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1、线 性 代 数 同 济 大 学 第 四 版 课 后 答 案 习 题 一 习 题 一 1-5 6To1.利 用 对 角 线 法 则 计 算 下 列 三 阶 行 列 式:2 0 1(1)1-4-1;-1 8 3a b c(2)b c 7；c a b11TPY),.X+V(4)y x+_v K.x+y.v y(i)2 0 1解 1 4 1-1 8 3=2x(-4)x3+0 x(-l)x(-l)+lxlx8-0 xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)=24+8+16 4=4.(2)ci b c解 b c ac a b=cicb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-c-b3-c
2、3.(3)1 1 1解 4 6 c(72 b2 c1;bJ+ccF+a产 一 aa bcF-cl=(-Z)(Z-c)(c-ci).(4)x y x+y解 y x+y xx+y x y=.Y(xy)尹)1.计 1。+(丫+)/一 0V+y)L=3xy(x-y)-)-3 y-y-x3=-2(x3+y3).2.按 自 然 数 从 小 到 大 为 标 准 次 序，求 下 列 各 排 列 的 逆 序 数：(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1;(4)2 4 1 3;(5)1 3(2-1)2 4(2);(6)1 3(2n-l)(2n)(2n-2)2.(i)解 逆 序 数 为 o(
3、2)解 逆 序 数 为 4:41,43,42,32.(3)解 逆 序 数 为 5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1.(4)解 逆 序 数 为 3:2 1,4 1,4 3.(5)解 逆 序 数 为 吗 1：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)(2M-1)2,()4,(272-1)6,(%l)(2n-2)(一 1 个)(6)解 逆 序 数 为(尸 1)：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)(272-1)2,(272-1)4,(272-1)6,一,(27?-1)(2Z 2-2)(7/-1 个)4 2(1 个)6 2,6 4(2 个)(2/2)2,(力。4
4、,(%)6,(2)(2-2)3-1 个)3.写 出 四 阶 行 列 式 中 含 有 因 子 的 1 23的 项.解 含 因 子。1 1。23的 项 的 一 般 形 式 为(-1)%1 1。2 3。3外，其 中“是 2和 4构 成 的 排 列，这 种 排 列 共 有 两 个，即 24和 42.所 以 含 因 子。1俗 23的 项 分 别 是(-1)%1 1。2/3/44=(-1)%1 1。2犷 3 2。4 4二 一。1 1 4 2 犷 3 M 4 4，(-1)%1 1。2/3出 42=(-1)%11。2/34 处 2=。1 1。2 3。3 4 4 24.计 算 下 列 各 行 列 式:40-07
5、20211125-114lLOo4 12 1.3 26 21T2OD1XI72(3.-3XI4+/XG4212341110-o4 2To2021 23041100o-024lx-11901;90117Q1-2+020011T112312 2020242361T2OO-00-0042300016740-07024-一 一-IX11-2OvA11c-1-7P-O41-o1ox72021411100解 234110-2XJX23101T2O解(3)解 11-adfbce1-11 1:Aabcdef.(4)o o l da l C TE T O-4O T O O 2+r4 1 10 0 1 4O 1
6、C T1 1-o T o o解 l+aba0|q+dqi+Qbaad二(1)(1产-1c1-1cl+cd0-1d|0-10二(-1)(-1)3+2J卜 加 在 ab+c加 7在 1.5.证 明：(Fabb2.(1)2aa+b2b=(a-Z)3;111明 证 二（1产 2Z1)?TP仍+1ci2ab-ci2b2-a22cib-a2b-2a100rib-ci1b2-a2b-a2b-2a=(b-ci)(b-ci)ab+a/7、312=53“为 17v+Z)vciv-bzaz+bx 阿+&az+bxax+by=(q3+b3)二 xc/z+bxcis+bvax+bz证 明 cix-by ay+bz a二
7、+bxay+bz az+bx ax+byc/z+bx ax+by ay+bz-ax ay+bz az+bxy az+bx ax+by二 ax+by ay+bz+by ay-bz az+bxz az+bx ax+byx ax+by ay+bz-a2x ay+bz zy az+bx xz c/x+bv v+b2y 二 ciz+bx二 x ax+byx y ay+bz=(3)J 二 x(3)a2b2c1cP3+1)2(7+2)2(4+3)2(3+1)2(H 2)2 G)+3)2(C+1)2(C+2)2(C+3)2(4+1)2+2)2(4+3)2证 明 crb2c1d2(+1)2(0+2)2(+3)2
8、(Hl)?(H2)2 0+3)2(c+1)2(c+2)2(C+3)20+1)2(J+2)2(4+3)2(C4-C3,C3-C2,C 2-C 1得)ab2c1d2267+12Z)+12c+l%+1勿+32Z)+32c+3加+3功+52Z)+52c+52d+5(C4-C3,C3-C2 W)cr 2。+1b2 2Z?+1c1 2c+ld2 2+122222222=0.lb/)2/)41%/1%a-b)(r/-c)(ci-d)Q)-c)(Jb-d)(c-d)(ci+b+c+d);证 明 1c2c4cI。/)2/1a 4f 7loo1b-ab(b-a)b2(b2-a2)1 1c-a d-ac(c-a)d
9、(d-a)c2(c2-ci1)cP(d2-ci1)1 1 1=(b-ci)(c-ci)(d-a)b e dbb+a)c.Xc+d)dd+ci)1 1 1=(b-ci)(c-ci)(d-6?)0 c-b d-b0 c(c-b)(c+b+d)d(d-b)(d+b+a)二 0-4)”)_)9 _ 方)”4+1 0 外 小+m=(Z)(f7-C)(7-6r)(-C)(Z?-J)(C-60(+Z)+c+67).+&_斜+为.oo.T,Y+oo-.X生 o二 o TJO,I.-2Vo%(5)证 明 用 数 学 归 纳 法 证 明.当 7尸 2 时.D2=x2+axx+a2,命 题 成 立.*I假 设 对
10、于（7L1）阶 行 列 式 命 题 成 立，即 2-1 二 A 4 I X 2+,+6/-2+6 1-,则 2 按 第 一 列 展 开.有 2=他 _|+例（-1严=xD-i+（7=Yl+（7i1+.+a_jX+a.因 此,对 于，阶 行 列 式 命 题 成 立.o?Too-X O二 16.设 阶 行 列 式 及 det（怎），把。上 下 翻 转、或 逆 时 针 旋 转 90。、或 依 副 对 角 线 翻 转.依 次 得 可。愀，。2 二“1,D3-小 q.3 1 4 1证 明 A=2=(1)2 D,DD.证 明 因 为 Z)=det(7y),所 以%1,。加 Di二 如 q,()”T。刖 Q
11、 1%二(-1)X(-1尸/的-(_ 1)1+2+-2)+s-i)Z)二(_ 1)F-D.同 理 可 证 g-D a%4 二(-1 尸.%.a)m二(一 1)丁 加 二(一 1)h D.A=(1)T Z)2=(T)T(一 1)D=(l)gf。=/).7.计 算 下 列 各 行 列 式(5 为 一 阶 行 列 式)：a 1(1)A=，其 中 对 角 线 上 元 素 都 是 a 未 写 出 的 元 素 1 a都 是 0；解 工 二 ooa0.0aooooooo11loo-OOOO-40(按 第 行 展 开)O40-O(-1OOOO=(-l)M+1-(-l)W(2)2=OOO1-oOO(-2)(n-
12、2)+(-1产 4一 小=”(4 I).解 将 第 一 行 乘(-1)分 别 加 到 其 余 各 行，得 Orto-O1a-O-Ofr400再 将 各 列 都 加 到 第 一 列 上，得 X+(7?-1)=1+(-1 河。-4尸.0 x-a 0 00 0 x-a 0 0 0 0 0 x-a(4-1)”(a-ii)n(4 1尸(3)A+i=a16 7-11a-n1解 根 据 第 6 题 结 果，有 1 1.ia a-a-n-L,.d-i(a l)T(a-y ran(a-r)n(a-ii)n此 行 列 式 为 范 德 蒙 德 行 列 式.懒+1)加 二(T 产 口 3-H l)-(a-*)M(M+
13、1)=(T)F-n n)帅+1)M X M-1)+-+1二(-1 尸-(-I)-2(*/)n+lz;l=/)n+lij(4以=为.；J 4解%.bnD2n=B。（按 第 1行 展 开）C1 414 及 c 44T 0 0 6-i+（T 产 勾 d f i-i 0 J-io 4 的 444Toqq再 按 最 后 一 行 展 开 得 递 推 公 式 少 方 一。打 乩 0为 2 一 打 02_2，艮 口 0方 一（4乩 2M 2.于 是=O G 4%）4.7=2而 4=1&=a4-3,所 以=n（M H q）.i-1（5）&det（a，其 中 a尸 吃 I；解 所|z 二/I，1234一 一 一
14、一 O 3210-0/IXA11101120123OOOO二 771OOO-二(尸 5-)”2)222其 中 6/1672,一 以 工 0.11+q1(6)2 二 1 1解 1 A 1 1 1 1 1*-1 Ao o O/F0 0 0 3 4 0 1 可 可 W 可 Ms/=1+o o O 11 Oo o O-TO1-100110 010 0 1100 0 0110 0 0 010 00 00 04 4V H+L-8.用 克 莱 姆 法 则 解 下 列 方 程 组:2+.0+.0+.%=53%+u+2丫 3+11%=0解 因 为 D=-142,=142,所 以(2)5%+6.0=1%+5.0+
15、6.0=0M+5.0+6.%=0.玉+5.%+615=0+5.=1为 因 解=-1145,0 0 0 6 5A v 1 10 6 5 1 011-o 115 1 0 0 0二 665,0 0 0 6 50 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 05 1 0 0 0一 一 7)=1507,D2=0 0 0 6 0 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 0IXA v A v 11一 一 40 0 0 6 51 o o o 10 6 5 1 06 5 1 0 05 1 0 0 0=703,D4=0 0 0 6 50 0 6 5 11A lx6 5 1 0 0s i o o oA-
16、22lx一 一 1 o o o 10 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 05 1 0 0 0一 一 A所 在 I7以 二 1记 507 二 11一 45存 广 703嬴 产-3谒 95羽=标 212.9.问 兀 取 何 值 时.齐 次 线 性 方 程 组 改 A,+内.X22+.”V3 3=00有 非 玉+2 0+3=0零 解？解 系 数 行 列 式 为 A11D-1/1=/.12/1令 D=0、得 产。或 石 1.于 是，当/u0或 石 1时 该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解.4)%2y2+4q=O10.问 几 取 何 值 时，齐 次 线 性 方 程 组 2王+(
17、31示 a+/o 玉+.0+(1-2)13=0有 非 零 解?解 系 数 行 列 式 为 1 A 2 4 I 1 A 3+2 4D=2 3-2 1=P 2 1-A 1i i I-A|I i o i-/i=(1A)3+(i 3)4(1A)2(1 A)(3 A)=(l-A)3+2(l-A)2+2-3.令 庆 0,得 2=0,或 在 3.于 是，当 及 0,Q 2 或 Q 3 时，该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解.习 题 二 1.已 知 线 性 变 换：xl=2yl+2y2+y3”2=3.耳+.%+5y3,壬=3，+2%+3 必 求 从 变 量”1.丫 2,*3到 变 量”.丁 2,”
18、的 线 性 变 换.解 由 已 知:(2 2 1丫 另)二 3 1 5故(3 2 3人%,%=6%+3%-7天.刈=341+20_4当 2.已 知 两 个 线 性 变 换 X=21i+】3 人=一 2乂+3%+2%,?3=例+%+5%】i二-3二 1+二 232 二 2=1+13J3 二-=2+3 二 3求 从 二 1,二 2.二 3至 I I W,-X3的 线 性 变 换.2 0 1Y-3(4 1 5人 01 0丫 始 0 1 z2-1 3大 马 f-6 1 3 Y-I|=12-4 9 z2(T 0 T 16人 13,二 一 6=1+二 2+3=3所 以 有 卜 2=12=1-4二 2+9三
19、.V3=-10 Z1-Z2+16Z3(1 1 1)3.设.4=1 1-1U-1 1J(1 2 3),B=-1-2 4 求 3AB LA及 4 B.(0 5 1J解(3,43 24=3 11 1 Y 1 2 3、1 1 1 2 4-1 1 人 0 5 1Jf l 1 1)2 1 1-1U-i U86055 90024 1 1 1 1-1，一 2 13 22)-2-1 7 20 4 29-2flATB=11 1 Y iT 1人 09_ 25fO05-593、41JX/4.计 算 下 列 乘 积:A.7721/I/-113O解 4 3 1Y71-2 3 2(4x7+3x2+lxl)=1x7+(2)x
20、2+3xl、5x74-7x2+0 x1,35、649,(2)(1 2 3)2;J 解(1 2 3)2=(lx3+2x2+3xl(10).2、(3)1(-1 2);2、解 1(-1 2)(2x(-1)2x2)=1x(-1)1x2,3x(-1)3x2,、二-1 3/、/1131/3-O11114-%an C(5)(%M 0 3%人 引解 4%4 丫%、（%工 2 43）生。2 2。23%（。13 23 33八 天）丁、=（7 i，X 1+7122+133。12工 1+。22丫 2+。23丫 3 13丫 1+。2 K 2+。33丫 3）X15.设.4；B 4?）,问:V1 3）I1-7(1).止 区
21、 4 吗？(2)0+3)2=/+2 A S+*吗？(3)缶+3)(月-3)二 月 22 吗？(1)解 ABwBA.因 为 月 3：历 1=(；，所 以.物 3 4(2)解(A+B)2+1AB+B2.因 为 月+3=6 可，(叱 仔 援 翡(工 融 但 小 一+小 储 卜(羽+。嗯 第 所 以(/+3)20/2+2如+32.（3）解(4+3)-*)必 2-虎 因 为.4+3=6 9,AB=Q 169oO/_-/21o(4+3)0-3)二 O故(/+3)C4-3)W/-3 2.6.举 反 列 说 明 下 列 命 题 是 错 误 的：(1)若/2=0,则 4=0;解 取 且 二 1，则 且 2=0.
22、但 岳 0.(2)若/=4 贝 口=0 或/二 生 解 取 且 二 缶/贝 但.4工 0 且.4工 E(3)若 4 事 工 且,4二 0.贝 L 段 F.取 解 则 且 布 0.但，左 V.7.设 求 才.1)2A,且 求 012o1,1OAO(A8.设 月 二 00解 首 先 观 察 2/0尤 ook-70121/0200I/Ogo42-o犷 龙 o尤 oop4 4尤 6 月 4=/3./二 0 九 4中 K0 0 挈 szOzfoOzrk-黑-45、，产 矛 o矛 oorzIV一 一 邓9.设 4 3 为 阶 矩 阵，且 力 为 对 称 矩 阵，证 明 也 是 对 称 矩 阵.证 明 已
23、知：.47 f L 则(3 的？(394)13%)=3亚.从 而 配 姑 也 是 对 称 矩 阵.10.设 4 B 都 是 阶 对 称 矩 阵，证 明.43是 对 称 矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是 45=34证 明 由 已 知:/&4,BT-B.充 分 性:45二 区 4=4二 3,7二 二(45),即 W 8 是 对 称 矩 阵.必 要 性:(48)三 必 二 3%丁 二 二 34=45.11.求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵:解 月=q 故 at 存 在.因 为解 E 遂 竦 力 昨 1犯 故，7 存 在.因 为 4*/41)/cos。sing)一 6 2 4 厂(sm cos
24、OJ9所 以 万 二 占 万/cos夕 sm。.|川-sm u cosujfl 2-iy(3)3 4-2;(5一 4 1 J(1 2-I)解/=3 4 2.|4=2w0,故/一 1存 在.因 为(5-412O-26IX 14-、12LJLJ124142*-34 3 J434IQ12I-1J-213/_2,-1 6JLMI以 所 0(W2%W0)解、0,由 对 角 矩 阵 的 性 质 知(1_ J_ 0o,X712_-32528-3-解 X 二(1 4丫 1 Y 21-1 V 10-1 1-1?)021A113o12./11o1111-4一 一 0263/rk1-23Toz0 1 0、(-一 A
25、01o;OOIoo_1fo1oo11oSIC?OOIloozr73To70-21111zrLA7OOIlooo1o-X解 looro1AoOOI1 3.利 用 逆 矩 阵 解 下 列 线 性 方 程 组:%+20+3.0=1(1)2、+20+5.0=2;3.X1+5.Y2+.X3=3解 方 程 组 可 表 示 为解 故 故 有 方 程 组 可 表 示 为 1 4.设 f=O(才 为 正 整 数)，证 明(2 月)-1二 月+月 七 4 2+.士/7.证 明 因 为.#=O.所 以-,#=又 因 为 E-E-A)(E+A-W-1),所 以(/)(+月 2+-1)二 旦 由 定 理 2 推 论 知
26、(后 月)可 逆.且(-/4)-1二 月 旬 旬 2+.”-1.1 5.设 方 阵 且 满 足 f 且 桀=0,证 明.4及.4+2月 都 可 逆，并 求 才 1及(5+2E)T.证 明 由/2_/_2=。得 1-A=2E,即，（/-及）=2及 或 A*-K）=E,由 定 理 2 推 论 知 4 可 逆，且/T=t（4 项.由，2_/_2及。得 f-A-6E=-4E,艮 口+2与（月-3与 二 一 4月，或（/+2 4（3 5-，）=4由 定 理 2 推 论 知（月+2后 可 逆，且（，+2）-二（3月-4）1 6.设“为 3 阶 矩 阵，|月 J 求|（24尸-5.4*|.解 因 为 此#*
27、,所 以 KW1-5 X*H-1-5MM-II=I|-I-4-IIA r t二|-24一+（-2）3|4一 1|二-8以 1=-8乂 2=-16.1 7.设 矩 阵 月 可 逆，证 明 其 伴 随 阵“*也 可 逆.且*）-1（r）*.证 明 由 此*,得,4*=|44工 所 以 当 且 可 逆 时.有|4*|=0|4一 乍|4 广：0,从 则 N*也 可 逆.因 为*二 母，所 以*尸 二 以 尸 4又 且 二 击 产-1)*二|(且-1)*,所 以*尸 二 以】/二 以 1阳(月-1)*=7)*.18.设 阶 矩 阵/的 伴 随 矩 阵 为 月*,证 明：若 Hl=o,贝 皿*卜 0；证
28、明 用 反 证 法 证 明.假 设 H*归 0,则 有，*(*尸 二 由 此 得/二 月 4*)一 1=以 0*)7=0,所 以 月*=O,这 与 以 牛 0 矛 盾，故 当 以 1=0时.有*1=0.(2)即 二 国？证 明 由 于 月 一 匚 高 月*,贝 1J4TKH凤 取 行 列 式 得 到 HIH*刑.若 琳 如,则|4牛 闺 T；若 以 上 0.由(1)知 以*|=0,此 时 命 题 也 成 立.因 此 以 华 用 7.(0 3 3)19.设 月 二 1 1 0 一 如=4+2艮 求 81-1 2 3J解 由 4S=/+2E可 得(/-2与 3=4 故-2 33=(4-2与 一/二
29、 1-1 _11-?、，3O11330321ot11一 一 303312O1-1/C710203020121.设,4=diag(l.-2.1),/*84=2见-8瓦 求 8解 由 A*3A=2BA-8 得(A*-2E)R4=-8,B=-8(A*-2E)=-8 及 4*-2 期-1=-8(41*-14)-1=-8(4 因-24)T=-8(-2-2A)-1=4(+A)j=4diag(2,-l,2)=4 d iag(i,-l,y)=2diag(l,-2,1).2 2.已 知 矩 阵/的 伴 随 阵,4*二 且,4A4T=A+3.求 A0008oo1oo10-31111解 由 田 目 41二&得 隆
30、z由 9 月 一 匚 历+3 得 A S=3+34,B=3(A-E)A=3/(月 一 1)U=3(E-/*尸=6(2月 _/*尸 1 0 0-6.0 1 0-1 0 1v0 3 0-6,、0 3 0 1,oooooo00606060623.设 产 加 二 A.其 中 尸 二 仁|一;,求，4”.解 由 产 卬 三 A,得 月 二 尸 A/尸，所 以/=/=尸 A L.住 3,产=（）.片 中 二.1o-/:l-/021 zrr_oI一 一 1XN 而 1A-A-121-11-v11f i2 4.设，”二 P A.其 中 尸 二 11故 求 欢 4）二 月 8（5斤 64七 4、解 穴 A)二
31、屋(5-6八+相)=diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(l,1,25)=cliag(1,1,5 8)diag(12,0,0)=12diag(l,0,0).a4)二 尸 穴 A)L书 P*(A).OT-一-4=-231_VI|003ooOloo2 5.设 矩 阵/、3 及 A+B都 可 逆.证 明/-“歹】也 可 逆，并 求 其 逆 阵.证 明 因 为 月%+3 7+月-1+3-1,而/-1(5+3)3一 1是 三 个 可 逆 矩 阵 的 乘 积，所 以 月 一(4+5-1 可 逆,即 4 7+3 可 逆.T+3 T)T=.y1133_-3220
32、O1oO1ooO/、70113102021001ooO算 计 G 2解 则 而 设 4=()，4起 B2=l-34 即 传 4)I。4 人。(A 44+即 I。4 与，以 所 即 44+玛 普 孤.；X-0=与 44。E43、1 2520204o-739o4月 44一 一 ny-42 5oo o 4o-o 3-9JOoelooo2ooo o 1、113-=11oo1o12Io o o3Jo o27.A-B=-C=D=i 0o 1.验 证 AC DBCA DB,解 A BC D10 10 11010 12 00 2-1 00-10 00 01 00 12二 601 020 1二 4,而 A B
33、1C D-1|=o,故 A BC DACBD.;二。28.设/=4 3 求 团 及 r。；9k J解 令 4 二 3 4)7则 A-4 o)O&2 0,4 二?9故 4 二 4 o8/4)。AJ-1。空|屋 H 蜀 鹿 HWI4IJ10叱 A4=仆 4 0(月；O_ 0 54O 禺 厂 O、O29.设 阶 矩 阵 月 及 s 阶 矩 阵 3 都 可 逆.求 24 0,6,4-7由 此 得 所 以 二 片 AC4=O-3G=0IB J4=G 二 月-1c4=oG 二 o，d(喷?f-解 由 此 得 所 以 4 RA；,则 ADX AD2 纥 OD4,、CD+BD3 CD?+BD4,、O E)7%
34、&AD2-O CDBD3=OD/B D产 E sp o V _(月 T Oc B)39-1 B-1)小 o-5B-2A43 0.求 下 列 矩 阵 的 逆 阵:/oOoO21520 0 8 30 0 5 20038;00252500SOoO 20072152r_I0 0 8 30 0 5 2于 是 SoO4oO3110212111111rI2)dj-/贝 O加 C-)7-02)IV000411A0031.40=212设 Q121K解 AOoO2401-21-65三 题 习 把 下 列 矩 阵 化 为 行 最 简 形 矩 阵:234ooO1231 o 2-r2 0 3 1(下 一 步 为+(-2
35、必，3+(-3)、)3 0 4 3,(下 一 步:电+(-1),内+(-2).)、/130212_ooO1oOzrk（下 一 步 臼-）130211ooO1oO210ooO1oO21OooO1oO210ooO1oO-n一 3（下 一 步 臼+3.）V-P一 3（下 一 步 冷+3臼.）1 J-1、0（下 一 步 n+（-2）2 n+臼.）OAol Jo1ooooloo/I仅 0I。234200oooooozrk一?-3 r 4 3(下 一 步 吵 2+(-3)凡 臼+(-2)介.)一 7-1.20oooo-3 1、1 3(下 一 步:3+为，n+3)1 3)(下 一 步 4+2.)0 5)1
36、3.03011o1olooooo/I(下 一 步:r 2-3 n,方-2 n,n-3n)（下 一 步 史（-4）,归（-3）,年（-5）3、8 66oAH3435-_Tooo1ooo（下 一 步 n-3电，3-2%）7222222-_111111ooooooA732002-20o-o1ooIXooo1ooo740108322-21x/3I2k（下 一 步 n-2r2,臼-32 口-2泛.）（下 一 步 曲 2门，方-8%”7n.）A)74o73解 3234-1087149-1-111298-10874287_-o1oo(下 一 步:2 2x(-1),r4-.)、y12441o11111200
37、oooo1oo（下 一 步:冷+方）2140-1-1119-100O1oO1ooOx-O/4O1O2-00O1oO1ooO求 369258147zrI=?1111o1oloorIXcolooo1ozr2.设fO 1 0解 1 0 0 是 初 等 矩 阵(1,2),其 逆 矩 阵 就 是 其 本 身.l o o i j0 是 初 等 矩 阵(1.2(1),其 逆 矩 阵 是 oy222Ai 71O11O1Oz1OO Y3 YA19 A 0loo1OY-417/L一 一、,1o1xoo，39oo2o81o型 1,2(-1)二 o128是 于 3.试 利 用 矩 阵 的 初 等 变 换，求 下 列
38、方 阵 的 逆 矩 阵:-9/2 y/153212q3UXI/-4yOOIo1o1A1111-14221o300 xydo1o1oloo153212333解 7/2 21 1-1/2 0o o 1A3/2 o 2 oo1Tooo2 o 1Ao)71Xo 2 o10o-o4-1O12一 Mo11ooo3)2?r51)23 1016 1j.5 一 故 逆 矩 阵 为7O232322O2)1O 1A00017oO1OO1oO1ooO1111O一 11_-023-2222130101oO71030ooO1oO1O01421030ooO1oO1O0140二 103-6ooO10012-160?二 T20
39、36IX一-一-.-1O-12ooO1oO1O21001ooO、/4460-T2036IXIX1i1AooO1oO1OO1oO1ooO201O故 逆 矩 阵 为 A1 3 6-110J6-(13=2 2,求 X 使 4 3;(3 川 1-214.设 月 二 2 1解 因 为 以 所（4 3 二 OOIo1oo2Ay234(2)设 士 _3 求 X 使 X4=A解 考 虑/勺/因 为 74V2-11oO1O1OloorI二 2 一 3 11 3 23-4 3231O21（2 一 4）所 以 Xr=（M 尸*=-1 7I-1 4从 而 X=3.r=：1 I）1、o5.设 月 二,.4X=2X+A,
40、求 X11o11o 解 原 方 程 化 为 0-2助 丫=4 因 为（,4一 2,/）=11ololoil-11o-TOTzrko xlOOIo1olooy11o、/1111o10-1OT1以 所6.在 秩 是/的 矩 阵 中、有 没 有 等 于。的 广 1阶 子 式。有 没 有 等 于 0 的 厂 阶 子 式。解 在 秩 是 7的 矩 阵 中.可 能 存 在 等 于 0 的 r-1 阶 子 式，也 可 能 存 在 等 于 0 的 r 阶 子 式.例 如，A=AyoooOOIo1oloo A(A)=3.是 等 于 0 的 2 阶 子 式,oooOOIo1o 是 等 于 0 的 3 阶 子 式.
41、oooo7.从 矩 阵/中 划 去 一 行 得 到 矩 阵 A 问 4 3 的 秩 的 关 系 怎 样？解 R(A)R(B).这 是 因 为 3 的 非 零 子 式 必 是 力 的 非 零 子 式.故 工 的 秩 不 会 小 于 B 的 秩.8.求 作 一 个 秩 是 4 的 方 阵，它 的 两 个 行 向 量 是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解 用 已 知 向 量 容 易 构 成 一 个 有 4 个 非 零 行 的 5 阶 下 三 角 矩 阵：oo1oooTooo111111ooooo1ooooo3此 矩 阵 的 秩 为 4,其 第 2 行 和 第 3行 是 已 知 向
42、量9.求 下 列 矩 阵 的 秩,并 求 一 个 最 高 阶 非 零 子 式:解 1 0 2、1 1 2 1（下 一 步 打 一 冷.）1 3-4 4.2420-4113131（下 一 步 r2-3r,臼-n.）z i-i 2-n0 4-6 5（下 一 步）10 4-6 5.1ZZ/440矩 阵 的 秩 为 2,:：=-4是 一 个 最 高 阶 子 式.i 1（3 2-1-3-I（2）2-1 3 1-3;J 0 5-1-8y（3 2-1-3-2、解 2-1 3 1-3（下 一 步 4-2 泛-2n,方-7”.）7 0 5-1-8,/I 3-4-4 1、0 i 11 9-5（下 一 步 方-3功
43、.）I 0-21 33 27-15J3701oO150490410-1矩 阵 的 秩 是 2.3 22-1=-7是 一 个 最 高 阶 子 式.(下 一 步 n-2r4,兆-2%方-3以)77500-3782805313207500-378280531320-2231/I?用 7、-5（下 一 步 冷+3，e+2 6）0（下 一 步：+16%3-1 6 4）2643-_1320ooO1n6431AIXToO220031ooO71001A00220031ooOooO1/LrooO07102ToO3200O1oOrlooW=70工 0是 一 个 高 阶 子 式.Too78205矩 阵 的 秩 为
44、3,310.设/、B 都 是 粗 矩 阵，证 明 A-B 的 充 分 必 要 条 件 是 R(A)=R(B).证 明 根 据 定 理 3,必 要 性 是 成 立 的.充 分 性.设 氏(,4)二 五(5),则/与 5 的 标 准 形 是 相 同 的.设,4与 B 的 标 准 形 为 D,则 有 A D,DB.由 等 价 关 系 的 传 递 性，有 月 3.2才 2一 2一 1-1左 1 1.设 月 二 3k-3，问 才 为 何 值，可 使(1)A(X1；(2)A(42；(3次=3.-I k k-k-l0 _(l)+2(1)当 心 1 时,H(/)=l；(2)当 k=-2 且 上 1 时,R(A
45、)=2;(3)当 上 1且 a-2 时.火(月)=3.1 2.求 解 下 列 齐 次 线 性 方 程 组:+X2+2X3-X4=0 为+电+电 一 项=0；2%+2x2+电+2玉=0解 对 系 数 矩 阵/进 行 初 等 行 变 换，有 于 是 4行 产 毛=_鸡 4，故 方 程 组 的 解 为/为 任 意 常 数）.4-334-31rL左 一 一 始/三 7zf%+2丫 2+$一 工 4=0(2)-3%+6.0电 一 3项=0;5%+10.x2+电 一 5.X4=0解 对 系 数 矩 阵 月 进 行 初 等 行 变 换，有 fl 2 1-PA=3 6-1-3(5 10 I f=-2 X2+X
46、4于 是 富,4OOJO1O2001oOrzLk故 方 程 组 的 解 为 2100T+左 2 o（后 府 为 任 意 常 数）.2.+3.X2-.X3+5.X(=O3.+七+4 7.%=0.4 5+2-3电+6X4=O怎 _ 2马+4.0 7%=0解 对 系 数 矩 阵/进 行 初 等 行 变 换，有、576MVoo1oo1oo1oo1ooo于 是 玉 二 0产 二 0七 二 03 二 0故 方 程 组 的 解 为、二 0“2=0电 二 0项 二 0 3 怎+4%一 5电+7演=02-3毛+3 电-2 X4=04%+1 l.x2-1 3.x,+16，X j=0 7玉-2V 2+电+3.%=0
47、解 对 系 数 矩 阵/进 行 初 等 行 变 换，有、7.3-70-70O11-119.1-113-L79-L7OOO1oOooO4 11-13 16(7-2 1 3J于 是 故 方 程 组 的 解 为(缶，府 为 任 意 常 数).1 3.求 解 下 列 非 齐 次 线 性 方 程 组:(1)|4.+2毛-电=23%-坨+20=10；11%+3%=8解 对 增 广 矩 阵 3 进 行 初 等 行 变 换，有 4 2-1 2 1/IB=3-1 2 10J I 3 0 8y3 3 8、-10 11 34,0 Q-6 J于 是 火)=2,而 火(3)=3,故 方 程 组 无 解.(2)2.x+3
48、v+z=4“一 29+4 二 一 53x+Sy-2z=lY4x-v+9z=-6解 对 增 广 矩 阵 3 进 行 初 等 行 变 换，有 n 4/;=14290J28-4536一 1一 OonxO1oO2-cOO2O于 是 即 l.v=-2z-ly=z+2,1 1（k 为 任 意 常 数）.2x+y-z+v=l(3)711-201O/_1-2000/1（缶,4 2为 任 意 常 数）.OOO1OO+-二+蚀=1(4)*3x-2v+z-3iv=4.x+4v-3i+5w=-2L解 对 增 广 矩 阵 3 进 行 初 等 行 变 换，有 6/7-5/707-1/7-1/7-5/7 9/70 06-7
49、5-7+-VV111-79-7是 于（舟，42为 任 意 常 数）.6-75-700+A71-79-701rr+2、/1-75-710=14.写 出 一 个 以 为 通 解 的 齐 次 线 性 方 程 组.解 根 据 已 知，可 得 2401与 此 等 价 地 可 以 写 成 9或 或 12=-3电+4项%2+%=0X2+3X3-4 X4=0,这 就 是 一 个 满 足 题 目 要 求 的 齐 次 线 性 方 程 组.15./取 何 值 时.非 齐 次 线 性 方 程 组 相+*2+七=1%+居+.0=2.%+2+相=无(1)有 唯 一 解;视(3)有 无 穷 多 个 解?p i 1 1 n解
50、 3=1 2 1 Xj i 4 司/I 1 2 尤、0 A-l 1-2(1-2).10 0(1-2)(2+A)(1-A)(A+1)2J(1)要 使 方 程 组 有 唯 一 解，必 须 R(4)=3.因 此 当 加 1 且&-2时 方 程 组 有 唯 一 解(2)要 使 方 程 组 无 解，必 须 R0)A。)，故(1-丸)(2+/)=0,(f+1)2工 0.因 此 在-2 时，方 程 组 无 解.(3)要 使 方 程 组 有 有 无 穷 多 个 解，必 须 R(N)=灭(3)3,故(1-2)(2+2)=0,(1-2)(2+1)2=0.因 此 当 在 1时，方 程 组 有 无 穷 多 个 解.1