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1、江 苏 省 南 菁 高 级 中 学 2 0 1 0-2 0 1 1学 年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高 二 数 学 试 卷 命 题 人：汪 海 军 一、填 空 题(本 题 包 括 1 4小 题，每 题 5 分，共 7 0分，请 将 答 案 填 在 答 卷 相 应 题 号 处)1.已 知 直 线 x叩+27n=0 和 x+2y?=0互 相 垂 直，则 实 数 m=2.在 等 差 数 列%中，若 4+。6+。8+G()+。12=40,则 数 列 S A 前 15项 的 和 为 3.已 知 集 合/=0,1,8=况 2。,其 中 a G R,我 们 把 集 合|=修+2,知 仁/,2右 团
2、 记 作 A+B,若 集 合 A+B 中 的 最 大 元 素 是 2a+1,则。的 取 值 范 围 是 4.若 复 数 zi=-1+ai,Z2=b小 i,a,bG R,且 zi+z?与 zrZ2 均 为 实 数，贝 U=AZ25.已 知 命 题 p:f-x26,q:xe；?,则 使 得“p 且/与“非 q”同 时 为 假 命 题 的 所 有 x 组 成 的 集 合 M=6.设 尸，A,B,C 是 球。表 面 上 的 四 个 点，PA,PB,P C 两 两 垂 直，且 以=1,PB=yf2,PC=y6,则 球 O 的 表 面 积 为 7.椭 圆 上 的 点 到 一 条 准 线 距 离 的 最 小
3、 值 恰 好 等 于 该 椭 圆 半 焦 距，则 此 椭 圆 的 离 心 率 是 8.已 知 函 数/(x)=/-21nr,则 外 幻 的 极 小 值 是 9.当 f 2xV8时，函 数 守=人；2 油 最 小 值 是 一 10.已 知 等 差 数 列 4 的 前 项 和 为 S“=(a+l)/+a,某 三 角 形 三 边 之 比 为 例:的:，则 该 三 角 形 最 大 角 为 丫？ccq Y si n x+I11.已 知 函 数/(%)=(xR)的 最 大 值 为“，最 小 值 为 陆 则+加=X C O S.C I 112.设 定 义 在(T,1)上 的 函 数/(x)的 导 函 数/(
4、x)=5+co&x,且/(0)=0,则 不 等 式/(x-l)+/(l-x2)0,总 有。一 2x一|lnx|W0,则 实 数 a 的 范 围 为 14.已 知/(x),g(x)都 是 定 义 在 R 上 的 函 数，g(x)wOJ(x)g(x)f(x)g(x),/(x)=a J g(x),(a 0且 a H1)需+借 1=1，令 4=瑞，则 使 数 列 的 前 项 和 S,超 过 挪 最 小 自 然 数 的 值 为 二、解 答 题（本 题 包 括 6 大 题，共 9 0 分，请 作 答 在 答 卷 相 应 题 号 处）15、（本 小 题 满 分 1 4分）已 知 锐 角 A 4 8 c 中
5、的 三 个 内 角 分 别 为 4&C.(1)设 庆 7-El=日 就，求 证：A 4 8 C 是 等 腰 三 角 形；rQ t 2 T T(2)设 向 量 T=(2sinC,一 小)，T=(cos2C,2cos2 1),且 7 7,若 sirt4=，求 sinfj-8)的 值.17、（本 小 题 满 分 15分）如 图，已 知 椭 圆 C：=l（ab0）的 长 轴 A B 长 为 4,离 心 率 e=半，O 为 坐 标 原 点，过 8 的 直 线/与 x 轴 垂 直.P 是 椭 圆 上 异 于 4、8 的 任 意 一 点,P”心 轴，H 为 垂 足,延 长 枕 到 点。使 得 P=P。,为
6、A 的 中 点.（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）证 明：。点 在 以 为 直 径 的 圆。上；（3）试 判 断 直 线。N 与 圆。的 位 置 关 系.X18、（本 小 题 满 分 1 5分）已 知 矩 形 纸 片/B C D 中，AB=6cm,AD=2cm,将 矩 形 纸 片 的 右 下 角 折 起，使 得 该 角 的 顶 点 8 落 在 矩 形 的 边 力。上，且 折 痕 M V 的 端 点 M N 分 别 位 于 边 上，设/M N B=。,sin9=/,M N 长 度 为 I.0N(1)试 将/表 示 为/的 函 数/=/-(/);(2)求/的 最 小 值.19、(本 小 题
7、满 分 16 分)已 知/(x)=xlnx,g(x)=-x2+亦 一 3.(1)求 函 数/(x)在 切+2(/0)上 的 最 小 值；(2)对 一 切 xe(0,+oo),2/(x)g(x)恒 成 立，求 实 数”的 取 值 范 围；1 7(3)证 明：对 一 切 xe(0,+co),都 有 lnx-成 立.ex ex20、(本 小 题 满 分 1 6分)设 数 列%的 前 项 和 为 S,对 任 意 的 正 整 数，都 有 以=5S,+1成 立，记 bn=T(GN*)(1)求 数 列 仇 与 数 列 几 的 通 项 公 式；(2)记 金=”一 为 1(CN*),设 数 列 c“的 前”项
8、和 为 必,求 证：对 任 意 正 整 数”都 有 71；(3)设 数 列 付“的 前 项 和 为 R”，是 否 存 在 正 整 数 火，使 得 以 成 立？若 存 在，找 出 一 个 正 整 数 公 若 不 存 在，请 说 明 理 由；江 苏 省 南 菁 高 级 中 学 2 0 1 0-2 0 1 1学 年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高 二 数 学 试 卷 答 题 卷 一、填 空 题(本 题 包 括 14小 题，每 题 5 分，共 7 0分)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、_14、二、解 答 题(本 题 包 括 6 大 题，共 9 0分)15、(本 小 题
9、 满 分 1 4分)16、（本 小 题 满 分 1 4分）17、（本 小 题 满 分 1 5分）18、（本 小 题 满 分 1 5分）19、(本 小 题 满 分 16分)已 知/(x)=x ln x,g(x)=-f+方 一 3.(1)求 函 数/(x)在 上 J+2。0)上 的 最 小 值；(2)对 一 切 X E(0,+O O),2/(x)2 g(x)恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围;1 2(3)证 明：对 一 切 x(0,+oo),都 有 ln x-成 立.e ex20、（本 小 题 满 分 16分）设 数 列”“的 前”项 和 为 S,”对 任 意 的 正 整 数，都 有 4=
10、5S“+1成 立，4+Q记（WN*）1 un（1）求 数 列”“与 数 列 6“的 通 项 公 式；（2）记 金=“一 621（GN*）,设 数 列 c,的 前 项 和 为,，求 证：对 任 意 正 整 数 都 有 7”.2 2所 以 C/=-（N 8+8 C）,所 以 一（4 8+5 C）.（8 C-/8）=0,所 曲 5-BC=0,（4 分）所 以|诵|2=|就，B|J I Ze|=|5 C I,故/8C为 等 腰 三 角 形.（6 分）（2）s/t,/.2sinC（2cos2 1）=V3 cos2C,sin2C=-73cos2C,即 tan2c=-G,C 为 锐 角，；.2 C e（O,
11、7）,A 2C=y,A C=y.（8 分）/.A=-B；.sin（。-=sin（与=sin-y.（10 分）2 17又 sinJ=1,且/为 锐 角，/.cos/l=（12 分）.sin佰-8）=s i n 0 a=sin48s军-cos/si心=邛 u J I 3j 3 3 616、解：（1）在 RtZX/BC 中，AB=,ZBAC=60,:.B C=6,A C=2.取 尸。中 点 尸，连 4F,EF,：R4=AC=2,A P C I A F.（1 分）:应 _ L 平 面 ABCD,C D u 平 面 ABCD,：.PA CD,又/C=90。，即 C Q L Z C,C0_L 平 面 尸
12、Z C,C D PC,：.E F 1 P C.（3分）.PC_L 平 面 Z E E.（4分）A P C l A E.（5 分）（2）证 法-：取/。中 点 M,连 EM,C M.贝 I JEM/PA.EM 平 面 PAB,PA U 平 面 PAB,.EAf 平 面 为 艮（7 分）在 RtZ4C 中，Z CAD=60,AC=AM=2,（14 分）N：.ZACM60.而 NA4c=60。，：.MC/AB.：M C Z 平 面 为 B,N 3 U 平 面 平 面 A48.（9 分）：E M Q M C=M,；.平 面 EMC 平 面 PAB.ECU 平 面 EMC,；.EC 平 面（10 分）证
13、 法 二：延 长。C、A B,设 它 们 交 于 点 M 连 尸 N.V Z N A C=ZDAC=60,A C C D,为 ND 的 中 点.（7 分）:E 为 P。中 点，J.EC/PN.（9 分）：EC 解：（1）由 题 设 可 得 2=4,=,解 得。=2,c=b=1.（2 分）a 22.椭 圆 C 的 方 程 为 二+V=1.（4 分）4（2）设 则+短=1.尸=尸,0。=&+（2%2）=2.（7 分）二。点 在 以。为 圆 心，2 为 半 径 的 的 圆 上.即 0 点 在 以 为 直 径 的 圆。上.（9 分）（3）设 P（%,加）（X。x2）,则。（%,2为），且 1+盟 2=
14、1.又 4（-2,0）,点,二 直 线 4 0 的 方 程 为=令 x=2,得 加 卜 瓦、xo+2J.又 3（2,0）,为 MB的 中f A r:,N 2,-.丽=(%,2稣)，NQ=XQ-2,I Xo+2J I（12 分）A OQ NQ=x0(x-2)+2y0-=x0(%-2)+=x(x0-2)+X。十 N o+Z 0 Z=xo（xo-2）+xo（2-xo）=O.：.O Q 1 N Q.（14 分）直 线 0 N 与 圆。相 切.（15分）18、解：（1）设 将 矩 形 纸 片 的 右 下 角 折 起 后，顶 点 5 落 在 边 上 的 4 处，则=ZM 4=2O从 而 有：N B-lco
15、sd,M B=M B=/sin 6,AM=MB cos2 0-1 sin0 cos23.(3分）V A M+MB=6,二/sin6co s2e+/sine=6,得：,=_ 6_=_ 3_=_3 pn fsin0(cos20+l)sin6(lsin20 t-t3/3(7 分)(2)sin6=/,0；,则 0 V r 0,当 当 乎 时,/0,(12分)所 以 当 右 坐 时,u 取 到 最 大 值 坐 一 售=芈(14分)/的 最 小 值 为 cm9(15 分)19、解 析：/(x)=lnx+l,当 x w(0-)，/,(x)0,f(x)单 调 递 增.(2e分)0/-/+2,即 0，1 时，/
16、(x)min=/(-)=-；e e e e 1 W 2,即 此 工 时，f(x)在 上,r+2 上 单 调 递 增，/(x)m in=/(/)=ln/；e e所 以/(X)m inI 八 1 o/-x2+0),则/f(x)=0+3)C 12,XG(0,1),(x)0,/?(%)单 调 递 增，所 以(x)min=饵 1)=4.（10 分）因 为 对 一 切 X G(0,4-00),2 f(x)g(x)恒 成 立，所 以 4 0(x)min=4-Y 2(3)问 题 等 价 于 证 明 x ln x-(X G(0,+O O),ex e山 可 知/(x)=xlnx(xw(0,+oo)的 最 小 值
17、是 一,，当 且 仅 当 了=，时 取 至 lj.e ex 2 1 Y设 mx=-(x G(0,-Ko),则 m(x)=-ex e ex当 且 仅 当 x=l 时 取 到，易 得 加(X)m a x=m(1)=_!，2从 而 对 一 切 x w(0,+o o),都 有 ln x-成.ex ex19、(1)当=1 时，ai=5S1+l,.*.7 1=又：5S口+1,。+=5S+1%+i。=5%+即 数 列%是 首 项 为 m=一；,公 比 为 q=一；的 等 比 数 歹 II，1 4+(-扣，=(一 犷 b尸-7(GN*)一(一 R(11 分)(12 分)(13 分)(15 分)(16 分)(1
18、分)(3 分)(5 分)4 由 知”上 当 母 高 三 得 5 5=6 16=6 1 6 6 1 6：=154-+42,+1=(161)(16+4)=(16z,)2+3-16n-4(河=M(7 分)13 4 3又 仇=3,历=丁，；.C i=,所 以 当=1 时，/V 弓，(8 分),4 1 1 1 4 煮 1 I 点 广,4 1 6 7 时，T,+15(B+田+“+而)=+6-j 3+16=4 82F(10 分)(3)不 存 在 正 整 数%,使 得 a 2 4K 成 立。(11 分)证 明：由 6”=4+(_ 4：_ 5 5 5 20 15-164-40,M+/=8+(4 产 1+(4 产-1=8+T _ 7?=8(6*1)(16人+4)8(13 分)，当 为 偶 数 时，设 n=2 m(m s N*)&=(4+a)+他+“)+(&-i+b2 m)2)+(/3+/4)+-+(Z)2,_3+/,m_2)+/2m_1 8(w-l)+4=8 m-4=4/7(15 分)对 于 一 切 的 正 整 数,都 有 于 一 4 不 存 在 正 整 数 k,使 得 RK4K 成 立（16 分）