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1、a2 ab,2 2 16、4 1 -1=2*1*101+2*(1)*202+1*4*199 2*(1)*199 2*4*1011*1*202202 199 101=202 404+796+398 808 202=7 81 X X8、x 2 x=l*2*3+x3+x3-x2-3 x2-2 x2=2x3-6 x2+6x x 31,n-a -b-a b ah-Gab b2cos a -sin a 2 22、-cos a-cos a -(-sin a)-sin a =cos-a +sin-a -1sin a cos a3、a+bilaba-bi=(a+bi)(a-hi)-lab-a2+h2-lab-(
2、a-h)23 2 Y4、2 1 -2=3*1*(3)+2*(2)*5+(T)*4*2 3*(2)*22*4*(3)-(Y)*l*5-4 2-3=-9-2 0-3 2 +12+24+20=-51 2 35、4 5 6=l*5*9 +2*6*7+3*4*8-1*6*8-2*4*9-3*5*77 8 9=45+84+9 6-4 8-7 2-1 0 5 =01 w7、M 1w w22卬第2行+第1行x(M)cw0一行-第1行x(-w)cW1-IV3 102W卬3=(1 3)2=(1 _卬)2(+卬+层)2=01-w29、0 00 00 44 30 44 33 22 1按第1行展开（-1）4004043
3、432=-43=-25610、公式：0（）a 。1 24“1 10 00a220=0%“2=a2a22 1 1 10=4。2 4”,00 ann0 0%,ana“2 1 ann001%a,n-4.0 0%0a2,n-0a2,n-00 a2,n-a2.n(一1).二=(T)2 品%00%00%00 01 00 0 0 100 20 00 0 2 0解：08 00 0按第10行展开（-1严+110 a 0 8 0 090 00 09 0 0 000 00 109(1+9)=10(-1)22 89=10!12、该行列式中各行元素之和均为10,所以吧第2,3,4列加到第1歹U，后三个元素化为零，再对第
4、1列展开，即1 2 3 41 2 32 3 4 11 3 4=103 4 1 21 4 14 1 2 31 1 2=10*16=1604第2行-第1行1 2第3行-第1行10U 1n o,第4行-第1行3.0 一 1然后再把第1列1 3、=-75 0 4 21 1 1 11 1 1 1-2 1 01-12 11-12 10-2 1 0第1,阴亍交换-3 -2 -44 12 0二4 12 00 -3 2 T-1 -5 -31 1 1 15 0 4 20 -1 -5 -31 4、先将第1 行与第5行对换，第 3行与第4行 对 换（反号两次，其值不变）根据课本2 0 页 公 式（1.2 1）,原式=
5、3 6 5 641 1 1-12 5 4 532 5 4 53 6 3 42=25 4 62 5 4 653 6 3 41 1 1-1-13 6 5 62-11 1 1-1-11 1 130 3 2 7 50 3 25=0 3 2 8 7=0 0 020 3 0 7 50 0-240 3 2 9 70 0 01-1 -17 51 20 02 20-20=3*(4)=一1 21 5、1 2 03 4 00 0-10 0 53=(2)*(1 6)=3 211 6、1 2 3 4 5 1 1 1 2 3 46 7 8 9 1 0 6 7 8 90 0 0 1 3 第 3,5 行对换-0 1 0 10
6、 0 0 2 4 0 0 0 20 1 0 1 1|o 0 0 11 7、根据课本2 0 页 公 式（1.2 2）0 0 1-10 0 3 00 0 2 412 4 02 10 =(-l)2 x3 3-1042=1 2*(-5)=6 01=-1 0*2 =-2 0321 103202023 12 5 81 0 01 8、闺=1 2 0 =1*2*3 =3!,1 2 30 0 0 0-108=0000-40-30-2000 5(5-1)0=(-1)(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)=-5!0-5 0 0 0 0所以*A=(1)3*5|AII8I=3!5!B 019、证:q+4%+4 Ga2
7、+b2x a2x+b2 c2a3+b3x a3x+b3 c3q+3 b c=(1-x2)a2+b2x b2 c24+gb3 c3第2歹U x*第1歹1 J%+3 6/1-x2)Ga2+h2x h2(l-x2)c2a3+byx/?3(l-x2)qax bx c第1列-x*第2列(1-x2)a2 b2 Q=右%么c31 +xa 120、左=111 1 11+X 1 1 1第2行-第1行l-x 1 1第3行一第1行 X X 0 01 1 +y 1AA，一 小，一-X 0 V 0第4行-第1行1 1 l-y一-x 0 0-y一x x 0l+x 1 1按第4列展开(-1)及4.1.-x 0 y+(_ 1
8、严(_y)-x -x 0-x 0 0-x 0 y=-x2 y-y -(1+x)xy+9 犬=-x2y-y(-x2y-*2)=0 2=右1 1111121、左=a b/b3b-ac30 b3-a3 c3-a3c-ab3-a30 b-ac a=1(h a)(c a)(c+ac+a)一 (c a)(b +ah+)=(b-a)(c-7)()(&-a)可以看出,Mi 2-(a b+bc+ca)M ,a2b2c2a3h3c3=(a b+h c+ca)a2b2T.得证.即111111ab2 3、-a c-bd -a be d10 2aa 0 2 1a 0 2 12 0 b o第1,4 列0 0 8 2第2
9、附5 c 4 3a 0b 23 c 4 5对换5 c 4 3对换0 0 b 25 c0 dJ 0 0 00 0 0 J0 0 0 J24、a-1001b-101 0=a-1 c 1 +(-l)2+1(-l)O0 0c 1 abcd+d+b)+cd+-1 d=abed+ad+ah+cd+1 -ab(cd+i)+ad+cd+i-(ab+)(cd+V)+ada2(a+l)2(a+2)2 m+3)2第2歹 U第1歹（j2a+14。+4 6。+925、b2 3 +lf(b+2)2 S +3产第3列-第 1列2/7+l40+4 6b+9c2(c+1)2(C+2)2(C+3)2第4歹 U 第1歹 U2c+l
10、4c+4 6c+9d2 3 +1)2(4+2)2(d+3 fd22J+14 d+4 6 d+9第3列一 2*第2歹第4歹 一 3*第2歹“Id22a+l 2 62b+l 2 6=02b+2 62b+l 2 6127、26、abcbcacabh+cC+Qa+b2221第4行_；*第2行第4行_ g*第3行ab111000%0 0/7,q 0 0a h 0a2 b2 0 第2,4列0 0 b2 a2第2,4行&a4 0b3 a3 0 对换0 0 a3 b3 对换0 0%0 0 a4为 0 00 0 b2仇 tz3a4 b24a2=(a”-bb4)(a2a3 一她)qooq%bcc0a0ab0012
11、22212222222 22第2行-第 1行 1000028 22322.第3行-第 1行 10100222 n-l2第n行一第1行 100 一 30222 2n100 0n-20 2 2第1行一第2行1 0 0第3行一第2行0 0 12 20 00 0第n行一第2行0 0 00 0 0按第1列展开 一 3 00 n-22 20 0 =2(/?2)!n-3 00 n-2(-1)2+|2200010029、+1阶范德蒙行列式的计算和 阶范德蒙行列式的计算是类似的，只需将阶范德蒙行列式的“换成+1。本题中七=。-i+l,i=1,2,n+1,根据范德蒙行列式的计算公式知,原式=n(X1 )l Ji为
12、（+1）阶范德蒙行列式,1%an+7由公式得4原式=（4生”0+i）nai ai）nq+i）aiai-=（卬生 nl j n+l他又 n a-ai=（劣+四）（4+2）,（a“+M i）（4+避）1 4 jin+（/qXa 3a 2）他 ）=（4,%）”所以，原式=（4%+i）n（a也一勺）ji=4 b3 4、设直线方程ax+by+c =0,由于直线过点（，弘）,%），所以a%+6%+c =0，a x+by+c=0+b 2+c =0。问题转化为求齐次线性方程组。玉+2 y+C=0中不同时为零的。，ca x2+by2+c =0满足的条件。因此根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：系数行列式等
13、于0,可得x芭x2y 1为 103 5、由已知条件,得f(一/+%=0/(I)=%+4 +/+3 =4/(2)=即+2 +4 a2+8%=3/(3)=a0+3 +8 2 +2 7%=11 6其系数行列式D =1111-11231149-1182 7第2行-第1行第3行-第1行第4行-第1行-12341038-1292 8234038292 82*3*41110121372 =2 4*2 =4 80431 6261 22 4*1 4 =3 3 6-1182 7第2行-第1行第3彳 亍 一4*第1行一第4行-9*第1行1000-1261 20431 6-121 23 611A 110431 611
14、49-1 1第2行一第1行；第3行 第1行:,第4行一第1行;0431 61038-1292 8431 6038292 84 0 2第4行一2*第1行3 3 9028 2 4587,0,a2_0，CI,=1 D4 1 0 23 =2*3*4 1 1 11 6 1 2 4所以,一D牛二-5/吟所 以,/(X)=7-5X2+2X3补充题:36、当”=1 时，左=1+。,1 +q 1 1(1)证：记。“二1 1 +4 11 1 l+a右=(1H-)%=1+6(,左=右，等式成立。1设 =%一1时等式成立，即1 +4 1 -1Di-1 1 +的,-1=(k卜-1 A nk-,l i=l ai 7/=1
15、1 1,1+ak-当=女时,111a2 0 0,0 a-,0(-1)a(-(-l)-1+akDk_0 ak-=(-1严%|k-=火。2a31 )T+4，i+Y l i=l ai J%|(1、k (k|A k+1+E ,!q =i+zak I(=1 ai J i=l I 1=1 ai 7 i=l所以，结论成立。略.(3)由中过程可得。,+q a 2 a 3 4T，所以D“=a“D.i+%a2a3 =a,2a3 a-an-一=an%D吁2 +aia2a3an-an-+一l I a,J(1 1 ,=a“a“T(4TO”-3+2a3 4T)+aM 一+一S t an)f l 1 1 =aan-an-2
16、Dn-3+2a3 a-2a-ia -+-+W-2 an-l an)(1 1 1.anan-+避2。3 一 an-2an-an +.+a2 “3 a”,八、(1 1 、=怎能-1%(1 +6)+qa2a3 an-2an-ian 一 +一 +一W 1?|F n；=i a；i=i7(4)-一 般解法:1 +。11 1第2 行-第1 行1 +q11l+a2 1第3 行一第1 行aC l y11 1+4第n 行-第I行一q01 +1+-!-a-.1 1第1 夕|J+第i 列x au2%0，q 0(i=2,3,，n)100 0/%=(1+H-+L)6t2 a2 an=(q+)a2-ana a2 an=(1
17、+)a1a2-aa a237、解 法1：左边=证明由性质3,得x+R,将R的 第1列乘以L加到第2歹U，再将第2列乘以,加到第3歹将第一1列乘以LXX X加到第列，得x 0 00 x 0：0 0 0 00 0 0Ua 2 +a 2 +也+“.n 十 2 Un-2X X X x 0.-c2+n-3,H-F+%2 n-1.+n-2-r 4-a人 人 人人 人 人=ann +-xia ty,+F xnz 2a.i+兄=，ka,x,lkk=l所以左边=炉=右边。k=l解法2：注意到2=x +%,0,按第一列展开，得x-1 000 x-1D=,0 0 0a“4-i *0、屹i+(-l)2 (-广-1 x
18、+ai+a,=X(XD,_2+a,)+4 =x2Dn_2+a x +a,=Y (x，,_3+2)+a“=V O,i +-22+-I*+4依此类推D=,=X T R+Z%x k=2.=x T(x +6)+3&=2+七wk=i3 8、解法 1：-14-1a.a,-x2+与+”+qx x0000 xo o o%0 x0000 x000 x券+00000第-1行+-X第n行x 2第一2行+x 第n-1行1第1行+-X第2行x%X-3 x -4H-F%Xx000 x0000000 x0000.V=X+.+g+qx -2 x2 x n 3 M 2 1 i=%+%_/!F a3x +a2x +cixk=解法
19、2：按最后一行展开（思路类似于3 7 题解法2）D“=4 +x(i+x Dn_2)=%+.1%+x2Dn_22an+an_x +x-S“-2+x D ,3)=a +an_,x +a -2x2+x3)_3a +a X+a +x,?1D,n n /i-z z i2n 2 ii_1 1 k。时2%-i-a2x +x a=/akxk=cos。11 2cos。139、记 =.1 2cos。1cos。11 2cos。1Dn=(2 cos 1证 法1 (归纳法)：,按第列展开，则12 cos。=2 c o s e o,T 2-22cos。11 (n-l)x(n-l)当几=1时，）=cose=右，等式成立;假
20、设当女时，等式成立，则2=co sza2 T=co s（k i）e；当鹿=氏 +1 时，Dk+=2 c o s Dk_=2cos6-cosk0-cos(k-i)0=2 ；cos(k+1)0+cos(左 一 1)。一 cos(k 1)。=cos(k+)0得证。证法2(递推公式法)：Dn=2cos 6“_ 一 “_2=(cos 3+i sin 0)+(cos 0-i sin)Dn-Dn_2 根据式有Dn-(cos 0+zsin 6)Dn_=(cos 8-i sin 3)Dn_1-Dn_2即 Dn-(cos 0+i sin Dn_=(cos-z sin 6Dn_x-(cos+z sin Dn_2 根
21、据式有Dn-(cos 0-zsin 6),“=(cos 0+zsin 6)Dfl_1-Dn_2即 Dn-(cos 0-i sin 0)Dn=(cos/sin)Dn-(cos 0-i sin 0)%令 Xn=2 (cose+isin6)D“T,则式化为Xn=(cos。一isin0)Xn_x=(cos0-z s i n Xn_2=(cos0-z s i n X2=(cose-isine)-)2-(cose+isine)Z)=(cos0-i s i n-2cos?0-(cos0+isin6)cos=(cos8-isin 6)?(-sin2 8-isin cos6)=(cos 6 i sin(9)2
22、sin 6(i sin 夕 一 cos 6)=-i sin 6(cos 6-i sin 6)”=-z sin 6 c o s(n s i n(一 1冽令 工=0“一(cos6 isine)，i,则式化为Yn=(cos 0+i sin 6)匕 一=(cos 0+i sin Yn_2=(cos，+i sin 0 Y2-(cose+isine)-(cosd-isine)。=(cose+isin。)Zcos)e-l-(cos6-isine)cos。=(cos，+isine)”(-sin?e+isin6cos6)=(cos0+isin0)/sin6(isin8+cos6)=isin(cos0+isin
23、6=i sin 0 cos(n-1)0-i sin(n-1)所以，Y x=2 i s i n e-Dn-=sin-2cos(n-X)6所以，。,”1 =cos(n-1)。所以，Dn=cosn0._5 2 33 2 5 240、4323-129-22721T45523710520-1-75-20-135212724-1452575335x30010-552751 5-10024035x300 20-9524135-1000-55(-1)4+1(-1)-100-952247540135-551 4535x3001520075-35-15135x300(-D，+224515-35_-2 x l/5
24、-35-15 35x300 1 -1 2x 15.,.cu、(-45+35)=35x300135=(T 尸(T 一 (-D=(一 1 尸(+1严41、111 1 1 一 7第1行-第2行第2行-第3行。00 -1+-n01-n n-1-1-1:第n-1行-第n行1 +一-1-n1 0 101第-1列+第 列第-2列+第-1列000-0 0-1-71-1-n0第1列+第2列0-1-1-n n-1 0 201（”一1）n(n+)42、解 法1：将 第1行乘以-1加到其余各行，得%+4 a2%4 4 0原式=4 0 Aj一4 o ooo4再将第2列 乘 以 上，第3列 乘 以 上，.4 4第n列乘以
25、上均加到第1歹U，得A1原式=q+44+丁4+a20%0 0o4000o o 儿=4 兀）4 1 4-+,+1 z n 1 1（n （n n=ri2/i+E；V j=l 7 1=1 多 7、%y,4+4 24+4,所以，D”二4%4,+4，i%+4%4 4 4,+A2D_2=4 +4a2叼4 4 +4 4。-2=%/12y,+42卯4&+4&-Q=。|4 4，一4 +4。24,4，-&+,+4，41（。+用）4 4+44-4+4/4 4（=力山+立4）=1 k=k=l丘，74 3、解 法1：各行元素之和均为1 +2 +3 +=迎 上D,把各列元素加到第1歹U，得2121212=2223 /?-
26、1n(+1)34 n1 1 2 3 n-n1 3 4 n 1/?(+1)45 ,12 1 1 4 5 1 2=/(+l).2.,1 n 1 n-3 n-2/?(+1)n1 n-3”2 1 1 2 n-2 n-1/?2n-121 /八2 n(n+1)从最后一行起，依次减前一行，得(+1)D=1n(n+l)123 n-1n011 1-n011 1-n1011-n.1101-n1 1111 11-n11 1 -n111-n 11-n1 11(/:-1)x(n-l)第一行乘以-1加到其它行,得11 11-n00 nn0-n -0n-n0 0n(n-l)x(n-l)D+再将各列加到最后一列，得D”=；(
27、+1)10101-n-100-n-n00000(“-1)x(-1)=；(+l).(1)(一1)(一2)2 (1)(-尸(-1)丁百44、将该行列式添一行，并加一列,使之成为n+1阶范德蒙行列式，即1111y匕MX：2X；T%X；T广2y 0 Ty（1）=(y-x j(y z)(y x.)n(x,Xj)(2)jin由（1）式可见，将（1）式按最后一列展开，其 yi 的系数就是原行列式。，的值乘以-1；又 由（2）式可见，y 的系数为）（七一X/），1 jin所 以 原 行 列 式 的 值为。“=&+再+Z）n（为-弓）=n（%f）1 5 jiiin|j.i一%)2=,=(X +y2)-2XQX-
28、2yay+x0 +y02-f=0,则可设圆的般方程为。(/+/)+/+0 +4=0,其中。工0。点P(x,y)、(X，x)、(,为)、匕(%3，%)的坐标满足该方程，则有6 Z(X2+y 2)+bx +c y+d =0。(尤；+y；)+bX+c)i +d =03%3 3 1这就是圆上动点P(x,y)所满足的方程。4 7、设平面直角坐标系中直线的一般方程为a x+by+c-Q(1)三个点位于该直线上时，其点的坐标满足方程，即时+如+c =0 +c +J=0l+l+l+a+6-c+d=01 +1 +1 +a-匕+c +d=Ol-a +d-0即a+0 +c +d =-3a+bc+d 3a-b+c+d
29、=-3a-d -方程组(1)的系数行列式为D1111110111 111-110所以方程组(1)有惟一解a-311-3-31-11100110 0-2 00-2 000-2 00-2-2 0-10-28*0“AMW其中111按第4行 展 开-11 11-1 1+(1)-3-3111-81 1-311 -3 1 11 -3 -1 1D2,=1 -3 1 1=0 （第 1,3 行相同）1 1 0-11 11 0-3 1-3 1=0 （第 1,2行相同）-3 11 -111111-101-110-3 0-3 =01 000 =-1 64于是即得，a=，=l,/?=c =0,d =l=28 8所以该球
30、面的一般方程为X2+/+Z2-X-2 =0所以球面半径R =|,球心坐标(；，0,05 0、这里不仅而且。7 0,6 工0,如果匕=0,a x0,则方程组显然有惟一解，且x,=(z =l,2,-,2 n).a该方程组的系数行列式a ba bD=a bb ahaaabab第2n行+第1 行x j j笫2n行+第1 行第2n行+第 1 行x（，）0力 aa所以方程组有惟解。由 第1个方程和第2 n个方程，有a，x,+bxltl=1,得再bx+ax2n=11 b1 ci _ a-b _ 1a b a2-h2 a+bb aa 1b 1 a-b 1 nri 1 9 T=，即 X =Xj.=；a b a-
31、b a+b a+bb a同理，由第2个方程和第2n-l个方程可得X2=X2,=一a+h由第n个方程和第n+l个 方 程 可 得%=x,M =).所以该方程组的惟一解为a+hx.=，j =1,2,+1,2J a+b211、12200200-20、（A/）=2 022012302-200120010 2-202123202123110112220/222070 0 20 03 I1A2 1 21 2-22 0 0-20 0321 10 20000002032332；,BV20330ij2X3-x4-3解 得 x2=2=22 x,-2X4=0%）-2X2+3X3-4X4=4x2-x3+x4=-3x1
32、+3X2一3X4=17%2+3工3+4 =-3 1-2 344、1-2 344、q-2 344（A,b）=01-11-3T01-11-3 01-11-3130-3105-3-7-30 02-1 2 1 2、0-7 31一3)、0-731T）000-1 6 0-16X4=02X3-12X4-12 X3 +X4 -3x,-2X2+3X3+4X4=4解 得%=0 x3-6x2=3=-83 00-1 02 42 71 1-2 7-3 0-1 1 2 93 1Tq00-1 02 431 1-2 7-3-1 1、2 92、51-25 ;、05 1-5 7 6 0,、o5 1-5 7 6 0,1 -1 0
33、1 1-1 1、/-1 0 1 1-1 1、1-1 0 1 1-i n00-31 300-3 1 303-32TTT03-3203-3200-3 1 3、00-62 6)1 0000 )、000，-3X3+1 3X4=03X2-3X3+2X4=0%,-1 0 x2+1 l x3-1 l x41 1,取4 =Z ,则x3 k,X 0.303,3 -解为h k）,人为任意常数.5 1P2JP1 P P2 0 1p 1 p 0 p-l1 1 1)t l-ppl-pl-p?P2P-P KJ11P p-T 0 p-1 l-p P P2、0 0(l-p)(p +2)(l-p)(l+p)分情况讨论:1)无
34、解(1 p)(p+2)=0但是(l p)(l+p)2 Ho时无解，即p=-2.2)唯 一 解|4卜0即L(p l)(l p)(p+2)w 0,解得p H1且p H-2.此时的解为/、2、p+1 (+1)p+2 p+2 p+23）无 穷 解|A|=0,解之有p=l或者p=2（舍）.故p=l,所以解为（1占一心，匕，心），其中占，与为任意常数玉3%2-6&+214=-x-x2-2X3+3X4=0 x+5X2+10 x3-x4=q3x,+x2+pxy+4X4=1讨论:1-3-6 2-P1 -3-6 2-1、1-1-2 3 00 2 4 3 1(A7,b)/=1 5 10-10 8 16-3 q+13
35、 1 p 4 1 ,、0 10 p+18-2 4,1 -3-6 2-1、1-3-6 2-1、02 4 110 2 4 1 1Tf00 0-7 q-30 0 p-2 -7-1、00 p-2 -7-1,-1 0 0 0 -23 )I1 0 01 4-4 0 07133x+y+z=1 0 0还原为方程组有,1 4 =2 j +2 =4 0 033 y+7 z =6 0 0 x +y +z =1 0 0=7 x +4 y =1 0 0.x =0,y =2 5x =0,y =2 5,z =7 5从而，x =4,y =1 8x =8,y =1 1继续求解z，x =4,y =1 8,z =7 8x =8,y
36、 =l l,z =8 1得到4x =1 2,y =4x =1 2,y =4,z =8 49 设 4=0、（30、2 1则2-1J12 A2、40、-2J,3 8 9、3(22 A-3 B =1 4o)(4 0、6 j 1 3 1 J0 J-7 0、6 r I1-8/(1AB-B A =1 20 Y3 0 (3-U U 2 厂 1o V i2 20、3、50)(3 0 _ 0 0、-2 厂 J -2)=1 0,31 0 4=2J1 f1 11 2 ,B=2 -12 3；1101、0L，3 1 1 1 1-10-21 222 3、-2 1003122 -1(1,-1,2)1 14 2ama3、4
37、J0、-38一3、-71 5 J3 -(9,2,-1).b、mbab%1、ab)a2022r o0、00J*勾2乂，.一，工。加%i=ia“21 6(6 fH+22)X；+(卬2+2 1)XIX2-。2 an。21 22。2n 、0 0 0,18192022(a2 a1 22 a222a n?%2 q +Z?jJ3aC3a2打C2c)0、00 J出-2。+b)C2%-2%+byq、7aq%C4、7。也1LM如a2bI?a 2b 22a2n2LLLL,瓦、a%a%)42 _6 一 x.A:bti=1 (i =1,2,L ,几)力 寸=0aw、723、本题 是 求 个 矩 阵 n 次基的题目,次痔
38、后的通项公式！以0 1-1 0、为例。=1%牛 0(i 、-1 0)tT于是我们发现，0、/A=A,即万=4当 n=4k 时，An=A=(A4)=(/)=I14k九cos-2,4k兀-sin-2,4女 )sin-24k兀cos-2；当 n=4k+l 时，A =A*=A4kA=1A=A=(42+V)7 T1、cos-1|=20;.(4k+1)7 T,-sin-I 2.(4攵 +1)%、sin-2(4k+1)乃cos-2)当 n=4k+2 时，A =A兼+2 =A奴用=/(_7)=_【二-I00-1、7(#+2)T Tcos-2.(4l+2)/r-sin-2.(4:+2)乃、sin-2(必+2)%
39、cos-2)当 n=4k+3 时，A=A耿+3 =A软 A3=M3=-A0-P(软+3)cos-2.(4女+3)乃-sin-2.(必+3)万)sin-2(44+3)乃cos-2)所以它恰好可以写成0 1-1 07n7icos2.nrt-sin 2.兀、sin2%cos2),、cos*sin。一sin。cos。，可以采用相同的方法!24(1)(A+B)3=(A+B)(A+B)(A+B)=(A2+AB+BA+B2A +B)=屋+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2 A+B3即条件：A,B可交换.(2)(A+B)(A-B)A2-AB+BA-B2 A2-B2即条件：A,8可交换.2 5 (1)
40、A(B +C)=A B +A C =B A +C A =(B +C)A A（BC）=（A8）C=（BA）C=B（C4）=（BC）A.2 7设5=*%,满足A 8 =6 A则E x j玉。1限/王X4i n八，即0 1 Jxx+x3 x2+x4yX+x2d3 W+Z、7整理有鼻+3 4=3 4，x,+x2=x2+x4,从 而 七=0,xt=x4.满足要求的矩阵为2 8所求即是与1 21 -2*2、为任意常数可交换的二阶矩阵，设此矩阵为，有须、71 21 -2、不42J7、j),也就是只有可能与 w 0(i j 时，吗=Z。,%=E aikak)=，&=1 k=i+i j 时，=工a*%=E*%=
41、1 i k j)B 也=l(i=l,2,L=0(f j)i j,gj=0.i=j Cii=X aikaki=；=1 故乘积仍是主对角元为1的上三角阵.2 00 1ABT5、3-2-1、-4 24-If5%A l=-2 4 L J3(一3BBT+ABT=1-2-24200、b13 6(-196 5)+-l34=2,8-32,0-2、0(-6 3、5-2J22025、38、22,-24-2、03 4 数学归纳法1)=1 成立2)若=k时成立，则下证”=左+1 时结论也成立.(A 4L 4 J=(A 4L 4)4 J=A(4 4 L 一 小 邛所证成立.35因为48均为对称阵，有 A T=A,B T
42、=8.故(A +B)=4 7 +8 7 =A+6,所以A +8为对称阵.而(A 2 8)，=Ar 2 6,=A 2 8,故 4 2 8 为对称阵.3 6 证明：(1)(A +A)=4 +(4 丫 =A +A =A +A.所以A +A，是对称矩阵.(A-)=丫=一 4 =一(A ).所以 A -是反对称矩阵(2)A =g(A +A )+；(A 4)由上面的结论知A +A，是对称矩阵，A A7是反对称矩阵，从 而;(A+A)是对称矩阵，是反对称矩阵，故 A可表示为对称矩阵和反对称矩阵的和.3 7 n(A 8)=A 8,故(A B)=8 A =A 8,所以 可交换.。若 4 8 =8 4,又4=4,
43、8 7=氏有4 8 =8 4 =/47=(7 1 8),4 8 为对称阵.3 91）（Ay=（A4A），=AT/V 为对称阵。=（BB-B）T=BrBr-Br=（-B）=（-1/Bk,当人为偶数时中为对称阵，k为奇数时次 为反对称阵.2)(AB+BAf=(A B f+(B/l)r=BTAT+BT=-B A-AB=-(AB+BA)AB+8 4为反对称阵.40、(a b V 8 8a-56-4a+3 b y(1 0、dJ1-5 3)18c-5d 3 d-4c)、0 1?3 5故 8c=5d,4 =3b,8a 5Z?=1,3d 4c=1.解得。=,b=l,c=,d=2.4 412z(2)cosa b
44、。-sin l/(1 0a cos 6+c sin 6 b cos 6+d sin2-3Ocos 0-asin0 d cos 3-bsin0y2-691-22(I 0o1-2/c d,o1oAo7o0 1J6occos。一asin6=0/?cose+dsin9=0ocosO+c s in 1 dcos0-bsm 0=a=cos 0解之有Vb=-sin。c=sin。cos、一。sin。sinOy(cos0-sin。、cos 6)(sin 9 cos 0)d-cos 0(3)JJoO、厂OO 1oLOOL2&ooOLO43|i3|24o1113|23bf-*76|5ooI|_6|i3|i1-_/J
45、Joo、广、Ooo2Oo&oooo4 3|io3|2L 6|5f-*6|76|53|2-6|1o11_/9 I9|2 L 一、2223bOLooo1 ko_ooj12、232Loooooh-4_ooJ尸oo、4L2bIoof-ko、_ooii、H-kj2 2t b 12o12一 3t-、2/oO、2oL2i b2bt *H-*329oO/io o工L 24219|5、3|2O 1Ooo o9|i|1 oooO 1o3|i9|4x_ _ _1o1 。o9|23|219|2J_ JL2b bh-19oO3N)&3O 1o213|29|1、1。oo1 工工4b13|i9|2J、LL bo oh-*K
46、 _3|29|2_/O L2oO 1OJo1 oOzOO9&2Ix._o ooOO2 3h-At-*oOJj 1o9|29|29|i|1 oo9|29|9|29|i 9 I 2 6 2_/故21(5)11322011-10-2J001100(0oY11110b(6)10110100100000101100(I 00故00101001001741(1)因为2：.B2153(2)Q212132-1 22332-3010-1001000、0L01-10010(000537Y7 17322-10Bn0J-2-10-21001002356760、0b0、00L1001、-36,1610011010377
47、01000由1111001001-1-5，2 6 w 0,.1、-10、012I 010212320、0(00010001100、01001001000、010010000101 J5313220-1-2=1。0J0,故可逆，且-1 Y1o-2 J0102 53(8-3存在,1003-U2下面求I0、0102-1i j04-10100073220-1-21 0-1010000001011110010000101 J3-1-527-1 Y1o-2J0101-20、002-0-1、0 00 010、1 2-1 1 -2 0 0-1-6 4-7 1J 0 000 60134_56-70、16I0 0
48、22 1、-0 1 00 0 13 3 35-3 6 62 73 6 6,2,2 3-1Y 故1 2 0=3 _1 2-21 Z 7 72 P-3-35 _6 67 13 66J1 1(3)Q0 10 01 n 11=1*0.1.0 11 10 01Y1 p 11 存在，下 求0 11J 10 01Y1I1 10 1、0 0I110、1J1(11oA01101(00001A=1-2-10、0101(-334 2 令 X=x2,b00i J01-2=1 ,AT=0J12-1n i2，则 因 为0oj 112-112=2#0故A i存在，从而0X=4及用初等行变换求此逆矩阵，有人7=1 -12-1
49、 1 1743(1)M b 0(2)不是，A为零矩阵时即为反例.45(1)(3屋 A-2/=0.屋-A=2/：.A(A-/)=2/而|A|A /|=|2/卜0,故A可逆，A /可逆，同时/A可逆，且所以 证 明：A?-?1 2/=0即（A+/）（A 2/）=0.若A+/与A-2/同 时 可 逆，则|4+/|,|4 2/|均不为O但|A+/|4 2/|=0故矛盾,从而A+/与A 2/不同时可逆.46 QA2 2A+4/=O.A2 2A 3/=7/,整理有(A+/)(A 3/)=7/,.|A+/|k 3/|=卜7/卜0.故A+/,A-31 均可逆，所以(A+/=-g(A_3/),(A_3/)T=；
50、(4+/).47证明:(A-)=(4=492、221-22-21100010001、-71002-3 62-6-31-2-20100011002-302-691-2201-20、0b7J、oOO1 *OOoOooooL2oo1 1 *2ooI-1 *2o3oO53作3o3oO3|iOoo2431 1OoO3|4L123b31 4Lt-1213|io34bLO3111o&413|56美1 4ooo311 56o3 工oooi-*Lq_,J_h-_/jooo,、Oooi ooL2ooH1-oo333o3oo3|ih-&43|iooo3|4L22 3|4b13|一o/13|1L1O13|56&G61