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1、人教A版（2019）必修第二册6.2 平面向量的运算提升训练一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知等腰RtABC的斜边AB长为2，点M满AM=AC+AB，则MB.MC=()A. 2B. 2C. 2D. 02.（5分）已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，ab，则x=()A. 1B. 1C. 2D. 23.（5分）已知向量a，b满足|a|=1，ab=1，则a(2ab)=A. 4B. 3C. 2D. 04.（5分）设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc，则实数k的值等于()A. 32B. 53C. 53D. 325.（5分）在ABC中,有下列四个命题:;=0;若
2、()()=0,则ABC为等腰三角形;若0,则ABC为锐角三角形.其中正确的命题有A. B. C. D. 6.（5分）在ABC中，已知|AB|=4，|AC|=1，ABC的面积为3，则ABAC=()A. 2B. 4C. 2D. 47.（5分）已知向量BA=32,12，BC=0,1，则向量BA与BC的夹角大小为()A. 6B. 4C. 3D. 238.（5分）已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是()A. a.b=1B. a2=b2C. 若a/ba=bD. a.b=0二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）若Ai(i=1,2,，n)是AOB所在的平面内的点，且OAiOB=OAOB.下
3、面给出的四个命题中，其中正确的是()A. |OA1|+|OA2|+|OAn|=|OA|B. AAiOB=0C. 点A、A1、A2An一定在一条直线上D. OA、OAi在向量OB方向上的投影数量一定相等10.（5分）已知向量a=(2,1)，b=(3,1)，则()A. (a+b)/aB. 向量a在向量b上的投影向量为12bC. a与ab的夹角余弦值为255D. 若c=(55,255)，则ac11.（5分）已知a=(3,1)，b=(1,2)，则正确的有()A. b=5B. 与a同向的单位向量是(，)C. a和b的夹角是D. 与b垂直的单位向量是(，)12.（5分）已知向量a=(1,k),b=(2k,
4、3)，则下列说法正确的是()A. 若k3，则向量a,b可以表示平面内任一向量B. 若|ab|=|a+b|，则k=12C. 若(a)2(b)2，则k3D. 若k0cos0,即cos A0,A为锐角,但不能确定B,C的大小,不能判定ABC是否为锐角三角形,错误.故选C.6.【答案】C;【解析】解：由|AB|=4，|AC|=1，ABC的面积为3，则12ABACsinA=3，即sinA=32，则cosA=12，则ABAC=|AB|AC|cosA=2，故选：C.由平面向量数量积运算，结合三角形面积公式求解即可此题主要考查了平面向量数量积运算，重点考查了三角形面积公式，属基础题7.【答案】C;【解析】此题
5、主要考查向量的数量积的坐标表示和向量夹角公式的运用，考查运算能力，属于基础题运用向量数量积的坐标表示，可得BABC，再由向量的夹角公式可得cos=BA.BC|BA|cdot|BC|，计算即可得到所求值解：向量BA=(32,12)，BC=(0,1)，可得BABC=320+121=12，cos=BA.BC|BA|cdot|BC|=1211=12，由0，即有向量BA与BC夹角的大小为3.故选C.8.【答案】B;【解析】解：对于选项A，a.b=|a|b|cos=cos，而不确定，故选项A错误；对于选项B，a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故选项B正确；对于选项C，由于a,b的方向不一定相同，故选
6、项C错误；对于选项D，由选项A中的分析可知，不一定为2，故选项D错误故选：B由数量积公式可判断选项A，由平面向量中a2=|a|2可判断选项B，由向量相等的概念可判断选项C，由向量垂直的判定可判断选项D本题是对平面向量基本概念及基本运算的考查，考查分析问题的能力，属于基础题9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查了向量的数量积与垂直的关系、向量共线定理，考查了推理能力，属于中档题由题意知OAi.OB=OA.OB，根据向量的数量积的概念及其运算，可得AAi.OB=0，且|OAi|cosAiOB=|OA|cosAOB，由此即可判断四个选项的正误解：因为OAi.OB=OA.OB，所以OAi.OBOA.
7、OB=(OAiOA).OB=0，所以AAi.OB=0，故选项B正确；即|OAi|OB|cosAiOB=|OA|OB|cosAOB，所以|OAi|cosAiOB=|OA|cosAOB，则向量OA、OAi在向量OB方向上的投影数量相等，又AAi.OB=0，所以点A、Ai在同一条垂直于直线OB的直线上，故A选项错误，选项C正确，选项D正确.故选：BCD.10.【答案】BCD;【解析】【分析】本题考查向量平行以及向量的夹角和判定向量垂直问题，属于中档题.对各个选项逐一验证可以得出答案.【解答】解：对于A，a+b=(1,2)，因为a+ba(0)，故A错；对于B，因为cos=ab|a|b|=5510=22
8、所以a在向量b上的投影为|a|cos=522=102=12|b|，又因为夹角为钝角，所以向量a在向量b上的投影向量为12b，B正确；对于C，因为ab=(5,0)，所以cos=a(ab)|a|ab|=255，C正确；对于D，ac=255255=0，所以ac，D正确.故选BCD.11.【答案】ABC;【解析】此题主要考查了向量的数量积公式，夹角公式，坐标运算公式，单位向量等知识，属于中档题.对四个选项逐项分析即可求解.解：已知a=(3,1)，b=(1,2)，则A：a.b=31+12=5，故A正确； B：a的单位向量是aa=1103,1=31010,1010，故B正确；C：cos=a.bab=510
9、.5=22，故a,b=4，故C正确；D：与b垂直的单位向量是255,55或255,55，故D错误.故选ABC.12.【答案】BC;【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当k=1时，a=(1,1)，b=(3,3)，则a、b共线，向量a、b不能作为平面向量的基底，即不能用向量a,b表示平面内任一向量，A错误；对于B，若|ab|=|a+b|，则有(ab)2=(a+b)2，变形可得ab=0，必有ab=2k3k=24k=0，解得k=12，B正确；对于C，若(a)2(b)2，即1+k2(2k)2+9，即124k3，对于D，当k=1时，a=(1,1)，b=(3,3)，两个向量方向相同，夹角为0，D错误
10、；故选：BC.根据题意，依次分析选项：对于A，举出反例可得A错误，对于B，由数量积的计算公式可得B正确，对于C，由数量积的计算公式可得关于k的不等式，解出k，即可判断C正确，对于D，举出反例可得D错误即可此题主要考查数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题13.【答案】BD;【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，向量a=(m,2)，b=(4,3)，若a/b，则3m=8，则m=83，A错误；对于B，若m=0，则a=(0,2)，则|a|=2，|b|=5，ab=6，则cos=610=35，则sin=45，B正确，对于C，若ab，则ab=4m+6=0，解可得m=32，C错误，对于D，a=(m
11、,2)，b=(4,3)，则a+b=(m4,5)，若|a+b|=13，即(m4)2+25=169，解可得m=8或16，D正确，故选：BD根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案此题主要考查向量的坐标计算，涉及向量平行、垂直的判断方法，属于基础题14.【答案】-4;【解析】解：如图，ABC中，a=5,b=7,cosC=17； 由余弦定理得，c2=a2+b22abcosC=25+4910=64； c=8； cosB=a2+c2b22ac=25+644980=12； AB在BC方向上的投影为|AB|.cos=|AB|.(cosB)=8(12)=4 故答案为：4根据条件及余弦定理即可求出c2=64，进
12、而得出c=8，再根据余弦定理可求出cosB=12，这样根据向量投影的计算公式即可求出AB在BC方向上的投影 考查余弦定理，向量夹角的定义，三角函数的诱导公式，以及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式15.【答案】2+4i;【解析】此题主要考查复数的代数表示及其几何意义，中点坐标公式，考查计算能力，属于基础题.根据题意，求出线段AB的中点C的坐标为(2,4)，即可得解.解：由题意，在复平面内，复数6+5i， 2+3i对应的点分别为A，B，则A(6,5)，B(2,3)，则线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2+4i.故答案为2+4i.16.【答案】1010;【解析】解
13、：由题意得cos=a.b|a|b|=1(4)+33105=1010.故答案为：1010.由已知结合向量的夹角公式即可直接求解此题主要考查了向量夹角公式，属于基础题17.【答案】23;【解析】解：|a|=4，|b|=3，(2a3b).(2a+b)=614a24a.b3b2=61164443cos39=61cos=120=23故答案为：23直接利用向量的数量积的定义及性质进行运算，结合向量的夹角的范围即可求解这道题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的简单应用，属于基础试题18.【答案】3;【解析】解：|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为3；a(a2b)=a22ab=42=2，|a2b|=(a
14、2b)2=44+4=2；cos=a(a2b)|a|a2b|=222=12；又0；=3.故答案为：3.根据条件即可求出ab=1，a(a2b)=2，|a2b|=2，从而可求出cos=12，根据向量夹角的范围即可求出a与a2b的夹角考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围19.【答案】解：（1）由已知AB.AC=2S=ABACcosA=212ABACsinA，所以22sinA=cosA，又sin2A+cos2A=1，解得sinA=63；（2）|ABAC|2=12，AB22AB.AC+AC2=12，所以9-32ACsinA+AC2=12，由（1）得解得AC=b=3+6，在
15、三角形ABC中，a2=b2+c2-2bccosA=9+9+32-23（3+6）33=12，所以a=23，由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=6+236;【解析】(1)由数量积以及三角函数基本关系式得到所求；(2)将等式平方，求出AC，结合正弦定理和余弦定理求sinB该题考查向量的数量积以及利用正弦定理和余弦定理解三角形；计算较复杂20.【答案】解：设向量a，b夹角为，（1）由（a-2b）b得（a-2b）b=0，ab-2b2=0，|a|b|cos-2|b|2=0又|a|=4|b|，cos=12，=3；（2）由|a+b|=21两边平方得|a|2+|b|2+2|a|b|cos3=21，又|
16、a|=4|b|，21|b|2=21，|b|=1;【解析】设向量a，b夹角为，(1)由(a2b)b得(a2b)b=0可解决此问题；(2)由|a+b|=21两边平方，结合|a|=4|b|可解决此问题本题考查平面向量数量积性质及运算、向量模的运算，属于中档题21.【答案】解：（1）向量a，b满足a=(1，2)，|a+b|=210，|ab|=25，(a+b)2(ab)2=4ab=20，|a|=5，ab=5，（a+b）2=a2+b2+2ab=5+b2+10=40，解得|b|=5，向量a与b夹角的余弦值为：cosa，b=ab|a|b|=555=55（2）(ab)(a+2b)，（ab）（a+2b）=a2(2
17、+1)ab2b2=0，5-5（2+1）-10=0，解得=-3;【解析】(1)由(a+b)2(ab)2=4ab=20，|a|=5，求出ab=5，再由(a+b)2=a2+b2+2ab=20，解得|b|=5，由此能求出向量a与b夹角的余弦值(2)由(ab)(a+2b)，列方程能求出的值此题主要考查向量的运算，考查向量的模、数量公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题22.【答案】解：（1）由，（2a-3b）（2a+b）=19， 可得4a2-4a.b-3b2=19 |a|=2，|b|=3，16-4a.b-9=19， a.b=-3； （2）由a（a+b）， 可得a（a+b）=0， 即a
18、2+a.b=0， 由（1）及|a|=2，|b|=3， 得4-3=0， 解得=43;【解析】(1)运用多项式法则展开，由向量的平方即为模的平方，即可得到答案； (2)由向量垂直的条件：它们的数量积为0，将其展开，运用向量的平方即为模的平方，即可求出的值 该题考查向量的数量积的性质，向量的平方等于模的平方，向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题23.【答案】解：(1)AB=(m,2)，BC=(1,4)，CD=(3,0)，DA=(AB+BC+CD)=(2m,2)，BC/DA，1(2)4(2m)=0，m=52;(2)AC=AB+BC=(1+m,2)，BD=BC+CD=(2,4)，ACBD，2(1+m)+8=0，m=3，此时，AB=(3,2)，AD=AB+BC+CD=(1,2)，cosBAD=AB.AD|AB|AD|=34135=6565;【解析】这道题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，解答该题的关键是向量数量积的性质的熟练掌握(1)先由DA=(AB+BC+CD)求出坐标，然后根据BC/DA的坐标表示表示可求m；(2)由AC=AB+BC，BD=BC+CD求出坐标，由ACBD根据向量垂直的坐标表示可求m学科网（北京）股份有限公司