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1、难 点 1 1 函 数 中 的 综 合 问 题 函 数 综 合 问 题 是 历 年 高 考 的 热 点 和 重 点 内 容 之 一，一 般 难 度 较 大，考 查 内 容 和 形 式 灵 活 多 样.本 节 课 主 要 帮 助 考 生 在 掌 握 有 关 函 数 知 识 的 基 础 上 进 一 步 深 化 综 合 运 用 知 识 的 能 力，掌 握 基 本 解 题 技 巧 和 方 法，并 培 养 考 生 的 思 维 和 创 新 能 力.难 点 磁 场()设 函 数 段)的 定 义 域 为 R,对 任 意 实 数 x、y 都 有 危+y月 欣 丫),当 x 0时 危)o.(1)求 人)、八，)；
2、(2)证 明 贝 乃 是 周 期 函 数；记 a=f(n+)，求 lim(In a).2 A T 0 O命 题 意 图：本 题 主 要 考 查 函 数 概 念，图 象 函 数 的 奇 偶 性 和 周 期 性 以 及 数 列 极 限 等 知 识，还 考 查 运 算 能 力 和 逻 辑 思 维 能 力.知 识 依 托：认 真 分 析 处 理 好 各 知 识 的 相 互 联 系，抓 住 条 件 八 X I+X 2)=/3)犬 X 2)找 到 问 题 的 突 破 口.错 解 分 析：不 会 利 用/(X 1+尤 2)=5A x1)兀 进 行 合 理 变 形.技 巧 与 方 法：山 曲+2)=/3)%2
3、)变 形 为/(X)=吗+乡=吗)吗)吗)是 解 决 问 题 的 关 键.(1)解：因 为 对 为 0,g,都 有 曲+必)三 信 1)/2),所 以/)=/弓+贞=，9 对，X 0,1又 因 为/(；)=CA1)2大?)人!)=(9)22 4 4 4 4 4又 大 1)=。01-1 1(2)证 明：依 题 意 设 卢 式 x)关 于 直 线 x=l对 称，故 式 x)4(1+1x),即 x)4(2x),xCR.又 由 大 x)是 偶 函 数 知 式-x)=/(x),x e R,-A-x)=ft2 G R.将 上 式 中 一 x 以 x 代 换 得 刁(x+2),这 表 明 _/(x)是 R
4、上 的 周 期 函 数，且 2 是 它 的 一 个 周 期.(3)解：由 知 於 0,11)1)=；/(；)/(”-1)；)2 2n 2n 2n 2n 2nq 0 A%)1=#)n=a22n1：.fi)=a 2.2n又 V U)的 一 个 周 期 是 2 i./(2+二 丁),因 此 an=a 2 2n 2n 一 8 一 8 2n例 2 甲、乙 两 地 相 距 S 千 米，汽 车 从 甲 地 匀 速 驶 到 乙 地，速 度 不 得 超 过 c 千 米/小 时，已 知 汽 车 每 小 时 的 运 输 成 本（以 元 为 单 位）由 可 变 部 分 和 固 定 部 分 组 成，可 变 部 分 与
5、速 度 i，（km/h）的 平 方 成 正 比，比 例 系 数 为 固 定 部 分 为。元.（1）把 全 程 运 输 成 本 y（元）表 示 为 p（km/h）的 函 数，并 指 出 这 个 函 数 的 定 义 域；（2）为 了 使 全 程 运 输 成 本 最 小，汽 车 应 以 多 大 速 度 行 驶？命 题 意 图：本 题 考 查 建 立 函 数 的 模 型、不 等 式 性 质、最 值 等 知 识，还 考 查 学 生 综 合 运 用 所 学 数 学 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力.知 识 依 托：运 用 建 模、函 数、数 形 结 合、分 类 讨 论 等 思 想 方 法.错 解
6、 分 析：不 会 将 实 际 问 题 抽 象 转 化 为 具 体 的 函 数 问 题，易 忽 略 对 参 变 量 的 限 制 条 件.技 巧 与 方 法：四 步 法：（1）读 题；（2）建 模；（3）求 解；（4）评 价.解 法 一：（1）依 题 意 知，汽 车 从 甲 地 匀 速 行 驶 到 乙 地 所 用 时 间 为 2,全 程 运 输 成 本 为 VS.2 S a.y=a+bv=S（-bv）v v v.所 求 函 数 及 其 定 义 域 为 y=S（-+bv）,v e（O,c.V（2）依 题 意 知，S、b、u均 为 正 数 A S（+/?v）2S yah v当 且 仅 当=，即 口 时
7、，式 中 等 号 成 立.若、口 W c则 当 v=口 时，有 如 加；v V b V b V b若 J-c，则 当 VG(O,C 时,有 S(巴+b v)S(-+bc)V b v c=S()+(/?v-fee)=(c-v)(tz-fecv)v c vc；c u 2 0,且 o b c1,a bcv 2 a bc20.5（3+切）5（+儿）,当 且 仅 当 丫=时 等 号 成 立，也 即 当 V=C时，有 ymin；V c综 上 可 知，为 使 全 程 运 输 成 本 y 最 小，当 遮 W c 时，行 驶 速 度 应 为 1，=叵，当 遮 c时 行 驶 速 度 b b b应 为 v=c.解
8、法 二：(1)同 解 法 一.：函 数 尸 x+“/0)/6(0,+8),当 xW(O,JT)时，y 单 调 减 小，当 xe(JT,+8)时 y 单 调 增 加，当 Xx=yfk时 y 取 得 最 小 值，而 全 程 运 输 成 本 函 数 为 产 S/?W+)小(O,c.V.当 时，则 当 v=怖 时，y 最 小，若 J c 时，则 当 v=c时，y 最 小.结 论 同 上.锦 囊 妙 计 在 解 决 函 数 综 合 问 题 时，要 认 真 分 析、处 理 好 各 种 关 系，把 握 问 题 的 主 线，运 用 相 关 的 知 识 和 方 法 逐 步 化 归 为 基 本 问 题 来 解 决
9、，尤 其 是 注 意 等 价 转 化、分 类 讨 论、数 形 结 合 等 思 想 的 综 合 运 用.综 合 问 题 的 求 解 往 往 需 要 应 用 多 种 知 识 和 技 能.因 此，必 须 全 面 掌 握 有 关 的 函 数 知 识，并 且 严 谨 审 题，弄 清 题 目 的 已 知 条 件,尤 其 要 挖 掘 题 目 中 的 隐 含 条 件.歼 灭 难 点 训 练 一、选 择 题 1.()函 数 y=x+a与 y=logx的 图 象 可 能 是()2.(*)定 义 在 区 间(-8,+8)的 奇 函 数 危)为 增 函 数，偶 函 数 g(x)在 区 间 0,+8)的 图 象 与 _
10、/(*)的 图 象 重 合，设。60,给 出 下 列 不 等 式：/S)A a)g3)g(b)fib)-f(a)gS)g(a)/3)一 八 一 b)g(b)g(a)其 中 成 立 的 是()A.与 B.与 C.与 D.与 二、填 空 题 3.(*)若 关 于 x 的 方 程 22,+2%+。+1=0有 实 根，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是.三、解 答 题 4.()设.为 实 数，函 数 大 冷=、2+k一 al+1/ER.(1)讨 论;(x)的 奇 偶 性；(2)求 危)的 最 小 值.1 1-X5.(*)设 式)=-+lg-.X+1+X(1)证 明：TO)在 其 定 义 域 上 的
11、 单 调 性；证 明：方 程/a)二 o 有 惟 一 解；(3)解 不 等 式/x(x；)6.（）定 义 在（一 1,1）上 的 函 数/）满 足 对 任 意 小），（1,1）,都 有 f（x）+f（y）=f（）,当 xl+xyG(1,0)时,有 段)0.求 证:7.（*）某 工 厂 拟 建 座 平 面 图（如 下 图）为 矩 形 且 面 积 为 200平 方 米 的 三 级 污 水 处 理 池，由 于 地 形 限 制，长、宽 都 不 能 超 过 16米，如 果 池 外 周 壁 建 造 单 价 为 每 米 400元，中 间 两 条 隔 墙 建 造 单 价 为 每 米 248元，池 底 建 造
12、单 价 为 每 平 方 米 80元（池 壁 厚 度 忽 略 不 计，且 池 无 盖）.写 出 总 造 价 y（元）与 污 水 处 理 池 长 M 米）的 函 数 关 系 式，并 指 出 其 定 义 域.（2）求 污 水 处 理 池 的 长 和 宽 各 为 多 少 时，污 水 处 理 池 的 总 造 价 最 低？并 求 最 低 总 造 价.8.d*为 已 知 函 数 段）在（一 8,0）u（0,+8）上 有 定 义，且 在（0,+8）上 是 增 函 数，川）=0,又）=sin20 wcos 0 2m,0 G 0,5,设 M=mlg（。）0,m WR,N=机/g（）v0,求 MON.学 法 指 导
13、 怎 样 学 好 函 数 学 习 函 数 要 重 点 解 决 好 四 个 问 题：准 确 深 刻 地 理 解 函 数 的 有 关 概 念；揭 示 并 认 识 函 数 与 其 他 数 学 知 识 的 内 在 联 系；把 握 数 形 结 合 的 特 征 和 方 法；认 识 函 数 思 想 的 实 质，强 化 应 用 意 识.(一)准 确、深 刻 理 解 函 数 的 有 关 概 念 概 念 是 数 学 的 基 础，而 函 数 是 数 学 中 最 主 要 的 概 念 之 一，函 数 概 念 贯 穿 在 中 学 代 数 的 始 终.数、式、方 程、函 数、排 列 组 合、数 列 极 限 等 是 以 函
14、数 为 中 心 的 代 数.近 十 年 来，高 考 试 题 中 始 终 贯 穿 着 函 数 及 其 性 质 这 条 主 线.(二)揭 示 并 认 识 函 数 与 其 他 数 学 知 识 的 内 在 联 系.函 数 是 研 究 变 量 及 相 互 联 系 的 数 学 概 念，是 变 量 数 学 的 基 础，利 用 函 数 观 点 可 以 从 较 高 的 角 度 处 理 式、方 程、不 等 式、数 列、曲 线 与 方 程 等 内 容.在 利 用 函 数 和 方 程 的 思 想 进 行 思 维 中，动 与 静、变 量 与 常 量 如 此 生 动 的 辩 证 统 一，函 数 思 维 实 际 上 是 辩
15、 证 思 维 的 种 特 殊 表 现 形 式.所 谓 函 数 观 点，实 质 是 将 问 题 放 到 动 态 背 景 上 去 加 以 考 虑.高 考 试 题 涉 及 5 个 方 面：原 始 意 义 上 的 函 数 问 题；(2)方 程、不 等 式 作 为 函 数 性 质 解 决；(3)数 列 作 为 特 殊 的 函 数 成 为 高 考 热 点；(4)辅 助 函 数 法；(5)集 合 与 映 射，作 为 基 本 语 言 和 工 具 出 现 在 试 题 中.(三)把 握 数 形 结 合 的 特 征 和 方 法 函 数 图 象 的 几 何 特 征 与 函 数 性 质 的 数 量 特 征 紧 密 结
16、合，有 效 地 揭 示 了 各 类 函 数 和 定 义 域、值 域、单 调 性、奇 偶 性、周 期 性 等 基 本 属 性，体 现 了 数 形 结 合 的 特 征 与 方 法，为 此，既 要 从 定 形、定 性、定 理、定 位 各 方 面 精 确 地 观 察 图 形、绘 制 图 形，又 要 熟 练 地 掌 握 函 数 图 象 的 平 移 变 换、对 称 变 换.(四)认 识 函 数 思 想 的 实 质，强 化 应 用 意 识 函 数 思 想 的 实 质 就 是 用 联 系 与 变 化 的 观 点 提 出 数 学 对 象，抽 象 数 量 特 征，建 立 函 数 关 系，求 得 问 题 的 解 决
17、.纵 观 近 几 年 高 考 题，考 查 函 数 思 想 方 法 尤 其 是 应 用 题 力 度 加 大，因 此 一 定 要 认 识 函 数 思 想 实 质，强 化 应 用 意 识.参 考 答 案 难 点 磁 场(1)证 明：令 x=y=O,得 式 0)=0令 y=x,W x),B|J,/(x)=fix)是 奇 函 数(2)解：1,任 取 实 数 朴%2e 9,9 且 这 时，检 一 片 0加 1)一/2)学(XLX2)+X21-f(x2)=J(xiX2)+fi.X2)-)=f(X2X)因 为 x0 时 段)0.7/U)在-9,9 上 是 减 函 数 故 兀 0 的 最 大 值 为 犬-9),
18、最 小 值 为 犬 9).而 49)4(3+3+3)=3/(3)=-1 25A 9)=/(9)=12.人 的 在 区 间-9,9 上 的 最 大 值 为 12,最 小 值 为 一 12.歼 灭 难 点 训 练 一、1.解 析：分 类 讨 论 当。1时 和 当 0。g(l)g(2)=12=1.又 4 b)A 1)A 2)=1+2=3.g(a)g(b)=g(2)g(l)=2l=l,.,.f(b)/(a)=g(a)g(b).即 与 成 立.答 案：C二、3.解 析：设 2*=0,则 原 方 程 可 变 为+&+1=0 A=a2-4(a+1)0方 程 有 两 个 正 实 根，贝 1八+，2=-。0，1
19、%+1 0解 得：a(1,22 V2.答 案：（1,2-272 三、4.解：当 a=0时，函 数 八 一）=（一 月 2+1；1|+1成 立 此 时 加 0为 偶 函 数；当。羊 0 时，大）=42+1 5，则 函 数）在（一 8,a 上 的 最 小 值 为 A）=+4,且 1 5）5 穴 4）.1 a 1 当 X 2。时，函 数/（x）=f+x Q+I=（x+）2 Q+；当。时，则 函 数 段）在,+8）上 的 最 小 值 2 4 2I 3 1 1为 人 一 一）=。,且/（）9/（）.若。一 一，则 函 数 r）在,+8）上 单 调 递 增，从 而，函 数 x）在,+2 4 2 28 上
20、的 最 小 值 为%Z）=/+l.综 上，当 a W-；时，函 数 外）的 最 小 值 是 3 一 凡 当 一;时，函 数 人 x）的 最 小 值 是 屋+1；当 3时，函 数 r）的 最 小 值 是+.4 一 1 05.（i）证 明：由，得 y（x）的 定 义 域 为（一 1,1）,易 判 断./（X）在（-1,1）内 是 减 函 数.x+2 w 0（2）证 明：（）=；,.T（g）=0,即 x=g 是 方 程 广（x）=0的 一 个 解.若 方 程 厂&）=0还 有 另 一 个 解&W|,则/0）=。,由 反 函 数 的 定 义 知 的）=闻 工）,与 已 知 矛 盾，故 方 程 尸 匕）
21、=0 有 惟 一 解.（3）解：，即/0。一 3）02 46.证 明：对 f(x)+f(y)=f()中 的 1加 令 x=y=0,得 0)=0,再 令 y=x,又 得 fM+f(一 止 仪 0)=0,即 4-x)=一 l+xy段），於 施 x（-1,1）上 是 奇 函 数 设 一 14 20,则 段 D-/（出#1）十 一 必）不），-1 x x20,Ax|1-XjX2%20,.,.红 VO,于 是 由 知 一 红)0,从 而 以 X|)/0：2)0,即/U1)牙(X2),故 7U)在%e(1-xx2 1-xx21,0)上 是 单 调 递 减 函 数.根 据 奇 函 数 的 图 象 关 于 原
22、 点 对 称，知 段)在 x(o,l)上 仍 是 递 减 函 数，且 於)V0.11(+1)(+2)1=/(n+1)(,7+2)(+1 1+2)11 1)=fn+1 n+2.-./(-)+/()+/(1)5 7 11 n2+3n+l.0工 1时 而()/(L),故 原 结 论 成 立.+2 2.)_/(*)=/力),7.解：因 污 水 处 理 水 池 的 长 为 x 米，则 宽 为 剪 米，总 造 价 产 400(2r+2X)+248 X X2+80Xx x X324200=800(x+)+1600,由 题 设 条 件 x0 x16,200 解 得 I2.5WxW16,即 函 数 定 义 域
23、为 12.5,16.0-16、x324 先 研 究 函 数 y(x)=800(x+)+16000在 12.5,16上 的 单 调 性,X对 于 任 意 的 x g G 12.5,16,不 妨 设 修 孙 则 於 2)一 共 修)二 800 L(X2-XI)+324(-)=800(X2-XI)(1X2 X324),V12.5 Wxi WM W 16.1 0,324 324 xx2 161,即 1-V0.又 也 一 加 0,，於 2)TUi)VO,即 人 历)於 1),故 函 数 月 U)在 XlX2X jX232412.5,16上 是 减 函 数.，当 x=16时，y 取 得 最 小 值，此 时
24、,y而 产 800(16+)+16000=45000(元),16理=迎=12.5(米)x 16综 上，当 污 水 处 理 池 的 长 为 16米，宽 为 12.5米 时，总 造 价 最 低，最 低 为 45000元.8.解：於)是 奇 函 数，且 在(0,+8)上 是 增 函 数，.Mx)在(一 8,0)上 也 是 增 函 数.又 人 1)=0,./(1)=-/0)=0,从 而，当 於)V0 时,有 x V-1 或 OVxVl,则 集 合 N=加 g()0=nAg(0)或 0g(-VI,n N=mg()V 1).由 式 6)V 1,得 cos2 m(cos。2)+2,。0(，令 mcos 9yxe 0,1 得：x2m(x2)+2G 0,1,令：=/0,1 及 及 二 皿 加 一 2)+2,显 然 为 抛 物 线 一 段，是 过(2,2)点 的 直 线 系,在 同 一 坐 标 系 内 由 只 0,1 得 y了 2.，加 42后，故 M C N=加 描 42贬.