要同时食用食物答：每天需要同时食用食物答：每天需要同时食用食物A A约约约约0.143 kg0.143 kg，食物食物食物食物B B约约约约0.571 kg0.571 kg，能够满足日常饮食要求，能够满足日常饮食要求，能够满足日常饮食要求，能够满足日常饮食要求，且花费最低且花费最低且花费最低且花费最低1616元元元元.幻灯片幻灯片13幻灯片幻灯片142021/8/11 星期三12汉寿县第三中学 艾镇南解：设每天食用解：设每天食用解：设每天食用解：设每天食用xkgxkg食物食物食物食物A A,ykgykg食物食物食物食物B B,总花费为总花费为总花费为总花费为z z元元元元,则目标函
16、数为则目标函数为则目标函数为则目标函数为z=28x+21yz=28x+21y且且且且x x、y y满足约束条件满足约束条件满足约束条件满足约束条件 ,整理为整理为整理为整理为 作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件所表示的可行域，作出约束条件所表示的可行域，如右图所示如右图所示如右图所示如右图所示目标函数可变形为目标函数可变形为目标函数可变形为目标函数可变形为如图，作直线如图，作直线如图，作直线如图，作直线,当直线当直线当直线当直线平移经过可行域时，在平移经过可行域时，在平移经过可行域时，在平移经过可行域时，在 点点点点MM处达到处达到处达到处达到轴上截距轴上截距
17、轴上截距轴上截距的最小值，即此时的最小值，即此时的最小值，即此时的最小值，即此时有最小值有最小值有最小值有最小值.解方程组解方程组解方程组解方程组 ，返回幻灯片返回幻灯片122021/8/11 星期三13汉寿县第三中学 艾镇南线性规划的应用练习：v1、已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。解法1：由待定系数法:设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b)=(m+n)a+(m-2n)bm+n=1，m-2n=3 m=5/3，n=-2/3 a+3b=5/3(a+b)-2/3(a-2 b)-1a+b1，1a-2 b3-11/3a+3 b1解法2：-1a+b1，1a-2 b3-22a+
18、2 b2，-32 b-a-1-1/3a5/3 -4/3b0-13/3a+3 b5/32021/8/11 星期三14汉寿县第三中学 艾镇南 已知：-1a+b1，1a-2b3，求a+3b的取值范围。解法2 约束条件为：目标函数为：z=a+3b由图形知：-11/3z1即 -11/3a+3 b12021/8/11 星期三15汉寿县第三中学 艾镇南xy02x+y-600=0300600 x+2y-900=0A(100,400)2.某某家家具具厂厂有有方方木木材材90m3，木木工工板板600m3，准准备备加加工工成成书书桌桌和和书书橱橱出出售售，已已知知生生产产每每张张书书桌桌需需要要方方木木料料0.1m
19、3、木木工工板板2m3；生生产产每每个个书书橱橱需需要要方方木木料料0.2m3，木木工板工板1m3，出售一张书桌可以获利，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利元，出售一张书橱可以获利120元；元；（1）怎样安排生产可以获利最大？）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？）若只生产书橱可以获利多少？（1）设设生生产产书书桌桌x张张，书书橱橱y张张，利利润为润为z元，元，则约束条件为则约束条件为 0.1x+0.2y900.1x+0.2y902x+y6002x+y600 x x，yNyN*Z=80 x+120y
20、Z=80 x+120y作出不等式表示的平面区域，作出不等式表示的平面区域，当当生生产产100张张书书桌桌，400张张书书橱橱时时利利润润最最大大为为z=80100+120400=56000元元（2）若只生产书桌可以生产）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利张，用完木工板，可获利 24000元；元；（3）若只生产书橱可以生产）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利张，用完方木料，可获利54000元。元。将直线将直线z=80 x+120y平移可知：平移可知：900450求解：求解：2021/8/11 星期三16汉寿县第三中学 艾镇南产品 资源甲种棉纱（吨）x乙种棉纱（吨）y资
21、源限额（吨）一级子棉（吨）21300二级子棉（吨）12250利润（元）6009003 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?2021/8/11 星期三17汉寿县第三中学 艾镇南v解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则Z=600 x+900y作出可行域，可知直作出可行域，可知直线线Z=6
22、00 x+900y通过通过点点M时利润最大。时利润最大。解方程组解方程组得点得点M的坐标的坐标x=350/3117y=200/367答：应生产甲、答：应生产甲、乙两种棉纱分别乙两种棉纱分别为为117吨、吨、67吨，吨，能使利润总额达能使利润总额达到最大。到最大。2021/8/11 星期三18汉寿县第三中学 艾镇南4、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉、咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g、咖啡、咖啡4g、糖、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉乙种饮料每杯含奶粉4g、咖啡、咖啡5g、糖、糖10g已知已知每天原料的使用限额为奶粉每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡，咖啡2000g糖糖3000g,
23、如果甲种饮料每杯能获利如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利1.2元，元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大种饮料各多少杯能获利最大？解：将已知数据列为下表：解：将已知数据列为下表：消耗量消耗量资源资源甲产品甲产品（1 杯）杯）乙产品乙产品(1杯杯)资源限额资源限额（g）奶粉奶粉（g g）9 94 436003600咖啡咖啡(g)(g)4 45 520002000糖糖(g)(g)3 3101030003000利润（元）利润（元）0.70.71.21.2产品产品2021/8
24、/11 星期三19汉寿县第三中学 艾镇南设每天应配制甲种饮料设每天应配制甲种饮料x x杯，乙种饮料杯，乙种饮料y y杯，则杯，则作出可行域：作出可行域：目标函数为：目标函数为：z=0.7x+1.2yz=0.7x+1.2y作直线作直线l:0.7x+1.2y=0l:0.7x+1.2y=0，把把直直线线l l向向右右上上方方平平移移至至l l1 1的的位位置置时，时，直直线线经经过过可可行行域域上上的的点点C C，且且与与原原点距离最大，点距离最大，此时此时z=0.7x+1.2yz=0.7x+1.2y取最大值取最大值解方程组解方程组 得点得点C C的坐标为（的坐标为（200200，240240）_0
25、_ 9 x+4 y=3600_ C(200,240)_ 4 x+5 y=2000_ 3 x+10 y=3000_ 7 x+12 y=0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_ 0_ x_ y2021/8/11 星期三20汉寿县第三中学 艾镇南煤矿 车站甲煤矿（元/吨）乙煤矿（元/吨）运量（万吨）东车站10.8280西车站1.51.6360产量（万吨）200300例2.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨
26、和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?应用3有关成本最低、运费最少等问题2021/8/11 星期三21汉寿县第三中学 艾镇南解：设甲煤矿运往东车站x万吨，乙煤矿运往东车站y万吨，则约束条件为：目标函数为:z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y)=780-0.5x-0.8y (万元)答案：当答案：当 x=0,y=280时，即时，即甲煤矿运往东车站甲煤矿运往东车站0吨，西车站吨，西车站200吨；乙煤矿运往东车站吨；乙煤矿运往东车站280吨，西吨，西车站车站20吨吨.总运费最少总运费最少 556万元。万元。2021/8/11 星期三22汉寿县第三中学 艾镇南复习回顾：二元一次不等式二元一次不等式表示平面区域表示平面区域直线定界，直线定界，特殊点定域特殊点定域简单的线性规划简单的线性规划约束条件约束条件目标函数目标函数可行解可行解可行域可行域最优解最优解应应用用求解方法：画、求解方法：画、移、求、答移、求、答2021/8/11 星期三23汉寿县第三中学 艾镇南欢迎各位老迎各位老师光光临指指导同学同学们再再见！2021/8/11 星期三24汉寿县第三中学 艾镇南