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1、关键路径（CPM）AOE网（A c t i v i t y O n E d g e n e t w o r k）,即边表示活动的网络，与AOV网相对应的是。它通常表示一个工程的计划或进度。AOE网是一个有向带权图，图1中的：边：表示活动（子工程），边上的权：表示该活动的持续时间，即完成该活动所需要的时间；顶点：表示事件，每个事件是活动之间的转接点，即表示它的所有入边活动到此完成，所有出边活动从此开始。其中有两个特殊的顶点（事件），一个称做源点，它表示整个工程的开始，亦即最早活动的起点，显然它只有出边，没有入边；另一个称做汇点，它表示整个工程的结束，亦即最后活动的终点，显然它只有入边，没有出边。
2、除这两个顶点外，其余顶点都既有人边，也有出边，是入边活动和出边活动的转接点。在一个AOE网中，若包含有n个事件，通常令源点为第。个事件，汇点为第n-1个事件，其余事件的编号（即顶点序号）分别为l n-2。一个AOE网如图，该网中包含有1 0项活动和7个事件。例如，边I,2 表示活动4，持续时间（即权值）为3,假定以天为单位，即 为需要3天完成，它以V 1事件为起点，以V 2事件为终点；边 2,5 和 2,4 分别表示活动2和a s，它们的持续时间分别为4天和2天，它们均以V 2事件为起点，以V 5和V 4事件为终点。该网中的源点和汇点分别为第1个事件V、和最后一个事件V 7,它们分别表示整个工
3、程的开始和结束。对于一个AOE网，待研究的问题是：（1）整个工程至少需要多长时间完成？（2）哪些活动是影响工程进度的关键？1 .事件的最早发生时间与活动的最早开始时间的关系在AOE网中，一个顶点事件的发生或出现必须在它的所有入边活动（或称前驱活动）都完成之后，即只要有一个入边活动没有完成，该事件就不可能发生。所以：一个事件的最早发生时间是它的所有入边活动，或者说最后一个入边活动刚完成的时间。个活动的开始必须在它的起点事件发生之后，也就是说，一个顶点事件没有发生时，它的所有出边活动（或称后继活动）都不可能开始，所以：一个活动的最早开始时间是它的起点事件的最早发生时间。若用V e j 表示顶点事件
4、的最早发生时间，用e i 表示S一条出边活动为的最早开始时间，则有e i =Vcg 2 .求事件的最早发生时间对于源点事件来说，因为它没有入边，所以随时都可以发生，整个工程的开始时间就是它的发生时间，亦即最早发生时间，通常把此时间定义为0,从此开始推出其他事件的最早发生时间。例如，如图所示的AOE网中，V 5事件的发生必须在铀和a g活动都完成之后，而 心和a g活动的开始又必须分别在V 2和V 4事件的发生之后，V 2和V 4事件的发生又必须分别在a,和a 2活动的完成之后，因 药和a?的活动都起于源点，其最早开始时间均为0,所以由和a 2的完成时间分别为3和6,这也分别是V 2和 的 最
5、早 发 生 时 间，以及2和 的 最 早 开 始 时 间，故 由和a8的完成时间分别为7和7,由此可知V5事件的最早发生时间为7,即所有入边活动中最后一个完成的时间。从以上分析可知，一个事件的发生有待于它的所有入边活动的完成，而每个入边活动的开始和完成又有待于前驱事件的发生，而每个前驱事件的发生又有待于它们的所有入边活动的完成，总之，个事件发生在从源点到该顶点的所有路径上的活动都完成之后，显然，其最早发生时间应等于从源点到该顶点的所有路径上的最长路径长度。这里所说的路径长度是指带权路径长度，即等于路径上所有活动的持续时间之和。如 从 源 点 到 顶 点V 4共有三条路径，长度分别为5、6和3,
6、所以V 4的最早发生时间为6o从源点V 1到汇点V 7有多条路径，通过分析可知，其最长路径长度为1 0,所以汇点V 7的最早发生时间为1 0。汇点事件的发生，表明整个工程中的所有活动都已完成，所以完成图所对应的工程至少需要1 0天。如何从源点V 1的最早发生时间1出发，求出其余各事件的最早发生时间。求一个事件Vk的最早发生时间(即从源点VV k的最长路径长度)的常用方法是：由它的每个前驱事件V j的最早发生时间(即从源点VV j的最长路径长度)分别加上相应入边上的权，其值最大者就是V k的最早发生时间。由此可知，必须按照拓扑序列中的顶点次序(即拓扑有序)求出各个事件的最早发生时间，这样才能保证
7、在求一个事件的最早发生时间时，它的所有前驱事件的最早发生时间都已求出。设V/k 表示v k事件的最早发生时间,V 5 表示v k的一个前驱事件v j的最早发生时间,d u t(c j,k )表示边上的权，p表示v k顶点所有入边的集合，则网中每个事件v k(O Wk Wn-l)的最早发生时间V e可由下式，按照拓扑有序计算出来。Ve(k)=0(k =0)m a x Ve j l +d u t()(IWk Wn-1,e p)按照此公式和拓扑有序计算出图所示的AOE网中每个事件的最早发生时间为：Ve(l)=0V e(2)=Ve(l)+d u t()=0+3=3Ve(3)=Ve(l)+d u t()
8、=0+2=2Ve(4)=m a x Ve(l)+d u t(),V e +d u t(),匕(3)+d u t()=m a x 0+6,3+2,2+1 =6Ve(5)=m a x Ve(2)+d u t(),Ve(4)+d u t()=m a x 3+4,6 +1 )=7Ve(6)=Ve(3)+d u t()=2+3=5V e(7)=m a x Ve(5)+d u t(),Ve(6)+d u t()=m a x 7 +3,5 +4 =10最后得到的V e(7)就是汇点的最早发生时间，从而可知整个工程至少需要10天完成。3.事件的最迟发生时间与活动的最迟开始时间的关系事件的最迟发生时间：在不影响
9、整个工程按时完成的前提下，一些事件可以不在最早发生时间发生，而允许向后推迟一些时间发生，我们把最晚必须发生的时间叫做该事件的最迟发生时间。同样，在不影响整个工程按时完成的前提下，一些活动可以不在最早开始时间开始，而允许向后推迟些时间开始，我们把最晚必须开始的时间叫做该活动的最迟开始时间。AOE网中的任一个事件若在最迟发生时间仍没有发生或任一项活动在最迟开始时间仍没有开始，则必将影响整个工程的按时完成，使工期拖延。若用V|k 表示顶点事件的最迟发生时间，用l i 表示Vk的一条入边上活动比的最迟开始时间，用d u t j,k )表示4的持续时间，则 有l i=V|k-d u t()因为活动的最迟
10、完成时间也就是它的终点事件Vk的最迟发生时间，所以a,的最迟开始时间应等于Vk的最迟发生时间减去雷的持续时间，或者说，要比V k的最迟发生时间提前比所需要的时间。4 .求事件的最迟发生时间为了保证整个工程的按时完成，把汇点的最迟发生时间定义为它的最早发生时间，即V|n=V Jn V”其他每个事件的最迟发生时间应等于汇点的最迟发生时间减去从该事件的顶点到汇点的最长路径长度，或者说，每个事件的最迟发生时间比汇点的最迟发生时间所提前的时间应等于从该事件的顶点到汇点的最长路径上所有活动的持续时间之和。求一个事件V j的最迟发生时间的常用方法是：由它的每个后继事件V k的最迟发生时间分别减去相应出边上的
11、权，其值最小者就是v j的最迟发生时间。山此可知，必须按照逆拓扑有序求出各个事件的最迟发生时间，这样才能保证在求一个事件的最迟发生时间时，它的所有后继事件的最迟发生时间都已求出。设V|j 表示待求的Y事件的最迟发生时间，V j k 表示Y的一个后继事件V k的最迟发生时间，d u t j,k )表示边上的权，s 表示Vj顶点的所有出边的集合，则 AOE网中每个事件Vj(OWjWn-l)的最迟发生时间:V U=Ve n-l(j=n-1)min V,k-dut()(OWjWn-2,vj,kGs)按照此公式和逆拓扑有序计算出图AOE网中每个事件的最迟发生时间为：V1 7=Ve 7=10V,6=V,7
12、-dut()=10-4=6V,5=V,-dut()=10-3=7V、4=V,5-dut()=7-1=6V|3=min V,4-dut(),V,6-dut()=min 6-1,6-3=3V|2=min V,4-dut(),V,5-dut()=min 6-2,7-4)=3V|1=min V|2-dut(),V,3-dut(),V,4-dut(上的活动码的最早开始时间ei和最迟开始时间li的计算公式重新列出如下：ei=Vcjli=V,k-dut()根据此计算公式可计算出A O E 网中每一个活动电的最早开始时间e i,最 迟 开 始 时 间 和 开 始 时 间 余 量li-eio列出图6-27中每一
13、活动的这三个时间。表中余量的说明:atai2a30-5%37a8&a1。e(i)0003302675l(i)00134036761 (i)e(i)0010101001有些活动的开始时间余量不为0,表明这些活动不在最早开始时间开始，至多向后拖延相应的开始时间余量所规定的时间开始也不会延误整个工程的进展。如对于活动a 5,它最早可以从整个工程开工后的第3 天开始，至多向后拖延1 天，即从第4 天开始。有些活动的开始时间余量为0,表明这些活动只能在最早开始时间开始，并且必须在持续时间内按时完成，否则将拖延整个工期。我们把开始时间余量为0 的活动称为关键活动，山关键活动所形成的从源点到汇点的每一条路径
14、称为关键路径。程的工期就是按照最长路径长度计算出来的，即等于该路径上所有活动的持续时间之和。当然一条路径上的活动只能串行进行，若最长路径上的任一活动不在最早开始时间开始，或不在规定的持续时间内完成，都必然会延误整个工期，所以每一项活动的开始时间余量为0,故它们都是关键活动。6.求出关键路径的意义可通过加快关键活动(即缩短它的持续时间)来实现缩短整个工程的工期。但并不是加快任何一个关键活动都可以缩短整个工程的工期。只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到这个目的。例如，加快图中关键活动a2的速度，使之由6 天完成变为4 天完成，则不能使整个工程的工期由10天变为8,因为另一条关键路径V
15、1,V2,V5,V7中不包括活动a?,这只能使它所在的关键路径V1,V4,V5,V7变为非关键路径。而活动ag是包括在所有的关键路径中的，若活动ag由 3 天变为2 天完成，则整个工程的工期可由10天缩短为9 天。另一方面，关键路径是可以变化的，提高某些关键活动的速度可能使原来的非关键路径变为新的关键路径，因而关键活动的速度提高是有限度的。例如，图 1 中关键活动ag由 3 改为2 后，路径 V”V3,V6,V7 也变成了关键路径，此时，再提高ag的速度也不能使整个工程的工期提前。挣值管理分析一例一 概念1 挣值管理是种综合了范围、时间、成本绩效测量的方法。通过与计划完成的工作量、实际挣得的收
16、益、实际的成本进行比较，可以确定成本、进度是否按计划进行。挣值管理可以在项目某一特定时间点上，从达到范围、时间、成本三项目标上评价项目所处的状态。2 挣值管理是以项目计划作为一个基准线来衡量：己经完成的工作花费的时间（是超前还是滞后）花费的成本（是超支还是节约）二 关键值1 计 划 值（PV）相 当 于（BCWS）：即根据批准认可的进度计划和预算到某一时点应当完成的工作所需要投入的资金。这个值对衡量项目进度和费用都是一个基准，一般来说，P V 在项目实施过程中应保持不变，除非预算、计划或者合同有变更。2 实 际 值（AC）相 当 于（ACWP）：即到某一时间点已完成的工作实际花费或消耗的成本。
17、3 挣 值（EV）相 当 于（BCWP）：根据批准认可的预算，到某一时点已经完成的工作应当投入的资金。三 常用的尺度（注意：这些取值都在同时间点上，相当于定 个检查日期进行偏差分析）1 成本偏差CV=EV-AC2 进度偏差SV=EV-PV结果：大于0成本节约状态小于0结果：大于0小于0成本超支状态进度超前状态进度滞后状态3 成本绩效指标CPI=EV/AC 结果：大 于 1小 于 14 进度绩效指标SPI=EV/PV 结果：大 于 1结果：小 于 1成本节约成本超支进度超前进度滞后四 斜 率 分 析 法（一般情况下，工程项目出现成本超支，进度落后情况较多，以此种情况进行分析，并且将S 曲线理想化
18、为直线）在平面直角坐标系的第一象限，以横轴为时间轴，纵轴为成本轴，从原点引斜率不同三条射线。斜率分别：角度为60度 Kl=1.732角度为45度 K2=l角度为30度 K3=0.57为 AC A C W P 线为 PV BCWS 线为 EV B C W P 线作一条直线垂直于时间轴，相当于定一个检查”期:CV=EV-AC小于0 成本超支SV=EV-PV小于0 进度落后CPI=EV/AC小 于 1 成本超支SPI=EV/PV小 于 1 进度滞后五举例说明某项目计划工期为4 年，预算总成本为800万元。在项目的实施过程中，通过对成本的核算和有关成本与进度胡记录得知，在开工后第二年年末的实际情况是：
19、开工后二年末实际成本发生额为200万元，所完成工作的计划预算成本额为100万元。与项目预算成本比较可知：当工期过半时，项目的计划成本发生额应该为400万元。试分析项目的成本执行情况和计划完工情况。由已知条件可知：PV=400万元 AC=200万元 EV=100万元CV=EV-AC=100-200=-100 成本超支 100 万元SV=EV-PV=100-400=-300 进度落后 300 万元SPI=EV/PV=100/400=25%二年只完成了二年工期的2 5%,相当于只完成了总任务在1/4.CPI=EV/AC=100/200=50%完成同样的工作量实际发生成本是预算成本的2倍。双代号网络计
20、划一、双代号网络图双代号网络图是以箭线及其两端节点的编号表示工作的网络图，如图所示。从下图中可以看出双代号网络图由箭线、节点、线路三个基本要素组成。双代号网络图（一）基本要素1.箭 线（工作）（1）在双代号网络图中，每一条箭线表示一项工作。箭线的箭尾节点表示该工作的开始，箭头节点表示该工作的结束。工作的名称标注在箭线的上方，完成该项工作所需要的持续时间标注在箭线的下方。如图所示。由于一项工作需用一条箭线和其箭尾和箭头处两个圆圈中的号码来表示，故称为双代号表示法。G 工作名林_。7 持续时间 j双代号表示法（2）在双代号网络图中，任意一条实箭线都要占用时间、消耗资源（有时，只占时间，不消耗资源，
21、如混凝土的养护）。在建筑工程中，一条箭线表示项目中的一个施工过程，它可以是一道工序、一个分项工程、一个分部工程或一个单位工程，其粗细程度、大小范围的划分根据计划任务的需要来确定。（3）在双代号网络图中，为了正确地表达图中工作之间的逻辑关系，往往需要应用虚箭线，其表示方法如图所示。O-一-一 二*0双代号表示法虚箭线是实际工作中并不存在的一项虚拟工作，故它们既不占用时间，也不消耗资源，一般起着工作之间的联系、区分和断路三个作用。联系作用是指应用虚箭线正确表达工作之间相互依存的关系；区分作用是指双代号网络图中每一项工作都必须用一条箭线和两个代号表示，若两项工作的代号相同时，应使用虚工作加以区分，如
22、图所示;断路作用是用虚箭线断掉多余联系（即在网络图中把无联系的工作联接上了时，应加上虚工作将其断开）。情课画法 正确前法虚简线的区分作用（4）在无时间坐标限制的网络图中，箭线的长度原则上可以任意画，其占用的时间以下方标注的时间参数为准。箭线可以为直线、折线或斜线，但其行进方向均应从左向右，如图所示。在有时间坐标限制的网络图中，箭线的长度必须根据完成该工作所需持续时间的大小按比例绘制。笳线的表达形式（5）在双代号网络图中，各项工作之间的关系如图所示。通常将被研究的对象称为本工作，用i-_/工作表示,紧排在本工作之前的工作称为紧前工作，紧排在本工作之后的工作称为紧后工作，与之平行进行的工作称为平行
23、工作。2.节 点（又称结点、事件）节点是网络图中箭线之间的连接点。在双代号网络图中，节点既不占用时间、也不消耗资源，是个瞬时值，即它只表示工作的开始或结束的瞬间，起着承上启下的衔接作用。网络图中有三种类型的节点：（1）起点节点网络图的第 个节点叫“起点节点”，它只有外向箭线，一般表示一项任务或一个项目的开始,如图所示。起点节点节点类型示意图（2）终点节点网络图的最后个节点叫“终点节点”，它只有内向箭线，一般表示一项任务或一个项目的完成，如图所示。终点节点节点类型示意图（3）中间节点网络图中即有内向箭线，又有外向箭线的节点称为中间节点，如图所示。中间节点节点类型示意图（4）在双代号网络图中，节点
24、应用圆圈表示，并在圆圈内编号。一项工作应当只有惟一的一条箭线和相应的对节点，且要求箭尾节点的编号小于其箭头节点的编号。例如在下图中，应有：网络图节点的编号顺序应从小到大，可不连续，但不允许重复。工作的结束结点j一*工作的结束结点I前 项工作一只后 项 工 作 A，一/工作的开始结点/一“工作的开蛤结点箭尾节点和箭头节点3 .线路网络图中从起点节点开始，沿箭头方向顺序通过一系列箭线与节点，最后达到终点节点的通路称为线路。线路上各项工作持续时间的总和称为该线路的计算工期。一般网络图有多条线路，可依次用该线路上的节点代号来记述,例如网络图5 1中的线路有：一一一一一，一一一一一等，其中最长的一条线路
25、被称为关键线路，位于关键线路上的工作称为关键工作。（二）逻辑关系网络图中工作之间相互制约或相互依赖的关系称为逻辑关系，它包括工艺关系和组织关系，在网络中均应表现为工作之间的先后顺序。1.工艺关系生产性工作之间由工艺过程决定的、非生产性工作之间由工作程序决定的先后顺序叫工艺关系。2 .组织关系工作之间由于组织安排需要或资源（人力、材料、机械设备和资金等）调配需要而规定的先后顺序关系叫组织关系。网络图必须正确地表达整个工程或任务的工艺流程和各工作开展的先后顺序及它们之间相互依赖、相互制约的逻辑关系，因此，绘制网络图时必须遵循一定的基本规则和要求。（三）绘图规则（1）双代号网络图必须正确表达已定的逻
26、辑关系。（2）双代号网络图中，严禁出现循环回路。所谓循环回路是指从网络图中的某一个节点出发，顺着箭线方向又回到了原来出发点的线路。如图所示。循环线路示意图（3）双代号网络图中，在节点之间严禁出现带双向箭头或无箭头的连线。如图所示。0-O0-0循线的错误画法（4）双代号网络图中，严禁出现没有箭头节点或没有箭尾节点的箭线。如图所示。o-2_3=5 3=2LFX_2=M in$2 3，L 2 4 1=M in 2,8 =2LS1_2=LF_2 D_2=2 2=04）计算各项工作的总时差：%可以用工作的最迟开始时间减去最早开始时间或用工作的最迟完成时间减去最早完成时间:TF_2=L S_ _2 ES_
27、?=0-0=0或 TF-2=L2 EF-2=2 2=0TF=L S =1-0=1TF2_3=LS 2_3 E S2_3=2 2=0TF2_4=L S2_4-E S 2.4=8-2=6T 尸 3-4 =53_4=5-5=0TF3_5=LS 3_5 ES3_5=8 5=3=L S-6 _ E S-6=11T1 =0TF5_6=LS5_6-ES5_6=13-11=25）计算各项工作的自山时差：TFi_j等于紧后工作的最早开始时间减去本工作的最早完成时间:FF2=ES 2.3 EF12=2-2=0PF ES3_4 EV7=5 4=1FF2_3 ES 3T EF2_3=5 5=0FF2_4-ES4-6
28、Ef 2-4=115=6FF3_4=E54_6-EF3_4=11-11=0FF3_5=ES5_6-F3_5=11-10=1F F.6 =Tp EF6=1616=0FF5-6=Tp-EI =1 6 7 4=2将以上计算结果标注在下图中的相应位置。II14|16|2f II I 13图 例357i 16“8卜M l l|63双代号网络计划计算实例。-216 I 16|0 又J（3）确定关键工作及关键线路。在下图中，最小的总时差是0,所以,凡是总时差为0的工作均为关键工作。该例中的关键工作是：一,双代号网络计划计算实例在下图中，自始至终全由关键工作组成的关键线路是：一一一一。关键线路用双箭线进行标注
29、，如图所示。O图 例2iT片f II I 131 2III 1 3 1 0II I 131 214 I 16|2IIII16 I 16 0米H5306571 160|o/i 2|2|O2*0CD2|8 16H ll|63双代号网络计划计算实例四、双代号时标网络计划1.双代号时标网络计划的特点双代号时标网络计划是以水平时间坐标为尺度编制的双代号网络计划，其主要特点有：（1）时标网络计划兼有网络计划与横道计划的优点，它能够清楚地表明计划的时间进程，使用方便；（2）时标网络计划能在图上直接显示出各项工作的开始与完成时间，工作的自由时差及关键线路；（3）在时标网络计划中可以统计每一个单位时间对资源的需
30、要量，以便进行资源优化和调整；（4）由于箭线受到时间坐标的限制，当情况发生变化时，对网络计划的修改比较麻烦，往往要重新绘图。但在使用计算机以后，这一问题已较容易解决。2.双代号时标网络计划的一般规定（1）时间坐标的时间单位应根据需要在编制网络计划之前确定，可为：季、月、周、天等；（2）时标网络计划应以实箭线表示工作，以虚箭线表示虚工作，以波形线表示工作的自由时差；（3）时标网络计划中所有符号在时间坐标上的水平投影位置，都必须与其时间参数相为应。节点中心必须对准相应的时标位置；（4）虚工作必须以垂直方向的虚箭线表示，有自由时差时加波形线表示。3.时标网络计划的编制时标网络计划宜按各个工作的最早开
31、始时间编制。在编制时标网络计划之前，应先按已确定的时间单位绘制出时标计划表，如表所示。双代号时标网络计划的编制方法有两种:（1）间接法绘制1 标讨-划表I I 为（时间单位）1234567891 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6网络计划（时间单位）先绘制出标时网络计划，计算各工作的最早时间参数，再根据最早时间参数在时标计划表上确定节点位置，连线完成，某些工作箭线长度不足以到达该工作的完成节点时，用波形线补足。（2）直接法绘制根据网络计划中工作之间的逻辑关系及各工作的持续时间，直接在时标计划表上绘制时标网络计划。绘制步骤如下：1）将起点节点定位在时标表的起始刻度线上。2）按工作
32、持续时间在时标计划表上绘制起点节点的外向箭线。3）其他工作的开始节点必须在其所有紧前工作都绘出以后，定位在这些紧前工作最早完成时间最大值的时间刻度上，某些工作的箭线长度不足以到达该节点时，用波形线补足，箭头画在波形线与节点连接处。4）用上述方法从左至右依次确定其他节点位置，直至网络计划终点节点定位，绘图完成。【例 5-2 已知网络计划的资料如表所示，试用直接法绘制双代号时标网络计划。网络计龙资料表工作名称ABCDEFGI IJ紧前工作/AA.BDC.ECD G持续时间（天）347525354【解】（1）将网络计划的起点节点定位在时标表的起始刻度线上位置上，起点节点的编号为1,如图所示。r-4I
33、I/S/vWW VV时间（天）1 2 3 4 5 6 7 S 9 10 II 12 13 14双代号时标网络计划（2）画节点的外向箭线，即按各工作的持续时间，画出无紧前工作的A、B、C工作，并确定节点、的位置，如图所示。(3)依次画出节点、的外向箭线工作D、E、H,并确定节点、的位置。节点的位置定位在其两条内向箭线的最早完成时间的最大值处，即定位在时标值7的位置，工作E的箭线长度达不到节点，则用波形线补足，如图所示。(4)按上述步骤，直到画出全部工作，确定出终点节点的位置，时标网络计划绘制完毕，如图所示。双代号时标网络计划4.关键线路和计算工期的确定(1)时标网络计划关键线路的确定，应自终点节
34、点逆箭线方向朝起点节点逐次进行判定：从终点到起点不出现波形线的线路即为关键线路。如图中，关键线路是：一一一一，用双箭线表示，如图所示。（2）时标网络计划的计算工期，应是终点节点与起点节点所在位置之差。如图中，计 算 工 期 心=1 4-0=1 4（天）。5.时标网络计划时间参数的确定在时标网络计划中，六个工作时间参数的确定步骤如下：（1）最早时间参数的确定按最早开始时间绘制时标网络计划，最早时间参数可以从图上直接确定：D 最早开始时间E S f每条实箭线左端箭尾节点（i 节点）中心所对应的时标值，即为该工作的最早开始时间。2）最早完成时间E F f如箭线右端无波形线，则该箭线右端节点（，节点）
35、中心所对应的时标值为该工作的最早完成时间；如箭线右端有波形线，则实箭线右端末所对应的时标值即为该工作的最早-完成时间。如图中可知：E S|_ 3=0，E F_3=4；E S 3.6=4,E F3_6=6O 以此类推确定。（2）自由时差的确定时标网络计划中各工作的自由时差值应为表示该工作的箭线中波形线部分在坐标轴上的水平投影长度。如图中可知：工作E、H、F的自由时差分别为：/居一6=1；F/4 _ 8=2；尸工-8=1。（3）总时差的确定时标网络计划中工作的总时差的计算应自右向左进行，且符合下列规定:1）以终点节点（_/=）为箭头节点的工作的总时差T P-.应按网络计划的计划工期。计算确定，即:
36、TH-EFi（5-1 7）如图中可知，工作F、J、H、的总时差分别为：TF5-&=1一 F5_8=1 4 1 3 =1TF.j_s=Tp EF?T=1 4-1 4=0TF4_S=Tp EF-8=1 4 1 2=22）其他工作的总时差等于其紧后工作,一 人总时差的最小值与本工作的自由时差之和，即:TFj=M i n TFj_k +FFj-j（5 1 8）下图中，各项工作的总时差计算如下:7 氏-7 =TF7 f+F F6-7=0 +0=0T F3_6=T F6_7+F F3,6=0+l =lTF2_5=M i n E r F5_7,TF5_S +F F2_5=M i n 2,1 4-0=l +0
37、 =lTFt_4=M i n E T F4_6,T F4_g +F F_4=M i n 0,2 +0 =0+0=0T F,_3=T F3_6+F FI_3=1 +0=17 7rL 2=M i n 丁 尸 2-3，7 2-5 1+/:77 _ 2=M i n 2,1 +0 =l+0=l(4)最迟时间参数的确定时标网络计划中工作的最迟开始时间和最迟完成时间可按下式计算：LS_j=E S TFj(5-1 9)LF_j=EFj_j+TFj_j(5 2 0)如图中，工作的最迟开始时间和最迟完成时间为：L 5,_2=ES-2+-2=0+1 =1LF2 E F_2+TFI_2=3+1 =4A S =E 5
38、1 _3+T F-3=0 +1 =1LF-3 E E 1 +TF-3=4+1=5山此类推，可计算出各项工作的最迟开始时间和最迟完成时间。山于所有工作的最早开始时间、最早完成时间和总时差均为已知，故计算容易，此处不再一一列举。投资控制某投资项目预测的净现金流量见卜一表(万元)，设资金基本贴现率为1 0%,则该项目的净现金值为()万元年份01234567891 0各年末净现金流量-50 0601 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 0解：本例因为涉及到年金当中的递延年金，所以将年金系列一起先介绍，然后解题年金，是指一定时期内每次等额收付款的系列款项，
39、通常记作A。如保险费、养老金、折旧、租金、等额分期收款、等额分期付款以及零存整取或整存零取储蓄等等。年金按每次收付发生的时点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等。结合本例，先介绍普通年金与递延年金，其他的在后面介绍。一、普通年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额发生的系列收付款项，又称后付年金。1.普通年金现值公式为：P =A x (1 +O-1+A x (1 +iy2+A x (1 +A x (1 +i)-n=x1-(1 +f)-式 中 的 分 式1一(1 +”一称 作“年金现值系数”，记 为(P/A,i,n),可通过直接查阅“1元年金现值表”求得有关的数值，上i式也
40、可写作：P=A (P/A,i,n).2.例子：租入某设备，每年年末需要支付租金1 2 0 元，年复利利率为1 0%,则 5 年内应支付的租金总额的现值为：P =AxH+i)=1 2 0 x H+l%)=1 2 0 x 3.790 8 八4 55(元)i 1 0%二、递延年金，是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而隔若 干 期(假设为s期，s l),后才开始发生的系列等额收付款项。它是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的年金都是递延年金.1.递延年金现值公式为：p =A x 1 二-乜)I )=A x (P/A,i,)-(P/A,i,s)(1)i i1 _/I I或 P =A x -x (
41、1 +i)f =A x (P/A,i,一 s)x (尸/F,i,s)(2)i上 述(1)公式是先计算出n期的普通年金现值，然后减去前s期的普通年金现值，即得递延年金的现值，公式(2)是先将些递延年金视为(n-s)期普通年金，求出在第s 期的现值，然后再折算为第零期的现值。2.例子：某人在年初存入一笔资金，存满5 年后每年年末取出1 0 0 0 元，至 第 1 0 年末取完，银行存款利率为1 0%o则此人应在最初一次存入银行的钱数为：八浦匕如”.匕”叫M x (p/4 j,)_(p/A Z s)zi二1 0 0 0 X LP+1 0%)2 _ 1 二(1+10%)1=1 0 0 0 X (P/A
42、,1 0%,1 0)(P/A,1 0%,5)=1 0 0 0 X1 0%1 0%J L(6.1 4 4 6-3.790 8)2 3 54 (元)1 _/I I-X-(W-5)或尸=1-x(l +i)f =A x(P/A,i,s)x(P/i,s)iTOOOclT l+l0%)-x(l+10%)-5=10 x(P/A10%10 5)x(P/10%5)=1000 xi3.790 8X 0.62 0 92 2 3 54 (元)三、本例的分析及解答：从表中可以看出，现金流量是每年年末的净现金流量，从第2 年开始到第1 0 年，每年年末的净现金流量相等,这符合递延年金的定义，那么从第2年到第1 0 年的每
43、年年末的净现金流量的现值要按递延年金来计算。第 0年的年末净现金流量为-5 0 0,说明是第1年年初一次性投入50 0万元，第1年年末的净现金流量为6 0万元，按复利现值的公式来计算。从本例中，建设期为0年，经营期为10年，年利率为1 0%,那么本例的投资的净现值计算为：NPV _ _(1+产 e(i+R尸=6 0 x(l +1 0%)-+1 0 0 x-2-x(l +10%)-1-5 0 0i=6 0 x (P/F,1O%,1)+100 x (P/A,10%,1 0-l)x (P/F,1O%,1)-500=6 0X0.9 09 1+100X 5.7 59 0X0.9 09 1-500=57
44、8.09 6 6 9-500心7 8.09 6 6 9 (万元)四、其他年金普通年金1.终值公式为：F4(1+z T-lF =A-式中的分式,+-1称作年金终值系数”,记 作 为(F/A,i,n),可通过直接查阅“1元年金终值表”求得i有关的数值，上式也可写作：F=A (F/A,i,n)例：假设某项目在5年建设期内每年年末从银行堡100万元，借款年利率为1 0%,则该项目竣工时就付本息的总额为：F=100 x +-1=i o o x (F/A,10%,5)=100X 6.1051=6 10.51(万元)1 0%2.年偿债基金的 计 算(已知年金终值，求年金A)偿债基金是指为了在约定的未来某一时
45、点清偿某笔债务或者积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。它的计算实际上是年金终值的逆运算。(1+i)1式 中 的 分 式 一-称 作 偿 债 基 金 系 数”，记 为(A/F,i,n),可通过直接查阅“偿债基金系统表”或通过(l +i)n-l年金终值系数的倒数推算出来，上式也可写作：A=F (A/F,i,n)或者A=F 1/(F/A,i,n)例：假设某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。若存款年复利率为1 0%,则为偿还该借款应建立的偿债基金应为：A =1 0 0 0 x-些 =1000X 0.2154=215.4(万元)(1+1 0%)4-1或A=1000X l/(
46、F/A,10%,4)1=1000X(1/4.6 410)=215.4(万元)3.年资本回收额的计算(已知年金现值P,求年金A)式中的分式-称 作“资本回收系数”记为记为(A/P,i,n),可通过直接查阅“资本回收系统表”或i-a+z)-通过年金现值系数的倒数推算出来，上式也可写作：A=P(A/P,i,n)或者A=P1/(P/A,i,n)J例：某企、业现在借得1000万元的贷款，在 10年内以年利率12%等额偿还，则每年应付的金额为：A =1000 x-=1000 X 0.1770=177(万元)1-(1+12%)-10或 A=1000Xl/(P/A,12%,10)1=1000X(1/5.650
47、2)=177(万元)即付年金即付年金，是指从第期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金，它与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。1.由于付款时间的不同，n 期即付年金终值比n 期普通年金的终值多计算一期利息。因此，在 n 期普通年金终值的基础上乘上(1+i)就是n 期即付年金的终值。.,r(i+o,+i-i/F=A x-(l+z)=A x-1i|_ i式中严T-l 称 作“即付年金终值系数”,它是在普通年金终值系数的基础上，期 数 加 1,系 数 值 减 1i所得的结果。通常记为(F/A,i,n+1)-1,这样，通过查阅“元年金终值表”得到n+1期的值，然后减去1便可得对应的
48、即付年金终值系数的值。上式也可写作：F=A(F/A,i,n+1)-1例：某公司决定连续5 年于每年年初存入100万元作为住房基金，银行存款利率为1 0%则该公司在第5 年末能一次取出本利和为：F=A(F/A,i,n+1)-1=100X(F/A,10%,5+1)-1=100X(7.7156-1)=672(万元)2.山于付款时间的不同，n 期即付年金现值比n 期普通年金的现值少折现一期。因此，在 n 期普通年金现值的基础上乘上(1+i)就是n 期即付年金的现值。八，i-(l+i)-n z,.、,1 (l+i)YDP=A x-x(l+z)=A x -;-+1i|_ z式 中1-(1+)1,111+1
49、 称 作“即付年金现值系数”，它是在普通年金现值系数的基础上，期数减1,系数值加i1 所得的结果。通常记为(P/A,i,n-1)+1,这样，通过查阅“一元年金现值表”得 到 n-1期的值，然后加上1便可得对应的即付年金现值系数的值。上式也可写作：P=A(P/A,i,n-1)+1永续年金永续年金，是指无限期等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。存本取息可视为永续年金的例子。也可将利率较高、持续期限较长的年金视同永续年金。由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。公式为：例：某人持有的某公司优先股，每年每股股利为2 元，若此人想长期持有，在利率
50、为10%的情况F,请对该股票投资进行估价。这是一个求永续年金现值的问题，即假设该优先股每年股利固定且持续较长时期，计算出这些股利的现值之和，即为该股票的估价。P=A/i=2/10%=20(元)五、名义利率与实际利率的换算当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫做名义利率，而每年只复利一次的利率才是实际利率。公式：i=(l+r/m)m-l式中：i 为实际利率，r 为名义利率，m为每年复利次数。例：某企业于年初存入1 0 万元，在年利率为1 0%,半年复利一次的情况下，到 第 1 0 年末，该企业能得到多少本利和？依题意，P=1 0,r=1 0%,m=2,n=1 0则：i=(1+r/m)m-l=i