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1、线性代数同济大学第四版课后答案习题一习题一1-5601 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 01(1) 1-4-1;-183a b c(2) b c a cab1 3/721vyv+v,(4) yx+y.v .x+ vxy(1)201解141-183=2x(-4)x3+0x(-l)x(-l)+lxlx8-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)=-24+8+16-4=-4.(2)a b c解c acab-acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc3cibccpbc.(3)1 11解bcci1b1c1-bc1+cc+ab-ac1-bc?-cb1=(ci-b)(b-c)(c-d
2、).(4)x yx+ v)3,证明h2r/ld2 ab-d2 按一 a12ci b-a 2b-2a100仍+ 1 r a=5隅f 柒：=（）（）；7）3.ax-vby a+b二 az+bxx y(2) ay+bz ciz+bx cix+by-(cP+b3)y zciz+bx ay+bv av+bzcix-by ay +bz ciz+bx ay +bz ciz+bx ax+by ciz+bx cix+bv a+bz 9T+12Z+32Z)+52c+l 2c+32c+52J+1川+32d+5b7 c1 d2267+12Z)+12c+l 267+122222222=0.Id%1 cc2，13Z)2/
3、)4=(67-Z)(67-c)(ci-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+3+c+d);Idfz2* 1 :2 4 1 c c c lbz)2z)4 1 ah2h4 明证1111-0bcicada0b(b-d)c(c-a)d(d-a)0b7(b2-a2)c2(c2-a2)dXd2-a2)=(b-ci)(c- d)(d - d)1bb2(b+ci)11cdc2(c+a) d2(d+a)|111=(b- d)(c -a)(d-)pc-bd-bp c(c-b)(c+b+d) d(d-b)(d-b-ci)=(j)(c-a)(d-a)(c-b)(d-呱c+需)成晶+。)=(6r-Z?)(-c)(Z-
4、60(c-67)(6H-Z+c+7).(5)OT 二 xo- 1 3 oo - - + Xoo ;牝=f+*一 1+ +/_+% .证明用数学归纳法证明.当7尸2时.。2= j 丫=十+。1丫+。2,命题成立 c2.v I cdet(r/y),所以yi(w-l)_(-1)1+2+ w-w-1)d .同理可证4=(1尸二(-14加=(-14 D.司月一1)(月一1)m(m-1)。3=(-1)丁。2二(一1)丁(一1) D=(rr)D=D.7 .计算下列各行列式(以为k阶行列式)：a 1(1)2=工，其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0；(按第行展开)100.0。*ooo 一 a o*o o
5、- o oOno - o o*a o o 1 o 11OO O ooo - aOOO - Ooo a - oo no - o(-1-+cf=cf-cf2=cfXa2-).5-2)(月一2)(2)2解将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得aoo 一 一X o z a - o - - o a Fo - o 1 再将各列都加到第一列上，得工=X+(7/-l)6f00ax-a00 , x-a =.V+(72-1)” (1一。尸.x-a(3) 2+i =(a-l)n &-1)”T (。一)” (n-7Z)n-1a-n1解根据第6题结果,有111W aa-n加=（-1）丁r/,（。-1尸（。一）1cf i
6、p-XT （一尸此行列式为范德蒙德行列式.小。一加=（-D 2口（。-计1）-（。-川）=（tl州+5）海i=(-1)- -(-I), n0力M *&/1a(g 2%J4（按第1行展开）4再按最后一行展开得递推公式4T o1t即Pa*=S/右-R于是T二口（M -刎）4.=叫一防.所以4=口（袍-4G.（5） D=de1（他），其中他=|r/|.解q尸吃卜&=det%)=3210210110127*0123*h-r2-111-1一11A1111* o*c2+qCj+C,-1一-1-1一1000-2:一,)22. oo 二：1222. o -,532fi-5Av o Av 一一11+q111l+
7、q1111+q=（一1尸（，1尸(6)2二,其中aa2a产0000-110000110000ql-11000伤101100可1,11000,，00000-0-0000100-1100-1148.用克莱姆法则解下列方程组:%+M+M+M=5.0+4%=-2.I 2vt-3M -玉-5.v4=-23.+x2+ lx3+11.%=0解因为所以=W=19%=*=2,=今=3、4=尤=一1.5%+6.丫2=1%+5.0+6e =0(2)为+5.x3+6.v4=0.4+5.丫4+6.毛=0.%+5.毛=1解因为000650065106510IIO oo n51000566Ln001065OO6S10651
8、06510051000=1507. 300065006510651065100loool00065lo oo 1065106510051000OOQ6S 00651 1A ov 6510 051OOQ00651065106510051OQO所以150 f 丫_1145.7031395 v_212665，l 665，厂665,6651-665,9.问力取何值时，齐次线性方程组尊瑟建二:有非.升+20+*3=0零解？解系数行列式为L i iD= I / I =/-fiA.I 2 I令ZH).得/A=0或2=1.于是.当4U0或2=1时谈齐次线性方程组有非零解.f(l-2)%-2.Yj+4七=010
9、.问2取何值时,齐次线性方程组2%+(3-秘2+玉=。%+%+(1义).丫3=0有非零解?解系数行列式为L-Z 24 I II A 3+l 4D=23T 1=21-2111l-q|101-=(l-)3+(-3)-4(l-Z-2(l-)(-3-2)=(l-Z)3+2(l)2+Z-3.令D=0.得Z=Q./=2或2=3.于是.当0融2或2=3时，该齐次线性方程组有非零解.习题二1 .已知线性变换：一工=2另+2%-，丫2=3册+丁2+5.”,产3=3+2必+3,3求从变量2, T3到变量”，丁2,”的线性变换.优=-7-44+9G、=6叫+3.与-7玉 昌=3怎+2丫厂4*2.已知两个线性变换31
10、 二-3 1i+1212 = 2二1 * 二33 二一二2+3 13 = 211+丁32=一2+3.12 + 43, 。广4+2+5”求从二1.二2,二3到Xi, X2, X3的线性变换.由已知% =6=1+二2+ 3二3所以有归二12二4二2+9二3 .Xj 10 二1二2 +16二3(111)3.设H= 11-1U-1 口(12 33二-1 -2 4 ,求 3吐24 及,4.(0 5 1Jfl 1 1 Y 1 2 3)3AB-2A=3 1 1 -1 -1 -2 4U-l “0 5 1Jfill 2 11-1J T 1 ,60 5 8)= 3 05 612 9 Ojfl-2 1U2913 2
11、2) -17 20 ,i)flAB = 1u1 1Y1 2 3、1 1 12 4-1 1 人。5 1J(10). 2、(3) i (-1 2);1 (-1r2x(-l) 2x2) 2)= 1x(-1) 1x2v3x(-1) 3x2,f-2 4)= -12H 6)13(214010-11-134 J 1-34011%(5)(.0玉2223丫2.3423%人工3/（%工2、3）42%1弓3”2、。13。23。33人飞、二（。11、1+。12工2+113丫3。12丫1+。22丫2+123丫3。13丫1+。23丫2+。33丫3）X2=q田+%忑+%书+42+M 3%玉+.5 .设4=(；3=(；9)问
12、：(l4B=BA 吗？(A+Bf+IAB+B2吗？(3)(,4+5)(4-二/一川吗,)(1)解 ABBA.因为45=(；*，A4=Q 所以止34(2)解（/+3）2h/+2A5+32.因为）但/+皿代储卜侪巩母（;终所以（4+3）2=/+21g+屎解(A+B)(A-B)A2-2.因为4+3=9925 r A-B=;，(X+B)(4 B)o oo o z/nk一一、721而人叫号巩物,故(/+3)(43)2_26 .举反列说明下列命题是错误的：(1)若/2=0.贝上4二0;贝).42=0,但,40.(2)若是4,贝以二0或二段贝42=4但.4工0且AhE.(3)若,4A二1K 且上H0.贝L段
13、y.解o o1 o贝1J 4fc4K且/M,但用工7 .设求此愿，淤12z/ l17o 11 Azflk一一2o 1Ai=A2A=f i oYi ovf i o)2A 1人41厂132 If(A 108.设月二0 A 1、求f.I。刈解首先观察12022/01、22M33才 a3=a2-a=0无、00偿44,A4=A3-A=0)t1。32、3,到6肾4中,10科5才9 .设43为阶矩阵，且，为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明已知:月三4,则（3亚）邑37（肥4）13%）=卫”.从而52也是对称矩阵.10 .设4 B都是阶对称矩阵，证明.43是对称矩阵的充分必要条件是3=54证明由已知:a7=a
14、. bt=b.充分性:.北二区4=北二5即楞是对称矩阵.必要性：（4S），=ABnB7,4TnABnBA=AB.11.求下列矩阵的逆矩阵:解A=(cosO -smOsmO cos。.|4|=U0,故不存在.因为4*4i 4icos。sin。-smO cosOr所以Al =-A*=Mlcos。smO-smO cos。)(3)34-2G-41Jfl 2解/=34(5-4T)-2.|4|二2=0,故月7存在.因为44i 4f-4/*二425223212.解下列矩阵方程:(1)*贯EC沈抄(广外解xaf 14YY31丫2 OY1 l-l 2)0-11-11J_U2-4Y31 jl 0nil 1人0-1
15、人 T 赵掇并(判(010、(100、(-43、(4) 1 0 0 X 0 0 1loo 1J(0 1 OJ2 0-1. U -2 oj0 1 01X= 1 0 0：、0 0 1J1 42 0 J -2O 1 Oo O 1looOOIo o 11 loo 7IXT 3 o13 .利用逆矩阵解下列线性方程组:%+工+3.玉二1(1)2.+ lx2+5.0=2;3.丫1+5学+工3=3解方程组可表示为俨=1从而有I x0.(2)4|二川一1.证明由于，“二W4取行列式得到囿H中国.若呼0,则H华阳-七若内|=0.由(1)知旦牛0.此时命题也成立.因此阴=国11033)19.设工二110三4+23.
16、求8k 1-37解由.但4+EE可得1-23氏4故fl20.设且二0U-4 cll1A17且.4B+E=+B.求 B.解由.旧+=.4、3得0-曲乐=/-即 C4-)5C4-)U+).=-U0,所以0-毋可逆，从而10 221.设王diag(L-2.1),4*84=2初-8,求3.解由.4*&4=225L4-8得(42)K4=-8,庆-迎42)-=-842)_,二_&*_斌 t 二-WH|-14)T =-8(-2-14)-1二4(外4尸=4曲瞰工-1,2)=岫ag(1._ LM4M0 0 0 8o O 1 OO 1 O -1 o 1i O=2diag(L-2.1).22.已知矩阵/的伴随阵且*
17、二且二A+3.求3.解由M*bHI =&得Mf=2,由通产=我+3后得在6+M氏3*)-1W-,4-i)U=X-*)-1=6(2-J*)-11 o-lodiag(5,5,5)-diag(-6,630)+diag(l,1,25)=diag( LL58)diag(12Ao 尸12diag(1,0.0)./ iP奴 A)P*o o O o o O25.设矩阵43及都可逆，证明.+3-】也可逆，并求其逆阵.证明因为阴歹1=犷1+.4-|=/1-1+万 I而力-匕+马力是三个可逆矩阵的乘积，所以r（,4+为小可逆、即.G+尸可逆.犷|）一|=以-1日+3-1=3+3）-口11OY26.4二q -!除(o
18、 -344+用=6连_限-：_妙（泊）.(21Y-23，43 d 0-3只0-9卜243%-5240-21001 o o O（。4人0耳厂（0.3卜21001 o o O/ L一一r 133.-3220-01001000ovi3Z102021001 Q o o/则而所以即27.取/二3二一0=2）=（；验证*丰+ pj94= dji20一一o-0-,01:001 oo 7-0 T20-1o=IL ov1010o 1 o T1 o T o二urlD网ICIHe,二 o28.设/=43）求闺及T.、。25J解令4=（：-3）=（2?）,则A=（ o ；），故纲瑞,1耳喟 I 第 I=HFMJ=1O
19、.29.设阶矩阵.4及s阶矩阵3都可逆.求4o03r L设解GGqGao063=产=修解由此得所以c c“Br7rrc XA 8/=Any.GgGG.4-00方-3 C f 3t 4t If 2fcccICorl-1 A4。&-1蜴护（W、/。用 M0(A。丫。Mt 皿皿。)c B) Dz 2厂9。+方 CD2+BDaO EJ卜坨=4ad7=o cdbd2=o |ca+3以=4,.D=_ D3=-B-t：4-t,卬5(A OX_( A-10)C B)一炉CH 加上30.求下列矩阵的逆阵:903200859-100XI 738一00-52500则3解00320085210052 o Q8 fzf
20、 Lx=1200则921/HV-C解。54cz/!.70004 o O 311021221-21-S习题三1.把下列矩阵化为行最筒形矩阵:CFf： z1, aG2X )!、04-7-lzo 1 o 2 0 0 o o oT3oz ILo 1 o looI T 3,二、3 3 5 a* J3)1 .0、-1.3 -4 3、5 -4 13 -2 042 1,T o o o 1 o o oo nVCF-AM, t-M, n-M.)40o o2 13 210 8 73 2 2 374 0 3.CF-令-S. q7/v)/o-i i i n1020-2I 000146一步.a(-i)冷-a)|o 001
21、ICF2X-14 o?二2 T o oo 1 o o1 o o oz/m/-234 oov2 T o ortv ov ov1 o o o147, I、-71 o 1 o 1 o1 o o Jn1 OOIlooo 1 ozo 10、解100是初等矩阵(1.2),其逆矩阵就是其本身.100 Dri o n010是初等矩阵E(L2(1其逆矩阵是!。01,1 o O9-5 8O 1 O5 2 8 4 17 /-1O 1O 1 O3.试利用矩阵的初等变换.求下列方阵的逆矩阵:(32 n(1)315;3 2 13 1 53 2 303 2 10 0 1 4(323100)-110-1 o 1!1 1 -2
22、 -1/2 0 l/2,3/20-V2(311-20-i o i!、o/3TO 26-127/-1/o O 1 o 1O1 OO /- k73-221-2-2-3-1O7-6-11-2故逆矩阵为yooo oO11 o11Jy 201ol60232r-221IL11ii400*-6j 1-3Zf=|2；卜求X使4仁3:ooz3Obl21001 o o o=1 O 1 oil-、711 O-/1OT T1OOT11OT0010-11O 1 O /-=1 o o J-6.在秩是r的矩阵中，有没有等于0的L1阶子式有没有等于。的阶子式？解在秩是r的矩阵中.可能存在等于0的厂1阶子式，也可能存在等于0的
23、f阶子式.(4000)例如.=0100.&4)=3.(0010)是等干0的2阶子式.是等于0的3阶子式.工从矩阵,4中划去一行得到矩阵反问43的秩的关系怎样？解RQ4之这是因为3的非零子式必是，的非零子式、故H的秩不会小于3的秩.8 .求作一个秩是4的方阵、它的两个行向量是(L0, l,0.0),(l,-L0.0.0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵：0-10 0 01 1 1 o O此矩阵的秩为4,其第2行和第3行是已知向量.9 .求下列矩阵的秩、并求一个最高阶非零子式:/31 Q 21(1) 1-12-1;1 3-44)3102箪1121 CF-电)U 3-44jfl
24、 12-13102 I OF -A-3. n-n )!j 3-441(1-12TT 04-65 CF-小注)!、04-65/2 6 04 4 0矩阵的秩为2, R _-4是一个最高阶子式矩阵的秩是2、；=是一个最高阶子式一1CFTft 衣必，w&t)CF一步 a IS )75 0 0八1/OX-7 140OO0 20s7 10,2 J o O=70=0是一个高阶子式.3 7 8 28 0 5-313 2 07A5 00/ -3 7 8 28 0 5 313 2 0解OOO2 0 0 31 o o Oo o O 1O 3OOO13 2 Q OO 1 o O1 o o Or I矩阵的秩为3.10.
25、设.4、B都是晔矩阵.证明.43的充分必要条件是&Ay=m BY证明根据定理3必要性是成立的.充分性.设R(A)=R(B),则力与3的标准形是相同的.设A与3的标准形为A则有AD, D-B.由等价关系的传递性.有44.11 1彳，, -2 M)0-3,问才为何值.可便-23)(1W.4)=K(2W)=2：(3求(4)=3.(1-2玷-1k解=-1弱-301i-1 k -23只。0-(i-1X+2),(1)当上1时.RQ4A1：(2)当 lr=-2且辰1时.夫(4)=2:(3)当肛1且肚-2吐网4)=3.12.求解下列齐次线性方程组1x+再+4-2=0+$一%=0;12rl+2项+七+1=0解对系数矩阵.4进行初等行变换,有（12-n ri o -i o,4=211-1-013-1,、2212/1!、001-4/3,4玉二产于是广二；故方程组的解为八r n%） j；：=为W为任意常数）.1）pq+、+Xjf=02）-3演+6叫-玉-3、=Q :国+10.q+-y1=0解对系数矩阵.4进行初等厅变换.书于是故方程组的解为卜超为任意常数）.ov ov72100p.i