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1、高中数学难点1 1函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.难点磁场()设函数式X)的定义域为R,对任意实数x、y都有 r+y)寸a)4 y U),当 x 0 时/)0.(1)求#:)、A y)；(2)证明人龙)是周期函数；(3)记 an=fin+),.l i m(l na).2 -8命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各
2、知识的相互联系，抓住条件兀1 1+2)力修)凡切找到问题的突破口.错解分析：不会利用人制+通)力|)犬应)进行合理变形.技巧与方法：由 曲+X 2 月 )恤)变 形 为/。)=吗+立=吗)/克 吗)是 解 决问题的关键.(1)解：因为对xg e 0,g ,都 有 曲+X 2 月5)人应),所以外)=吗+，=吗)0,X G 0,1 又因为_A l)M：+g)=A；)犬g)=陛；)2了(：)寸!+:)力(；)八!)=1(；力 22 4 4 4 4 4又 川)=01-1 1,.A -)=2-)=a 42 4(2)证明：依题意设产4 x)关于直线x=l 对称，故 r)4(1+1 x),即於)与(2 x
3、),x d R.又由/(x)是偶函数知八-x)=f(xU e R-f l X)q(2 x),x e R.将上式中一x以x 代换得以)力+2),这表明人x)是 R 上的周期函数，且 2是它的一个周期.（3）解:由知危 0,1 白）4 3+（”-1）,犬（-1）1）2 2n 2n 2n 2n 2呜)心哈1=C A 不）-22n1 上 2.2n又 r）的一个周期是21 1 .f（2n+丁）M 丁），因此%=a 2,t2n 2n*l i m (l n i zn)=l i m (-l n 6/)=0./J 00-8 2 fl 例 2甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时
4、，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(k m/h)的平方成正比，比例系数为固定部分为a元 一(1)把全程运输成本y(元)表示为v(k m/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等，式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.解法一：(1)依题
5、意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为士，全程运输成本为vy=a,+bv2,=S(+bv)v v v.所求函数及其定义域为)=5(-+bv),v G(0,c .v(2)依题意知，S、a、/?、u 均为正数/.S(+hv)2S 4 ab 当 且 仅 当 =，即 V=J 2 时，式中等号成立.若JqWC则当时，有如加；v V b V b V b若 产 c，则当 v e （0,c 时,有 S（巴+bv）-s（-+bc）V b v c=S L()+(ftv/?c)=(cv)(Z?cv)V C V C丁cu2 0,且 c bc2y.a-bcvabc2 0 5(q+加)2 5(巴+儿),当且仅当工。时等
6、号成立，也即当U=C时，有Vmin；Vc综上可知，为使全程运输成本y最小，当 巫 W c时，行驶速度应为丫=恒，当 cb b b时行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.：函数y=x+$e0)占6(0,+8),当n以0,)时，y单调减小，当x G(V I,+8)时yXa单调增加，当x=时y取得最小值，而全程运输成本函数为产Sb(i，+2)e(0,c.V；.当 时,则当皿 时，y最小，若 祗“时，则当v=c时，y最小.结论同上.锦 囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想
7、的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.歼灭难点训练一、选择题1.()函数y=x+a与y=log(A的图象可能是()2.(*)定义在区间(-8,+8)的奇函数/(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0,+8)的图象与人x)的图象重合，设 心相0,给出下列不等式：a)gS)g(一。)f(a)f(h)g(b)g(a)其中成立的是()A.与 B.与 C.与 D.与二、填空题3.(*初 若关于x的方程22t+2%+a+l=0有实根，则实数a的取值范围是.三、解答题4.()设a为实数，函数al+1
8、/GR.(1)讨论式x)的奇偶性；(2)求y(x)的最小值.11 -r5.()设/(x)=-+lg-.x+1 l+x(1)证明：x)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程尸(x)=0 有惟一解;(3)解不等式/x(x )0.1 +孙求证：“5+/()+/&)7 .(*)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为2 0 0 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过1 6 米，如果池外周壁建造单价为每米4 0 0 元，中间两条隔墙建造单价为每米2 4 8 元，池底建造单价为每平方米8 0 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，
9、并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8 .(*)已知函数式 x)在(一8,0)口(0,+8)上有定义，且在(),+8)上是增函数，川)=0,又 8()=s i n2 0 mcos 2m,0 G 0,y，设 M=m l g(0)0,w G R,N=mf g()(V(X|)/(X 2)y(勺一2)+冷一外2)巾1 X2)+/(X2)/(X )=-J(X2 X,)因为 x0 时段)0.成 龙)在-9,9 上是减函数故人x)的最大值为八-9),最小值为犬9).而火 9)口(3+3+3)=浜 3)=1 24-9)=-A9)=1 2./U)在 区
10、间 9,9 上的最大值为1 2,最小值为-1 2.歼灭难点训练一、1.解析：分类讨论当。1时和当OVaVl时.答案：C2.解析：用特值法，根据题意，可设K x)=x,g(x)=Ld,又设a=2/=1,则式。)=4名(0)=|0 4/?)=匕6(/?)=跑)/()一/(/?)4(2)-/(-1)=2+1=3.g(b)g(a)=g(1)g(2)=l2l.：.f(a)J-b)g(l)g(2)=i 2=l.又/一 式 一。)=4 1)-A 2)=1+2=3.g(a)g(b)=g(2)g(l)=21=1,二他)fia)=g(a)g(b).即与成立.答案：C二、3.解析：设 2=0 0,则原方程可变为+。
11、+1=0A=a2-4(a +l)0方程有两个正实根，则.4 +弓 0t-r2=+1 0解得：a G(-i,2-2V 2 .答案：（1,22 V 2 三、4.解：（1）当=0时，函数八一x）=（xf+l xl+1 刁（x）,此时犬x）为偶函数；当 aWO时，%）=“2+1 4 ）=0 2+2|屈+1 区一4）壬/3）人一）不一加）.此时函数府）既不是奇函数也不是偶函数.1 3 1（2）当x a时，函数於）=/x+l=（x/+“若万,则函数於）在（一8,上单调递减，从而，函数人处在（一 8,上的最小值为人）=/+1 1 3 1若 则 函 数 於）在（一8,上的最小值为 5）=/+凡且八万）人）.1
12、 a 1当时、函数段）=f+x+l=（x+）2;当。式一一时、则函数於）在 ,+82 4 21 4 1 1）上的最小值为/（/）=,且人一）/（）.若a,则函数於）在 ,+8）上单调递增,从 而，函数）在 上 的 最 小 值 为 球。）=/+1.1 3 11综上，当 W 时，函数r）的最小值是一一见当一 一 V W-时，函数r）的最小值2 4 2 21 a是+1；当3：时，函数出0 的最小值是0+；.i -X5.（1）证明：山 得 次 外 的 定 义 域 为（一1,1）,易判断/U）在（一1,1）内是减函数.冗+2 工0（2）证明：.l O K；,.F（g ）=0,即x=g 是方程厂/）=0的
13、一个解.若方程f x）=0还有另一个解xo#；,则 尸 的）=0,由反函数的定义 知 的）=沏#3,与已知矛盾，故方程厂%）=0有惟一解.(3)解：/g,即/D v(xg)0工0 或一工21 +V 1 546.证明：对/）+=/（需）中 的 由 令 问 句,得 胆）=0,再 令 尸 一,又 得 加）+八一冗）=的）=0,即次r）=1/W，危）在无（一1,1）上是奇函数.设一1 为。20,则 fix）/X 2）=/（X i）+/（X2)=f(),1 V 修 V 工 2 0.1 -xxx2X j -x21 -x1x2V O,于 是 由知A X|-%2)o,从 而/l)一网)0,即/l)/X 2),
14、故/W在xG(1,0)上是单调递减函数.根据奇1 -x1x2函数的图象关于原点对称，知/U)在 (0,1)上仍是递减函数，且於)V 0.1 2；J =J、J =5 +1)(；+组 +3 +1 (+1)(+2)-1 _ _ _ _ _ _ _(+1)(+2)1 1 _=/(+；=2.)=/(_L)_/(-L)1 1 1 +1 n+21 n+1 n +2二小心+/(;7 T+(9)一/(七出)，0 一1时而()/W),故原结论成立.2 +2 27.解：因污水处理水池的长为x 米，则宽为剪 米,总造价)=4 0 0(2 r+2 X )+2 4 8 X 剪X X X3 2 4X 2+8 0 X 2 0
15、 0=8 0 0(%+)+1 6 0 0,由题设条件x0 x 1 6,2 0 0 解 得 1 2.5 W xW 1 6,即函数定义域为 1 2.5,1 6 .0 1 6x（2）先研究函数 月 5）=8 0 0。+）+1 6 0 0 0 在 1 2.5,1 6 上的单调性，对于任意的为岗x1 1 3 2 4 1 2.5,1 6 ,不妨设两必,贝 1/（工 2）-/（修）=8 0 0 （检一西）+3 2 4（-）=8 0 0（必一修）（1 一一）,_ 3 2 4 3 2 4V 1 2.5 !1 6.,.0AIX2 1 62 1,即 1-V O.又工2 一片 0,人 工 2)-/(片)X j X2
16、的 无 2V 0,即加2）八两）,故函数）三/U）在 1 2.5,1 6 上是减函数.当416时，y 取得最小值，此时,3 2 4 2 0 0 2 0 0vm i n=8 0 0（1 6+）+1 6 0 0 0=4 5 0 0 0（元），=1 2.5（米）1 6 x 1 6综上，当污水处理池的长为1 6 米，宽 为 1 2.5 米时，总造价最低，最低为4 5 0 0 0 元.8.解：是奇函数，且在（0,+8）上是增函数，/）在（-8,0）上 也是增函数.又1 1）=0,优-1）=-/0）=0,从而，当式x）0 时，有 或 0 x l,则集合心夕）?n（c o s 2）+2,0 e 0,厘,令克=c o s 式R 0,1 得:%2 加（工-2）+2R 0,1 令：yi=x2,.r E 0,1 及二加（加-2）+2,显然为抛物线一段，是过（2,2）点的直线系，在同一坐标系内由xe 0,1 得力 乃 42 行，故 M G N=加血 4-2 拒）.