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1、线性代数同济大学第四版课后答案习题一习题一 1-5 6 T o1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1(1)1 -4-1;-18 3a b c(2)b c-c)(c-ci).(4)x y x+y解 y x+y xx+y x y=.Y(xy)尹)1.计1。+(丫+)/一0V+y)L=3xy(x-y)-)-3 y-y-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1;(4)2 4 1 3;(5)1 3 (2-1)2 4 (2);(6)1 3 (2n-l)(2n)(2n-2)2.(i)解 逆 序
2、 数 为 o(2)解 逆序数为4:41,43,42,32.(3)解 逆序数为 5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1.(4)解 逆 序 数 为 3:2 1,41,43.(5)解 逆 序 数 为 吗1：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)(2M-1)2,()4,(272-1)6,(%l)(2n-2)(一1 个)(6)解 逆 序 数 为 (尸1)：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)(272-1)2,(272-1)4,(272-1)6,一,(27?-1)(2Z2-2)(7/-1 个)4 2(1 个)6 2,6 4(2 个)(2/2)2,(力。4,(%)6
3、,(2)(2-2)3-1 个)3.写 出 四 阶 行 列 式 中 含 有 因 子 的1 23的项.解 含因子。1 1。23的项的一般形式为(-1 )%11。2 3。3外，其中“是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即24和42.所以含因子。1俗23的项分别是(-1)%1 1。2/3/44=(-1)%1 1。2犷3 2。4 4二 一。1142 犷3M 44，(-1 )%11。2/3出42=(-1 )%11。2/34 处 2=。1 1。2 3。34424.计算下列各行列式:40-0720211125-114lLOo4 12 1.3 26 21T2OD 1XI72(3.-XI4+3/XG421234
4、1110-o42To202123041100o-024lx-11901;90117Q1-2+020011T1123122020242361T2OO=00-0042300016740-07024-一一-IX11-2OvA11c-1-7P-O41-o1ox7)2021411100解234110-2XJX23101T2O解(3)解11-adfbce1-11 1:Aabcdef.(4)o o l da lCTETO-4O T O O2+r4 1 10 0 1 4O 1CT11-o T o o解l+aba0|q+dqi+Qbaad二(1)(1产-1c1-1cl+cd0-1d|0-10二(-1)(-1)3
5、+2J卜加在ab+c加7在1.5.证明：(Fabb2.(1)2aa+b2b=(a-Z)3;111明证二（1产2Z1)?TP仍+1ci2ab-ci2b2-a22cib-a2b-2a100rib-ci1b2-a2b-a2b-2a=(b-ci)(b-ci)ab+a/7、312=53“为17v+Z)vciv-bzaz+bx阿+&az+bxax+by=(q3+b3)二xc/z+bxcis+bvax+bz证明cix-by ay+bz a二+bxay+bz az+bx ax+byc/z+bx ax+by ay+bz-ax ay+bz az+bxy az+bx ax+by二 ax+by ay+bz+by ay
6、-bz az+bxz az+bx ax+byx ax+by ay+bz-a2x ay+bz zy az+bx xz c/x+bv v+b2y 二 ciz+bx二 x ax+byx y ay+bz=(3)J 二 x(3)a2b2c1cP3 +1)2(7+2)2(4+3)2(3+1)2(H2)2 G)+3)2(C +1)2(C+2)2(C+3)2(4+1)2 +2)2(4+3)2证明crb2c1d2(+1)2(0+2)2(+3)2(H l)?(H 2)2 0 +3)2(c+1)2(c+2)2(C+3)20+1)2(J+2)2(4+3)2(C 4-C 3,C 3-C 2,C2-C1得)ab2c1d2
7、26 7+12Z)+12c+l%+1勿+32Z)+32c+3加+3功+52Z)+52c+52d+5(C 4-C 3,C3-C2 W)cr 2。+1b2 2Z?+1c1 2c+ld2 2+122222222=0.lb/)2/)41%/1%a-b)(r/-c)(ci-d)Q)-c)(Jb-d)(c-d)(ci+b+c+d);证明1c2c4cI。/)2/1a4f 7loo1b-ab(b-a)b2(b2-a2)1 1c-a d-ac(c-a)d(d-a)c2(c2-ci1)cP(d2-ci1)1 1 1=(b-ci)(c-ci)(d-a)bedbb+a)c.Xc+d)dd+ci)1 1 1=(b-ci
8、)(c-ci)(d-6?)0 c-b d-b0 c(c-b)(c+b+d)d(d-b)(d+b+a)二0-4)”)_)9_方)”4+1 0 外小+m=(Z)(f7-C)(7-6r)(-C)(Z?-J)(C-60(+Z)+c+67).+&_斜+为.oo.T,Y+oo-.X生o二oTJO,I.-2Vo%(5)证明用数学归纳法证明.当7尸2时.D2=x2+axx+a2,命题成立.*I假设对于（7 L 1）阶行列式命题成立，即2-1二A 4 I X 2+,+6/-2+61-,则2按第一列展开.有2=他_|+例（-1严=xD-i+（7=Yl+（7i1+.+a_jX+a.因此,对于，阶行列式命题成立.o?
9、Too-XO二16.设阶行列式及det（怎），把。上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转.依次得可。愀，。2 二“1,D3-小q.3 1 4 1证明 A=2=(1)2 D,DD.证明 因 为 Z)=d e t(z;l=/)n+lij(4以=为.；J 4解%.bnD2n=B。（按第1行展开）C1 414及c 44T 0 0 6-i+（T产勾d f i-i 0 J-io 4 的444Toqq再按最后一行展开得递推公式少 方 一。打 乩0为 2一 打02 _2，艮 口0方 一（4乩2 M 2.于是 =O G 4%）4.7=2而 4=1&=a 4-3,所以 =n（MHq）.i-1（5）&d e
10、 t（a，其 中a尸 吃I；解所|z二/I，1234一一一一O3210-0/IXA11101120123OOOO二771OOO-二(尸5-)”2)222其中6/1672,一以工0.11+q1(6)2 二1 1解1 A 1 11 1 1*-1 AooO/F0003 4 01可可W可Ms/=1+ooO11OooO-TO1-1001100100110000110000100000044VH+L-8.用克莱姆法则解下列方程组:2+.0+.0+.%=53%+u+2丫3+11%=0解 因 为D=-142,=142,所以(2)5%+6.0=1%+5.0+6.0=0M+5.0+6.%=0.玉+5.%+615=
11、0+5.=1为因解=-1145,0 0 0 6 5Av110 6 5 1 011-o115 1 0 0 0二665,0 0 0 6 50 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 05 1 0 0 0一一7)=1507,D2=0 0 0 60 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 0IXAv Av11一一40 0 0 6 51 o o o 10 6 5 1 06 5 1 0 05 1 0 0 0=703,D4=0 0 0 6 50 0 6 5 11Alx6 5 1 0 0s i o o oA-22lx一一1 o o o 10 0 6 5 10 6 5 1 06 5 1 0 05
12、 1 0 0 0一一A所在I7以二1记507二11一45存广703嬴产-3谒95羽=标212.9.问兀取何值时.齐次线性方程组改A,+内.X22+.”V33=00有非玉+20+3=0零解？解系数行列式为A11D-1/1=/.12/1令D=0、得产。或石1.于是，当/u0或石1时该齐次线性方程组有非零解.4)%2y2+4q=O10.问几取何值时，齐次线性方程组2王+(31示a+/o玉+.0+(1-2)13=0有非零解?解系 数 行 列式 为1 A 2 4 I 1 A 3+2 4D=2 3-2 1 =P 2 1-A 1i i I-A|I i o i-/i=(1A)3+(i 3)4(1A)2(1 A
13、)(3 A)=(l-A)3+2(l-A)2+2-3.令 庆0,得2=0,或 在3.于是，当 及0,Q2或Q3时，该齐次线性方程组有非零解.习 题 二1.已知线性变换：xl=2yl+2y2+y3”2 =3.耳+.%+5y 3,壬=3，+2%+3 必求从变量”1.丫2,*3到变量”.丁2,”的线性变换.解 由 已 知:(2 2 1丫另)二 3 15故(3 2 3人%,%=6%+3%-7天.刈=341 +2 0 _ 4当2.已知两个线性变换X=21i+】3 人=一2乂+3%+2%,?3=例+%+5%】i二 -3二1+二23 2 二 2=1+1 3J 3 二-=2+3 二3求从二1,二2.二3至I I
14、 W,-X 3的线性变换.2 0 1Y-3(4 1 5人 01 0丫始0 1 z2-1 3大马f-6 1 3 Y-I|=12-4 9 z2(T 0 T 16人13,二 一 6=1+二 2 +3=3所以有卜2 =12=1-4二 2+9三.V3=-10Z1-Z2+16Z3(1 1 1)3.设.4=1 1 -1U-1 1J(1 2 3),B=-1-2 4求3AB LA及4 B.(0 5 1J解(3,43 24=3 11 1Y 1 2 3、1 1 1 2 4-1 1 人0 5 1Jfl 1 1)2 1 1-1U-i U8605590024 1 1 1 1 -1，一 2 13 22)-2 -17 20(
15、1 0).2、(3)1 (-1 2);2、解1 (-1 2)(2x(-1)2x 2)=1 x(-1)1 x 2,3x(-1)3x 2,、二-13/、/1131/3-O11114-%an C(5)(%M 03%人引解4%4丫%、（%工 2 43）生。2 2。23%（。1 3 23 33八 天）丁、=（7 i，X 1+71 2 2+1 3 3。1 2工1+。22丫 2+。23丫 3 1 3丫1+。2 K 2+。33丫 3）X15.设.4；B 4?）,问:V1 3）I1-7(1).止 区4吗？(2)0+3)2=/+2 A S+*吗？(3)缶+3)(月-3)二 月 2 2 吗？(1)解 ABwBA.因
16、为月3：历1=(；，所 以.物3 4(2)解(A+B)2+1AB+B2.因为月+3=6可，(叱 仔 援 翡(工 融但小一+小储卜(羽+。嗯第所 以(/+3)2 0/2+2如+32.（3）解(4+3)-*)必 2-虎因为.4+3=6 9,AB=Q 169oO/_-/21o(4+3)0-3)二O故(/+3)C4-3)W/-3 2.6.举反列说明下列命题是错误的：(1)若/2=0,则 4=0;解 取且二1，则且2=0.但 岳 0.(2)若/=4 贝口=0 或/二生解取且二缶/贝但.4工 0 且.4工 E(3)若4 事工 且,4二 0.贝 L 段F.取解则且布0.但，左V.7.设求才.1 )2A,且求
17、012o1,1OAO(A8.设月二00解 首 先 观 察2/0尤ook-70121/0200I/Ogo42-o犷龙o尤oop4 4尤6月4 =/3./二0九4中K0 0 挈szOzfoOzrk-黑-45、，产矛o矛oorzIV一一邓9 .设4 3为阶矩阵，且力为对称矩阵，证 明 也 是对称矩阵.证 明 已 知：.47 f L则(3 的？(39 4)1 3%)=3亚.从 而 配 姑 也 是 对 称 矩 阵.1 0.设4 B都是阶对称矩阵，证明.43是对称矩阵的充分必要条件是45=34证明 由已知:/&4,BT-B.充分性:4 5二 区4=4 二3,7二 二(45),即W8是对称矩阵.必 要 性:
18、(48)三必二3%丁二 二34=45.1 1.求下列矩阵的逆矩阵:解 月=q 故a t存 在.因 为解E遂竦力昨1 犯 故，7 存在.因为4*/4 1)/c o s。si n g)一6 2 4厂(sm cosOJ9所以 万二占万/c o s夕 sm。.|川 -sm u cosujfl 2-iy(3)3 4-2;(5一 4 1 J(1 2-I)解/=3 4 2.|4=2w 0,故/一1存在.因为(5-412O-26IX14-、12LJLJ124142*-34 3 J434IQ12I-1J-213/_2,-1 6JLMI以所0(W 2%W 0)q o解 A=q.，由对角矩阵的性质知0I Cln)C
19、 L X 0.4-1=o J_、6)2页空白没用的，请掠过阅读吧哈，这2页空白没用的，请掠过阅读吧哈，请掠过阅读吧，哈哈哈空白没用的，请掠过阅读吧哈这1页空白没用的，请掠过阅读吧哈空白没用的，请掠过阅读吧，这 1页空白没用的，请掠过阅读吧，空白没用的，请掠过阅读吧哈这1页空白没用的，请掠过阅读吧哈空白没用的，请掠过阅读吧，这 1页空白没用的，请掠过阅读吧，1 2.解下列矩阵方程:-ro.u解111*-1解X 二(1 4丫1 Y 21-1 V 10-11-1?)021A113o12./11o1111-4一一0263/rk1-23Toz0 1 0、(-一A01o;OOIoo_1fo1oo11oSI
20、C?OOIloozr73To70-21111zrLA7OOIlooo1o-X解loor o1AoOOI1 3.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+20+3.0=1(1)2、+20+5.0=2;3.X1+5.Y2+.X3=3解方程组可表示为解故故有方程组可表示为1 4.设f=O(才为正整数)，证明(2月)-1二 月+月 七42+.士/7.证 明 因 为.#=O.所 以-,#=又因为E-E-A)(E+A -W-1),所 以(/)(+月 2+-1)二旦由 定 理2推论知(后月)可逆.且(-/4)-1二月旬旬2+.”-1.1 5.设方阵且满足f 且 桀=0,证明.4及.4+2月都可逆，并求才1及(5+2E
21、)T.证 明 由/2_/_2=。得1-A=2E,即，（/-及）=2及或 A*-K）=E,由定理2 推论知4 可逆，且/T =t（4 项.由，2_/_2及。得f-A-6E=-4E,艮口+2与（月-3与 二 一 4月，或（/+2 4（3 5-，）=4由定理2 推论知（月+2后可逆，且（，+2）-二（3月-4）1 6.设“为 3 阶矩阵，|月 J 求|（24尸-5.4*|.解因为此#*,所以KW1-5X*H-1-5MM-II=I|-I-4-IIA r t二|-24一+（-2）3|4一 1|二-8以 1=-8乂 2=-16.1 7.设矩阵月可逆，证明其伴随阵*也可逆.且*）-1（r）*.证明 由此*,
22、得,4*=|4 4 工 所以当且可逆时.有|4*|=0|4 一 乍|4 广：0,从则N*也可逆.因为*二母，所以*尸二以尸4又且二击产-1)*二|(且-1)*,所以*尸二以】/二 以 1 阳(月-1)*=7)*.1 8.设阶矩阵/的伴随矩阵为月*,证明：若H l=o,贝皿*卜0；证明 用反证法证明.假设H*归 0,则 有，*(*尸 二 由此得/二月4*)一 1=以 0*)7=0,所以月*=O,这与以牛0矛盾，故当以1=0 时.有*1=0.(2)即二国？证明由于月一匚高月*,贝1 J4 T K H 凤取行列式得到H IH*刑.若琳如,则|4 牛 闺 T；若以上 0.由(1)知以*|=0,此时命题
23、也成立.因此以华用7.(0 3 3)1 9.设月二1 1 0 一如=4+2 艮 求 81-1 2 3 J解 由4 S=/+2 E 可得(/-2 与3=4 故-2 33=(4-2 与一/二 1 -1 _ 11 -?、，3O11330321ot11一一303312O1-1/C71020302012 1.设,4=dia g(l.-2.1),/*8 4=2 见-8 瓦 求 8解 由 A*3A=2BA-8 得(A*-2E)R4=-8,B=-8(A*-2E)=-8 及 4*-2 期-1=-8(41*-14)-1=-8(4 因-24)T=-8(-2-2A)-1=4(+A)j=4diag(2,-l,2)=4d
24、iag(i,-l,y)=2diag(l,-2,1).2 2.已知矩阵/的伴随阵,4*二且,4A4T=A+3 .求 A0008oo1oo10-31111解 由 田 目41二&得 隆z由9月 一 匚 历+3 得AS=3+34,B=3(A-E)A=3 /(月 一1)U=3(E-/*尸=6(2月_ /*尸 1 0 0-6.0 1 0-1 0 1v0 3 0-6,、0 3 0 1,oooooo00606060623.设产加二A.其中尸二仁|一;,求，4”.解 由产卬三A,得 月 二 尸A/尸，所以/=/=尸A L.住3,产=（）.片 中 二.1o-/:l-/021zrr_oI一一1XN而1A-A-121
25、-11-v11fi2 4.设，”二P A.其中尸二11故求欢4）二 月8（5斤64七4、解 穴 A)二屋(5-6八+相)=diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(l,1,25)=cliag(1,1,5 8)diag(12,0,0)=12diag(l,0,0).a 4)二 尸穴A)L书P*(A).OT-一-4=-231_VI|003ooOloo2 5.设矩阵/、3及A+B都可逆.证明/-“歹】也可逆，并求其逆阵.证 明 因 为月%+3 7+月 -1+3-1,而/-1(5+3)3一1是三个可逆矩阵的乘积，所以月一(4+5 -1可逆,即4 7+3 可逆.
26、T+3 T)T=.y1133_-3220O1oO1ooO/、70113102021001ooO算计G2解则而设 4=()，4起 B2=l-3 4即 传4)I。4 人。(A 4 4+即I。4与，以所即4 4+玛 普 孤.；X-0=与44。E43、12520204o-739o4月44一一ny-425oo o 4o-o 3-9 JOoelooo2ooo o 1、113-=11oo1o12Io o o3Jo o27.A-B=-C =D=i 0o 1.验证AC DBCA DB,解A BC D10 10 11010 12 00 2-1 00-10 00 01 00 12二601 020 1二4,而AB1C
27、 D-1|=o,故A BC DACBD.;二。2 8.设/=4 3 求团及r。；9k J解令4二3 4)7则A-G二 月-1c4=oG二o，d(喷?f-解由此得所以 4 RA；,则 ADX AD2 纥O D4,、CD+BD3 CD?+BD4,、O E)7%&AD2-OCDBD3=OD/B D产 Esp o V _(月T O c B)3 9-1 B-1)小o-5B-2A43 0.求下列矩阵的逆阵:/oOoO21520 0 8 30 0 5 20038;00252500SOoO20072152r_I0 0 8 30 0 5 2于是SoO4oO3110212111111rI2)dj-/贝O加C-)7
28、-02)IV000411A0031.40=212设Q121K解AOoO2401-21-65三题习把下列矩阵化为行最简形矩阵:234ooO1231 o 2-r2 0 3 1 (下一步为+(-2必，3+(-3)、)3 0 4 3,(下一步:电+(-1),内+(-2).)、/130212_ooO1oOzrk（下一步臼-）130211ooO1oO210ooO1oO21OooO1oO210ooO1oO-n一3（下一步臼+3.）V-P一3（下一步冷+3臼.）1J-1、0（下一步 n+（-2）2 n+臼.）OAol Jo1ooooloo/I仅 0I。234200oooooozrk一?-3 r 4 3(下一步
29、 吵 2+(-3)凡臼+(-2)介.)一7-1.20oooo-3 1、1 3(下一步:3+为，n+3)1 3)(下一步4+2.)0 5)1 3.03011o1olooooo/I(下一步:r2-3n,方-2n,n-3n)（下一步 史（-4）,归（-3）,年（-5）3、8 66oAH3435-_Tooo1ooo（下 一 步 n-3 电，3-2%）7222222-_111111ooooooA732002-20o-o1ooIXooo1ooo740108322-21x/3I2k（下一步 n-2r 2,臼-3 2 口-2泛.）（下一步 曲 2门，方-8%”7 n.）A)74o73解3234-1087149
30、-1-111298-10874287_-o1oo(下 一 步:2 2x(-1),r4-.)、y12441o11111200oooo1oo（下一步:冷+方）2140-1-1119-100O1oO1ooO从而 X=3.r=：1 I）1、o5.设月二,.4X=2X+A,求X11o11o解原方程化为0-2 助丫=4因为（,4一 2 ,/）=11ololoil-11o-TOTzrkoxlOOIo1olooy11o、/1111o10-1OT1以所6.在秩是/的矩阵中、有没有等于。的广1阶子式。有没有等于0 的厂阶子式。解 在秩是7 的矩阵中.可能存在等于0 的r-1 阶子式，也可能存在等于0 的r 阶子式
31、.例如，A=AyoooOOIo1olooA(A)=3.是等于0 的 2 阶子式,oooOOIo1o 是等于0 的 3 阶子式.oooo7.从矩阵/中划去一行得到矩阵A 问4 3 的秩的关系怎样？解 R(A)R(B).这是因为3 的非零子式必是力的非零子式.故工的秩不会小于B 的秩.8.求作一个秩是4 的方阵，它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解 用已知向量容易构成一个有4 个非零行的5 阶下三角矩阵：oo1oooTooo111111ooooo1ooooo3此矩阵的秩为4,其第2 行和第3 行是已知向量9.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:解1 0 2、1
32、1 2 1 （下 一 步 打 一 冷.）1 3-4 4.2420-4113131（下 一 步 r 2-3r,臼-n.）z i-i 2-n0 4-6 5（下 一 步）10 4-6 5.1ZZ/440矩阵的秩为2,:：=-4是一个最高阶子式.i 1（3 2-1-3-I（2）2-1 3 1 -3;J 0 5-1 -8y（3 2-1-3-2、解 2-1 3 1 -3（下一步4-2 泛-2n,方-7”.）7 0 5-1-8,/I 3-4 -4 1、0 i 11 9-5（下 一 步 方-3功.）I 0-21 33 27-15J3701oO150490410-1矩阵的秩是2.3 22-1=-7是一个最高阶子
33、式.(下一步n-2r 4,兆-2%方-3以)77500-3782805313207500-378280531320-2231/I?用7、-5 （下一步冷+3，e+2 6）0（下一步：+16%3-1 6 4）2643-_1320ooO1n6431AIXToO220031ooO71001A00220031ooOooO1/LrooO07102ToO3200O1oOrlooW=70工 0 是一个高阶子式.Too78205矩阵的秩为3,310.设/、B都是粗矩阵，证明A-B的充分必要条件是R(A)=R(B).证 明 根 据 定 理3,必要性是成立的.充分性.设氏(,4)二 五(5),则/与5的标准形是相
34、同的.设,4与B的标准形为D,则有A D,DB.由等价关系的传递性，有月3.2才2一2一1-1左1 1.设 月 二3k-3，问才为何值，可使(1)A(X1；(2)A(42；(3次=3.-Ikk-k-l0 _(l)+2(1)当心 1 时,H(/)=l；(2)当 k=-2 且上1 时,R(A)=2;(3)当上1且a-2时.火(月)=3.1 2.求解下列齐次线性方程组:+X2+2X3-X4=0为+电+电一项=0；2%+2x2+电+2玉=0解 对系数矩阵/进行初等行变换，有于是4行 产毛=_鸡4，故方程组的解为/为任意常数）.4-334-31rL左一一始/三7zf%+2丫2+$一工4=0(2)-3%+
35、6.0电一 3项=0 ;5%+10.x2+电 一 5.X4=0解对系数矩阵月进行初等行变换，有f l 2 1 -PA=3 6 -1-3(5 10 If=-2X2+X4于是富,4OOJO1O2001oOrzLk故方程组的解为2100T+左2 o（后府为任意常数）.2.+3.X2-.X3+5.X(=O3.+七+4 7.%=0.45+2-3电+6X4=O怎_ 2马+4.0 7%=0解 对系数矩阵/进行初等行变换，有MVoo1oo1oo1oo1ooo、576于是玉二0产 二0七二03 二 0故方程组的解为、二0“2 =0电二0项二0(4)3+4.马 一 5电+7%=02*-3七+3七-2七=04%+1
36、 l.x2-l 3.Vj+16 项=07%2X2+电+3.X4=0解 对 系 数 矩 阵/进 行 初 等 行 变 换，有、7.3-70-70O11-119.1-113-L79-L7OOO1oOooO4 11-13 16(7-2 1 3J于是故方程组的解为(缶，府为任意常数).13.求解下列非齐次线性方程组:(1)|4.+2毛-电=23%-坨+20=10；11%+3%=8解 对 增 广 矩 阵3进行初等行变换，有4 2-1 2 1 /IB=3-1 2 10JI 3 0 8y3 3 8、-10 11 34,0 Q -6 J于是火)=2,而火(3)=3,故方程组无解.(2)2.x+3v+z=4“一2
37、9+4二 一53x+Sy-2z=lY4x-v+9z=-6解 对增广矩阵3进行初等行变换，有n4/;=14290J28-4536一1一OonxO1oO2-cOO2O于是即l.v=-2z-ly=z+2,1 1（k为任意常数）.2x+y-z+v=l(3)711-201O/_1-2000/1（缶,4 2为任意常数）.OOO1OO+-二+蚀=1(4)*3x-2v+z-3iv=4.x+4v-3i+5 w=-2L解 对增广矩阵3进行初等行变换，有6/7-5/70 7-1/7 -1/7-5/7 9/70 06-75-7+-VV111-79-7是于（舟，42为任意常数）.6-75-700+A71-79-701r
38、r+2、/1-75-710=14.写出一个以为通解的齐次线性方程组.解 根 据 已知，可得2401与此等价地可以写成9或或12=-3电+4项%2+%=0X2+3X3-4X4=0,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15./取何值时.非齐次线性方程组相+*2+七=1%+居+.0=2.%+2+相=无(1)有唯一解;视(3)有无穷多个解?pi 11 n解 3=1 2 1 Xj i 4 司/I 1 2 尤、0 A-l 1-2(1-2).10 0(1-2)(2+A)(1-A)(A+1)2J(1)要使方程组有唯一解，必须R(4)=3.因此当加1 且&-2时方程组有唯一解(2)要使方程组无解，必须R0)
39、A。)，故(1-丸)(2+/)=0,(f+1)2工 0.因此在-2 时，方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解，必须R(N)=灭(3)3,故(1-2)(2+2)=0,(1-2)(2+1)2=0.因此当在1 时，方程组有无穷多个解.16.非齐次线性方程组 2%+2+七2要使方程组有解，必须（1，）（2）=0,即在1,石-2.1oOTTOO1Or 1oNy211211zr一一3方程组的解为4 7+1、“2 二 “3%=玉+1或,工2二 13,x=x3（不为任意常数）.当在-2 时,22-4-4-O11O2212OO O211-k一一3方程组解为,%二马+2产 2 =电+2玉二”3+2MJC *
40、2=七+2,巧二电即%二 十 1 +2（左为任意常数）.J|(2-2).X1+2X2-2.V3=117.t殳 2玉+(5 4)12 40=2|-2%-4%+(5-丸 卜 3二 一 尤 一 1问几为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解)并在有无穷多解时求解.(2-A 2-2 1解 B=2 5-A-4 2.2 4 5A /i 17-2oo oXI-4 2、1A,1 A(l-2)(10-2)(l-2)(4-2)J要使方程组有唯一解，必须五(月)=氏(3)=3,即必须(1%)(100,所以当加1且拄10时，方程组有唯一解要使方程组无解.必须H(/)0 且(1 2)(4 2)=0,所以当在10时，
41、方程组无解要使方程组有无穷多解,必 须H(4)=E(3)0 且(1 2)(4 4)=0,所以 当 在1时，方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为/1oO2002-0OQoOK或方程组的解为.“2=X20=x3+7201用+(生,用为任意常数).2 A13poO18.证明尺(4)=1的充分必要条件是存在非零列向量。及非零行向量式使力二。优证明 必要性.由R 0)=1知,4的标准形为oOoO11O、0 0 O y,1、2 (L 0,1 0),lo j即存在可逆矩阵尸和。，使P A Q=0(1,0,O),bJ或4 e 0 (1,o,O)T.令。二 尸3(1,0)。7,则。是非零列向量,是非零行向量，且胸
42、充分性.因为。与必是都是非零向量，所以/是非零矩阵,从而K N1.因为1 火(a),7?(67)=n iin l,1 =1,所以氏(月)=1.1 9.设力为m x n矩阵，证明(1)方程第及有解的充分必要条件是R(4)=z;证 明 由 定 理7,方程止扁有解的充分必要条件是H(/)=K(4&),而I&|是矩阵(4&)的最高阶非零子式，故R(N)=R(4&因此，方程止感有解的充分必要条件是火二机(2)方程 正反有解的充分必要条件是火(/)二 .证明 注 意.方 程 正 反 有解的充分必要条件是不俨二E”有解.由/诈且有解的充分必要条件是R(/乍 儿 因此，方程 如二项有解的充分必要条件是W 4)
43、=H(/f)=.2 0.设力为小矩阵，证明：若4 月 K 且五(/)二 ，则其匕证明 由八三4K得月*为二。因为R(4)=，由定理9,方程/(右7。只有零解，即P 上。，也就是用匕习 题 四1 .设 V 1=(1,1,0)5 V 2=(0,1,1)7,归(3,4,0)7,求助-及3 功+2 也 一 咚解 I，厂归(1,1,0)工(0,1,1)7=(1-0,1-1,0-1/=(L 0,-1)工3 环+2 一 旷 3(1,1,0)r+2(0,1,1)J(3,4,0)T=(3 x l+2 x 0-3,3 x l+2 x l-4,3 x 0+2 x l-0)r=(0,1,2)工2 .设 3(i-0)+
44、2(4 2+。)=5(0 升 0),求 a,其中 0尸(2,5,1,3)5。尸(1 0,1,5,1 0)5(4,1,-1,1)3解 由3 3-。)+2 3+。)=5(叶。)整理得a 二 t(3 al+为厂必)二 3(2,5,1,3)r+2(1 0,L 5,1 0)一 5(4,L -L 炉6=(1,2,3,4)工3 .已知向量组A:。尸(0,1,2,3 月。源(3,0,1,。尸(2,3,0,if;A 加 二(2,1,1,2)(0,-2,1,1)=(4,4,1,3)1证明B组能由,4 组线性表示，但月组不能由B组线性表示.证明由4750-25301A1AXI3640-O1oO1oonwx/1xy4
45、4130211211223013012所以3组能由月组线性表示.由1;OO1oO1ooOr0(4 3)=J知H二火(4 5)=3,(2 0B 二一1 1I -9 11知R(B)=2.因为R(除 R(B,月)，所以月组不能由B组线性表示.4 .已知向量组A：“E OJl)7；*(1,1,0以B:加 二(1,0,1)%尸(1,2,1),尸(3,2,-i)7；证明月组与3组等价.o111132119-11111-11ioo1o32019-0400工证 明 由 止知尺(3)=五(3=2.显然在/中有二阶非零子式，故R(,4)“，又火二(3,月)=2,所以火(,4)=2,R WR(A)=R(B)=R(A
46、,3).因此/组与B组等价.5.已知氏(。1,。2,。3)=2,氏(。2,。3,4)=3,证明(1)。1能由。2,的线性表示证明 由火(。2.。3,04)=3知能,。3,4线性无关，故。2,。3也线性无关.又由性。1,。2,的)=2知0 1,0 2,。3线性相关，故 能 由。2,的线性表示.(2)0 4不能由(11,。2,的线性表示.证明 假如。4能 由 线 性 表 示，则 因 为 能 由。2,*线性表示，故。4能由。2,。3线性表示，从而。2,。3,。4线性相关、矛盾.因此。4不能由。卜。2,。3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(-1,3,1/；(2,1,0)5(1,4,
47、210-1OO/17227240011O解以所给向量为列向量的矩阵记为4 因为-1 2 1N=3 1 4I 1 0 1 J所以R(A)=2小于向量的个数，从而所给向量组线性相关.(2)(2,3,0 9,(一 1,4,0)1(0,0,2了.解以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为一一3002140-二 2 2 w 0,所以火(5)=3 等于向量的个数，从而所给向量组线性相无关.7.问。取什么值时下列向量组线性相关？0 1=3 1,1),4 2=(1,。,一1),-1,Cl).解以所给向量为列向量的矩阵记为4 由a 1 1园=1 a-1=(-1)(7+1)1-1 C 1知，当mT、0、1 时.及(力
48、)3,此时向量组线性相关.8 .设。2 线性无关,a i+b.a汁b线性相关，求向量用ai,心线性表示的表示式.解 因 为。1+8,。2+6线性相关，故存在不全为零的数/】，丸 2使+(为+方 片。,由此得 b=-J人1十4 4十%为 十 人2 人 十 人2设c=-二。宿0,取加,冽为线性无关组，则它们满足以上条件.但分。2,，曲线性相关.(4)若1，。2,丽线性相关，加 2,一,，源亦线性相关，则有不全为0的数，4,为 人 使九1。1+一+7 =0,办加+一同时成立.解 取s=(l,0)r,。k()。武加=仁 乂历二仁乂)7；则4。1+尤 以2 4二 一 之 小，4仍 1+2力 2=A4I=
49、(3/4)42,于是4二%0,与题设矛盾.11.设加=。1+。2,方 尸。2+。3,k。3Hz4，64=。4+。1,证明向量组加,电,加,5 4线性相关.证明由已知条件得。1二61一。2,。尸 2一。3,。尸。厂。4,。4二 万4-。1，于是。1=加 一 岳+的=5厂 方2+5厂。4二 加 一 炉+办 厂。4+。1，从而 加-。2+8厂。4=0,这说明向量组加 2,%4线性相关.12.设加二万2=。1+。2,，1=。1+。叶,+%,且向量组 1,。2,，上线性无关,证明向量组b,b2,小线性无关.证 明 已 知 的 7,个等式可以写成 1 P(4,4,4)=(%勺,，%).，、0 o 17上式
50、记为3二/4 K.因为K 可逆，所以氏(5)=氏(/)=，从而向量组加，坛一，瓦线性无关.13.求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：(1)的 二(1,2,-1,4)；点=(9,100,10,4)1 a3=(-2,-4,2,-8)r;解 由(1?(%。2,3)二 _ 14知尺(1,做，。3)=2.因为向量m 与 02的分量不成比例，故。2线性无关，所以。1，仅是一个最大无关组.(2)1=(1,2,1,3),4 7=(4,1,一 5,-6),能 7=(1,-3,-4,-7).解 由4 11 _5-4 b -6-7)知R(a,a、的 小 二 尺 即，=2.因为向量。与做 的分量不成比例，故02,线