工程数学线性代数课后答案.pdf

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1、习题一习题解答1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:201(1)1 -4-1-11831 11(3)a bca2 b2c2a b c(2)b c a;c a bx y x y (4)y x+y xx +y x y解(1)原式=2 x(-4)X 3 +OX(-1)x(-1)+i x 1 X 81 x(4)x(1)2 x(I)x 8 -O x i x 3 =4 ;(2)原式=acb+bac+cba-c3-a3-b3=3abc-a3-b3-c3;(3)原式=c2+lc,a1+l,a,b2-l,ba2-l,c,b2-a,c2=bcz+ca2+ab2 ba1 cb2 ac2=c2(b-a)+ab(b-a

2、)-c(b2-a2)=(a-b)(b-c)(c-a)i(4)原式=x(x +j)y +j/x(.r +j)+(j:+j)3 U:-(x +j)3-x3-iyJ=-2(x3+JF3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1;(4)2 4 1 3;(5)1 3 (2 n-1)2 4 (2);(6)1 3 (2M-1)(2 n)(2 n-2)2.解(1)此排列为自然排列,其逆序数为0;(2)此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1 的逆序数为1;第3 位元素 3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+1

3、 +1 +2 =4;(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0;第 3位元索2的逆序数为2;末位元素1 的逆序数为3,故它的逆序数为0 +0+2 +3 =5;(4)类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2,1,故它的逆序数为0 +0 +2+1=3;(5)注意到这2”个数的排列中,前 位元素之间没有逆序对.第”+1位元素2与它前面的-I 个数构成逆序对,故它的逆序数为n-1;同理,第n+2倍元素4的逆序数为 -2;;末位元素2 的逆序数为0.故此排列的逆序数为(”-1)+(曾 -2)+0=:(”-1);(6)与(5)相仿,此 排 列 的 前n+1位元素没有逆序对;第”+2位元

4、索(2n-2)的逆序数为2;第”+3位 元 素2n-4与它前面的2”-3,2”-1,2n,2 -2构成逆序对,故它的逆序为4;末位元素2的逆序数为2(”-1),故此排列的逆序数为2+4+2(”-1)=-1).3.写出四阶行列式中含有因子。“牝3的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行 和 第4行的某两元案,而它们又分别位于第2列和第4列,即“32和a”或 和 注 意 到 排 列1324与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有。“即3的项为-a”a23a32。与 a23a34a42.4.计算下列各行列式:4 11 210 50 12 40 22 01 71 4 1-1 2 12

5、 3 20 6 2a h,砒(3)bd-cdbf cf 解 aede;-ef(4)-1 b0-10 00 01 0c 1-1 d;5a 1D1 24 110 50 2 1 2 02 0 n-ior,o-15 22-4-207278 5450 11 7 0 1 11 2r41r2 0 1-0-150-70 21 2 01 7+15Q0 1 12-20r,+7q0 0 172-40 0 9=0(因第3、4 行成比例);|2 I 4 1(因有两行相同);15 0 6 2ri v D=a d frj T ar f-bbb er b=abcdefT C11-1In+riabcdef,、ri+z(4)D=

6、0100-1001+abb-10102a11+ab-10a-1ad12.0001d1 +cd0=4abcdef j按 展 开,、,、3(一 1)(一按门展开(-1)(-l)51 +ab-101+ab-1a 0c 11 dad1+cd=(1+a6)(l+cd)+ad.5.求解下列方程:2/1 1 =0X2)2 2 2-1 1 /1 a。x3 a3 b3互不相等.2=0,其中 a,b,c3C解(D左 式 二rt 4-(i+3)(x+3)12-11X+1101X+11 0 0,2-C|,、(1 r +3)2 x-1 1-1 2 x+1_/人工一1 1 ,-(Z+3)=(i+3)(1-3).I x+1

7、于是方程的解为:I=-3,12=打,工3 =-百;(2)注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式,由例1 2 的结果得(x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a -c)(-c)=O.因 a ,6 ,c 互不相等,故方程的解为:叫=,工2 =,叼=.6 .证明:a2 ah b22a a +2b=(a -b)2;1 1 1ax+by ay+bz az+bxXay+bz az+bx ax+by=(a3+63)yaz+bx ax+by ay+bzzyzXXya2(a +I)2(a +2(a +3)zb2(1)2(6 +2 产(6 +3)2c2(C +1)2(c +2)2(C+3)2d2(d+l)2(d+2

8、)2(d+3)2(4)1a2a4a1 1 1bedb2 c2 d1b&c4 1=(a-6)(a-c)(a-d)(6 c)(6 d)(c-d)(a +b +c +d);00000 x0=a.x +a,-1 j+,+a(x +a0.000-10证(1)左式a2 b22(a -f t)0ab-b2a-b0b22b1Cl-2c2(a -6)2 ah-b2 h22b100a-b0(a-b =右式;(2)将左式按第1 列拆开得左式=axayazay+bzaz+bxcue+byaz+bxax+by+ay+bzbzbxay+bzaz+bxax+byaz+bxaa:+by=aDt+bD2,ay+bz其中.r a

9、y+bzD|=y az+bxz ax byaz+bxax+byay+bzx ay+bz zy a z+bx xz ax+by yyD2=zJCaz+bxax+byay+bzaz+bxax byay+bzzxyay+bzaz+bxax+by于是n yD=aD,+hD2=+65)y zx=右式.(3)左式b2cl22a+126+12c+12d+12 +32 b+32c+324+32a+526+52 c+52 d+5z x y2a+1b2 +l2c+12d+122222222=0(因有两列相同);(4)左 式-1r j-ar2r?-art10001b-Qb(b-a)1a)b2(b2 a2)c2(c2

10、 a2)d-ad(d -a)d2(d2 a2)1 1 1按c 展开-Q)-a)(c-a)(d-q)b c d各列提取公因子 b2(b a)c2(c a)d2(d+a)1 1 1r3-6(A+a)r j.-(6 -a)(c-a)(d -a)0 c-b d-br?-brt0 x yc-b d-b=(-a)(c -a)(d -a)9“y其中:工=,(0+)+b+y d2d+a)-W(6+a)=J(a +b+d)(d b).故c-6 d-b11=(c-b)(d-b)yc(a+6+c)d(a+6+d)=(c b)(d-b)d(a+b d)-c(a+6+c)=(c-6)(d-b)(d-c)(a +)+d2

11、 c?=(c-6)(d -b)(d-c)(a +6+c+d),因此,左式=(6-a)(c-a)(d-a)(c-6)(d-6)(d-c)(a +6+c+d)=右式.(5)证一 递推法.按第1 列展开,以建立递推公式,-1x-1 02.=工&+(-1 尸%。,*X-1=xD+(-l)2 +2a0=xD+aQ.又,归纳基础为:D i=a.(注意不是z),于是D.|二 血+即=X(XDH-|+即)+。=x2 Dw-|+a x+a0=x-D)+a 工 +a(x+a0=a0+x+a2j:2+.证二 按最后一行展开得=a0+atx+a2x2+a,.|x+ax.7.设”阶将列式。=(与),把 D上下翻转、或逆

12、时针旋转9 0、或依副对角线翻转,依次得a.i a,a,-a,明”a,D,=:,D2=:,D3=:,I n alh a n at aHl-au证明 D 1 =I)2 =(-D ,D3=D.证(1)先 计 算,为此通过交换行将D,变 换 成 D,从而找出D,与 D的关系.D,的最后一行是D的 第 1 行,把它依次与前面的行交换,直至换到第1行,共进行-1次交换;这时最后一行是D的第2行,把它依次与前面的行交换,直至换到第2行,共 进 行 -2 次交换;,直至最后一行是。的第”-1行,再通过一次交换将它换到第”-1 行,这样就把D,变换成D,共进行(-1)+(-2)+1 =y(H -1)次交换,故

13、=注!,上述交换行列式的行(列)的方法,在解题时,经常用到.它的特点是在把最后一行换到某一行的同时,保持其余M-1个行之间原有的先后次序(但行的序号可能改变).2,同理把D左右翻转所得行列式为(-(2)计 算 注 意 到 D2的第1,2,,”行恰好依次是D的第叫n-1,,1 列,故若把D2上 下 翻 转 得 则 D2的 第 1,2,-,行依次是D 的 第 1,2,,”列,即方2 =。丁于是由(1)D2=(-1)T-1,万2 =(T);TD T=(-(3)计算功.注意到若把D,逆时针旋转9 0 得方3,则D)的 第 1.2,-,列恰好是D的第%”-1,,1 列,于是再把D,左右翻转就得到D.由(

14、1)之注及 ,有D3=(-1)TU,D3=D.注 本例的结论值得记取,即对行列式D作转置、依副对角线翻转、旋转1 8 0 所得行列式不变;作上下翻转、左右翻转、逆(顺)时针旋转9 0 所得行列式为8.计算下列各行列式(D*为k阶行列式):a 1(1)D=,其中对角线上元素都是叫 未写出的元素都是0;1 a提示:利用范德蒙德行列式的结果.bib*,其 中 未 写 出 的 元 素 都 是0;D,=det(a“),其中 ah=I i-j I;1+以1 1 1,、1 1+。2 1(6)Dv=.,其 中 即 生 0,。01 1 1+%(1)解 一 把 心 按第一行展开得0 aD=a+(-l)*J3 a1

15、 0按第一列展开a+-1)“-2=式2面-1).解二Q 01 0 rz r.Du-0 aa由 例10 a 11 a(2)本题中D是教材例8中行列式的一般形式,它是一个非常有用的行列式,在以后各章中有不少应用.解 利 用 各 列 的 元 素 之 和 相 同,提取公因式.工 十(冗 一1)。x +(n-l)a x +(n-l)a1 1=(x-a)Ml x +(n-1 )a .(3)解 把所给行列式上下翻转,即为范德蒙德行列式,若再将它左右翻转,由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等,故行列式经上下翻转再左右翻转(相当于转1 8 0 ,参看题7)其值不变.于是按范德蒙德行列式的结果,可得1 1 1a

16、-n a -n+1 a _.=.=口 G-j)(4)解 本题与例1 1相仿,解法也大致相同,用递推法.由例10即有递推公式D2n=-).ci I b 另一方面,归纳基础为5=/出-仇 白,利用这些结果,递推得C l dO2,=a.d.-勾。)(a&-6,C|)=口(。4 -bkct).解(6)解 将原行列式化为上三角形行列式.为此,从第 2 行起,各行均减去第 I 行,得与例1.3相仿的行列式其 中 小 1 +即+0&2=“1 +冬/于 是9.设 D3-52-13132-4-1-3110-5,D 的(i,j)元的代数余子式记作A”,求A JI+3A3 2 -2A3 3 +2A3 4 .解 与例

17、13相仿,4 八+34乂-24、+24乂等于用1,3,-2,2替换D 的第3 行对应元素所得行列式,即AJI+3A JJ 2 A a+2 A M3-5-1313-533 2 0023-5-14-42-42-3-12-23410003 1-5 11 31 -5r2 4-(-2)按 j展开 21001140100-13-5-1-23-1-1310.=24.用克拉默法则解下列方程组:Xi+x2+x3+x4=5;Xi+2X2-HJ+4Z4=-2;2x(-3X2 一%一5 x4=-2,3x1+叫 +2以 +1 LT4=0;=1.=0,解D=112312-3111-1-12141001111110-2-2

18、-13-78厂3+5 r?,4+2r2000100-2-13-538014-13814=-142;5-2-2150按 s 展开-27232-37-14-533-1032-2223-2115-49=-142;33-10-2723-1013-2-111005-4090032-22-1915111511Dz=1-2-1407-232-2-1-53-2 门()-12-3-7302114-3|0-15-18-7-12-15-2-33-78230-13330-31-15-18按R展开2333-1331-284;DJ=15 1115 112-240 1-732-3 -2 -5r-2 c0-5 -12-73

19、1 0 114-3 门0-2 -15 800011005-7-47-2914-47-298141381011=一 426;D411151 2-1-2r?-ri11150 1 -2 -70-5 -3 -120-2 -1-15-13-47=142,-5 -29,2-3rj+5r23-1-21 2 01 1 10 1 -2n -2ri-3 门5-7r4+2r20 0-13-470 0-5-29由克拉默法则,得而(2)D=600*156=114,015于是 D=325-114=211;6005606000560按Q展开516560015605156051由(*)式=65-216=-151;D2=510

20、006510065按 门 展 开10000651065+50065006-19+180=161;03=)=510065100065按C 3展开=5-114=-109;5100651006511001由(*)式-1 +65=64.100100510065510651006按 j展开100510651+51065065由克拉默法则,得_ D|_ 151三=方=一a5=五=2n,%=2=-1 2 2方.2 T T,_ 64万 一2 T F11.问 取 何 值 时,齐次线性方程组Ax|+x2+Xj=0,|+3c2+1 3=0,+2仪2+%=。有非零解?解 由定理5,此时方程组的系数行列式必须为0.A

21、1 11 p 10 0因D=-(人-1),故只有当=0或久=1时,方程组才可能有非零解.当=0,原方程组成为J AJ:|+工?+小=0,11+工 3 =0,显然X|=1,X2=1-A,X3=-1是它的一个非零解;当a=1,原方程组成为I +叫+工3 =0,1+/xr2+x3=0,+2 +巧=0,显然,Z L -1,与=0,%=1是它的一个非零解.因此,当 =0或入=1时,方程组有非零解.注 定理5(或定理5)仅表明齐次线性方程组要有非零解,它的系数行列式必为零.至于这条件是否充分将在第三章中予以解决,目前还是应验证它有非零解.下题也是同样情形.12.问人取何值时,齐次线性方程组(1-A)Xj-

22、2J:I+(3-A )x2+4x3=0,x3=0,川+x2+(1-A )x3=0有非零解?解 若方程组有非零解,由定理5,它的系数行列式D =0.因 D1-A -22 3-A1 11-A-3+A1 10 1-A0-3+A2A -14-(l-A)21 12 3-A1-A -21-A2A-14-(1-A)2+C l 1 AA -3C j-r A-A (A -3)1-A 11 -1-A14A3A -A=-A(A 2)(A 3).rj(A -3)4故。=0=义=0 或;1=2 或 2=3,并且不难验证;当 A =0 Bt=-2,Z2=1,3=1;当入=2 时,=-2,工 2 =3,13=1;当入=3

23、时 用=-1,以=5,%=2 均是该方程组的非零解.所以当a=0,2,3时方程组有非零解.习题二习 题 解 答1.计算下列乘积:4(1)3-2713072132(2)(1.2,3)(-1,2);(4)解5a x+a 建 +0 1 3 工3=(X),X2)|X J alx +aUx2+a23x3.即 3 孙 +223X2+33 3 3x I=a II X|+a 2 1 2+a”i j i 3 +a n X j X|十 以 22%;十+A B+aux3x1+a 33X3=aMx?+a12x+233X3+2al2x)x2 2anxlx3+2a23与 工 3 解AB1 1 11 1-11 -1 1于是

24、 3AB-2A=3E006i n5-5915-15272-25340860.241805-591860-222,222-22-22-2 13-2-174 292220-2.因AT=A,BP A 为对称阵,故ATB=AB=0 5 80-5 62 9 03.已知两个线性变换工 =2+刈,4=-2“+3%+2”,孙=4”+”+5%,=-3 勺 +N?,2=2与+盯,)3=-%+3叫,求从z,9Z2tZ3到 N|,工 2,h3 的线性变换.解依次将两个线性变换写成矩阵形式:X=A Y.y=5 Z,其中A=2-24035,B=-32010-1013分别为对应的系数矩阵;X=工 31Y2.在这些记号下,从

25、,的,町 到 心,工 2,孙的线性变换的矩A J阵形式为X=AV=A(BZ)=(AB)Z=CZ9这里矩阵C=AB即有4.设 A=1123产 =-6 句+句+3小,hz=12z1-4Z2+9与xy=-10z|一句+16Z3.)-0(1)AB=BA 吗?(2)(4+B)2=A2+2AB+B2吗?(A+B)(A-B)=DW?解(1)因 AB=(:DC:H:”=(;3(二)1 23 8,故 ABrBA;(2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2,但由故 AB+BAW2AB,从而(A+B)2HA*+2AB+B2;(3)(A+B)(A-B)=A?+BA-AB-但由(1),ABRBA,

26、故 BA-ABW O,从而(A+B)(A-B A1-B2.5.举反例说明下列命题是错误的:(1)若 A?=O,则 A=O;(2)若 A?=A,则 4=0或4=后;(3)若 AX=A Y,且 A#O,则 X=Y.解(1)取 A=(:),有 T =O,但 AKO;取 A=(;:),有 A、A,但 A O 且 A r E;取 A=(:R,X=(:。),Y=A=R,有 A X=A Y,且 A K O,0 Ol 0 1/0 0/但 X X Y.6.设 A=(;:),求 A?,A*.解 直 接 计 算 得*=(;扉:H/=(:制:一般可得(2.3)事实上,当女=1 时,(2.3)式显然成立;设当女二时,(

27、2.3)式成立,那么当k 二 +1 时,由归纳法,知(2.3)式成立.A 1 07,设 A=0 A 1 ,求 A”.0 0 A解 把A写成两个矩阵之和A000A00 0 10+0 0AJ IO o01 =AE+B,0.0其中三阶矩阵6=0.01 00 0 10 1 满足 B?=0 0 0,8=O a 3).0 Oj 10 0 0于是 A,=(AE+B)=CA E+C X lB+-+C:B=E+C,-B +C*zB?8.设4,B为”阶矩阵,且A为对称阵,证明AB也是对称阵.证根据矩阵乘积的转置规则,有(BTAB)T=BTAr(BT)T=BTAB(因 A 为对称阵),故由定义,知BTA B为对称阵

28、.9.设A,B都是”阶对称阵,证 明A B是对称阵的充要条件是AB=BA.证 B AT=A,BT=B,ftA B为对称阵0(4 8 )1=ABBA=A B.1 0.求下列矩阵的逆阵:/I 2/cos 0-sin 62 5/*(sin 8 cos 01 2-1(3)3 4-2 ;5-4 1,(5以2a“K 0)解(1)由二阶方阵的求逆公式(教材例10)得2 5co s 6s i n 0-s i n 0co s 01 I cos 0 s i n 0co s2 9+s i n2 0 -s i n 0 co s 0I co s 0 s i n 0 -s i n 0 co s 6 1-1-2=2 W 0

29、,故 A 可逆,并且11 2 因 I Al=3 45-4M u =4 -42I=-4,M2I=2-1=-2,MJI=24-1-2=0,-41%=35-21=13,Mi2=15-11=6,M 32=1312=1.M|3 =354-4=-32,M?3=152-4=-14,M 33=1324=-2,于是AM ii-Mu Mu=_|_A_|AA =_2L-M2Mn-Mn3-M”M.-2 1 0-4 20=J_-13 6-1=13,12 3 2,-32 14-2,-16 7-1(4)因。逆2 故 4 W 0,1,2,,n.于 是 矩 阵B=d i a g(/,a,)是有意义的 并且因AB=d i a g

30、(|,牝,a“)d i a g(W“d)=d i a g(l,l ,l)=E,由定理1 的推论,知 4 可逆,且 47 =5=揄 8(=,;)注 本题结论值得记取,可当作公式用.11.解下列矩阵方程:,、/I-1 3(2)X 2 1 0=4 3 211-1 1J解(1)因矩阵,;)的行列式=1,不为零,故它可逆,从而用它的逆矩阵左乘方程两边,得.(2)记矩阵方程为2d e t A=21山 北一:卜(;U)I T|3 0 01 0=2 1 0=3X 0,故A可逆,用AT右乘方程的两边得又,X=BA*.-20于是1 0 1-2 3-2-3 3 01 1-6 6 3 -2 2 13(-8 15-2)

31、=-5 4X =B A t =41 -1 33 4 3 2/记A =(二:),C=(;二),则矩阵方程可写为AXB=C.因|A|=6 0,|B|=2H0,故 A,B 均可逆.依次用4 一,和廿一,左乘和右乘方程两边得=(:)J就 力:一;I C ;)1八2 12121 3 0)=1 00(4)本题与(3)相 仿.因 矩 阵1,01 01 10 0和00 1J(00 00 1的行列式都是-1,故1 0均是可逆阵,并且0 1 01 0 0、0 0 10101 01 10 0,00 1J l o001or1 f i o00 00 101012.利用逆矩阵解下列线性方程组:Xi+2X2+3X3=1,(

32、1)v 21+2X2+5%=2,3x+5X2+叫=3;解将方程组写作矩阵形式Ax=b,这里,A为系数矩阵,=(,2,巧),为未知数矩阵,b为常数矩阵.1 2(1)因 141=2 23 535 =15#0,故A可逆,于是即有=1.x2=0,x3=0;1因|A|=23-1-1-1 -3 =3R 0,故A可逆,于是2-5,即有X|=5,工 2=0,x3=3.1 3.已知线性变换Hi=2力+2y2+y),工 2 =3yl+%+5y3,.工 3 =3”+2%+3%.求从变量干,工 2,工 3 到 变 量 的 线 性 变 换.解记 X=(口,工 2,七 尸 =(,/,3尸,则线性变换的矩阵形式为*=2 2

33、 1A y,其中A为它的系数矩阵.因det A=3 1 5=1X 0,故 A是可逆阵,于.3 2 3.是从变量X,x2,x3到变量v,奥力的线性变换的矩阵形式为又示于是-7=A =63V了 2)3,y=A 7 X.-4 93-7 ,2 一 4-7 -46 33 2即V=-7 x|-4X2+9巧,2=6xj+3X2-7X3,y3=3x|+2X2-4X3.14.设 A为三阶矩阵,|降|=g,求|(2 4)T-5A I.解 因|A|=;#0,故 A可逆.于是由A=I A I A=A,及(2A)1,得(2 A)-5 A =1A-y A-1=-2 4-,两端取行列式得|(2A)-5A I =I -2A-

34、”=(-2)l A L=-16.注 先 化 简 矩 阵,再取行列式,往往使计算变得简单.0 3 315.设 A=1 1 0,AB=A+2B,求 B.-1 2 3解 由 A5=A+2B=(A-2E)B=A.-2 3 3因A-2E=1-1 0,它的行列式det(A-2E)=2W0,故它是可逆阵.-1 2 1用(A-2 E)7左乘上式两边得0 3 31 1 0-1 2 316.设 A=0-22121 00 21 01016 61 0 3 3,4 6=-1 2 3.2 0J 1 1 1 0,且 AB+E=A2 +B,求 B.解 由方程Ab+E=A?+5,合并含有未知矩阵B的项,得(A-E)B=A2-E

35、=(A-E)(A+E).0 0又,A-E=0 11 010,其 行 列 式det(A-E)=-1X 0,故A-E可逆,用0,(A-E)T左乘上式两边,即得2 0 1B=A+E=0 3 0.1 0 2.17.设 A=d iag(l,-2,l),A BA=2A-8E,求 B.解 由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A,因此仍从公式A A-=IAIE着手.为此,用A左乘所给方程两边,得,AA*BA=2ABA-8A,又,|A|=-2H 0,故A是可逆矩阵,用 右 乘 上 式 两 边,得I A|B=2AB-8E=(2A+2E)B=8E=(A+E)B=4E.注意到 4+E=diag(l,-2,l)+diag

36、(l,l,l)=diag(2,-l,2)是可逆矩阵,且(A+E L =diag传,-l,y j 于是 B=4(A+E)T=diag(2,-4,2).18.已知矩阵A的伴随阵A=由昵(1,1,1,8),且4碗7=5 4 7+3后,求B.解 先 由4来 确 定|4|.由 题 意 知4 T存 在,有A=|A|A,得I 1|=|A门=而I 1|=8,故|A|=2 .再化简所给矩阵方程A B A =B Al+3E=(A-E)5AT=3E=(A-E)B =3A=(E-A*)B=3E.由 I A I =2,知 A 1=*=-y d i a g(1,1,1,8)=d i a g(;4 g,4E A 1=d i

37、 a g (1,*+_ 3 j 得(芯-4-尸=崛(2,2,2,一寺).于是 B=3(E-A-)=3d i a g(2,2,2,-y j =d iag(6,6,6,-l).19.设 P-4 P =A,其中 P=;-:),/=;),求 A.解 本题与教材例1 3相仿.因P-A P=4,故A =P A p r.于是=p Ai ip-i=:):)T;力犷;力一;;)(-:J)1/1+2 4 +2u _ /2 731 2 7327-2 -4-211/-6 83-6 842 0.设 A P =P A,其中 P=115求中(A)=A 5 E-6A+A2),1 1 1解 因|P|=1 0-2 =-6 H 0

38、,故P是可逆阵.于是,由A P =P A1-11得A =P AP 7 ,并且记多项式P(H)=NI(5-6N+/).有日 A)=P w(A)p T.因A是三阶对角阵,故3(A)=d i a g(3(-1),p(l),p(5)=d i a g(12,0,0).于是1 1W(A)=1 0,1-11 0=-2 1 01 01 0=-2 1 01 03 1:1:0(-)o jA?i A”*-2 -2*=4 1 1 11 1 1注,由于w(A)除(1,1)元外均是。,故在求P时,只需计算P 的(1,1)元、(2,1)元、(3,1)元的代数余子式A“,A”和 A”.21.设 A*=O(人为正整数),证 明

39、 E-A 可逆,并且其逆矩阵(E-A=E+A+A2+A,-.,证 由(E-A)(E +A+A?+;+/-)=E+A+,+A1-A-A2-Ak=E-O=E,由定理2之推论知E-A 可逆,且其逆矩阵(E-A)-=E+A+A*.注 判断矩阵B 是否为A 的逆矩阵,最直接、最简单的方法就是验证AB(或者BA)是否等于单位矩阵,就像判断3 是否为右的逆只需验证与X 3是否等于 1 一样.下一题及例2.1都是这一思想的应用.22.设方阵A 满足A2 A-2 E=O,(2.4)证明A 及A+2 E 都可逆,并求A-S.(A+2E)-.解 先证A 可逆.由(2.4)式得A(A-E)=2 E,.也就是A(*(A

40、 -E)=E.由定理2 之推论知A 是可逆的,且AT=:(A-E);再证A+2 E 可逆.用例2.1的解法,由(A+2E)(.A-3E)=A2-A-6E=2E-6E=-4E,即(A+2 E):(3 E-A)=E,同理,知 A+2E 可逆,且(A+2 E)-T(3 E-4),23.设矩阵A 可逆,证明其伴随阵A 也可逆,且(A,)-=(4-厂.证 因 A =IA IE 及IA IH O,由定理2 的推论知A 可逆,且3尸=击 儿另一方面,因=|A-E.用 A 左乘此式两边得比较上面两个式子,即知结论成立.24.设”阶矩阵A的伴随阵为A ,证明:(1)若 4|=若则|4。=0;(2)=证 因A A

41、=lAlE,(2.5)当|A|=O时,上式成为A A=0.要证|A 1=0,用反证法:设|A IWO,由矩阵可逆的充要条件知,A是可逆矩阵,用(A D-左乘上式等号两边,得4=0.于是推得A 的所有”-1阶子式,亦 即A的所有元素均为零.这导致A=O.此 与A为可逆矩阵矛盾.这一矛盾说明,当141=0时,1/T 1=0.(2)分两种情形:情 形1/A 1=0.由 ,I=1=0=|A|,结论成立;情形2:|A|#0.在(2.5)式的两边取行列式,得|A-|A|=|A-A|=|A|E J =|A|于是注|A本题(2)的结果值得记取.计算与教材例15相同,本题练习分块矩阵乘法.记25.解A M=(;

42、-Qi-:-3则原式=A II E?/E?O422O B22A IIOA ll B|2 +B22 2 2 22又A II B l2 +22年 it 一;)+(一:-)A 22 B227-12-142 10 3+r2 0-203-36-402-43-9故原式=100.020052-402-43-926.设A=34004-30000220002,,求及A.解若 记 A=OO A2,其 中A1=34-302 2,则 A 成为一个分块对角矩阵.于是AA:OO A;因 A:25 00 25=25E,故 A=5*E;A1-2(:川:心可参看习题6).代人即得A540000540000242600024.2

43、7.设 n 阶矩阵A 与s阶矩阵B 都可逆,求(1)OBAO(二C B解(1)因 A 和B 均可逆,作分块阵OO AB O工F 弋 卜由分块矩阵乘法规则,O 办,/于是OBAo尸 逆 屈oO B-A-1 OA OC B 求的逆阵,就是求”+s阶方阵X,使A OC BX=E.,.(2.6)为此,根据原矩阵的分块情况,对 X 作一样的分块,X=X“xl2X 21 X 22其 中 Xu,Xl l tX2l,X22是未知矩阵(为明确起见,它们依次是X x s,sX*$,$矩阵).把上式代入(2.6)式得到E.0 O EJ C b 八比较上式两端两个矩阵,有八it*2 1X1222AXI2CXn+BX2

44、I CXI2+BXnAX”A X1 2CX叱cx于是得=O=X12=O;+BX12=E,=BX21=E,=X=B 1;+BX2,=O=BX2l=-CX”=-CA-,=X2I=B C A 1C犷X=-BAC A BO2 8.求下列矩阵的逆阵:解52002 01 00 80 500321 0001200(2)21301214/A)(1)将 A 分块为A=0:卜 其 中 2CIA J =1,1&I=1,故它们均可逆.于是由分块对角矩阵的性质,有(2)记 A=31-2002500002-300-58B O 一 /ID J其中.因 =02042 11 22,1 Cl=12,故 6,C 均是可逆阵.由27

45、题 的 结 论,得朱;(二得24 0 0 0t =J,T 2 12 0 0 24-12-4 8 03-5-2 6.习题三习 题 解 答1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:233230:0.0,-1-3-2-3234解2335340003J-4-4-2-22-13 14 331000(4)0000002322234-3-4-732-2-13613087一 3-234-7-403f 2r2 X (-1)1 0 05门-2 r 20 0 1-3;,3 +2 r 20 0 00.0 2 -3 1 0 231)0 1 -1 2(2)0 3-4 30 112 0 2-3 1.0 4 -7 -1.r

46、i。01-3)1 0 0 -1 -3.0 112 r 2 X -1)(0 1 0 50-1-3 0 0 1 3;0 0.1-3,rj+n,0 0 0 0.1 -1 3-4311-13-4 3,3-3 5-41 001 -2 2(3)2-23-20 r,-2 r,00-3 6 -63-3 4 -2-1广00-5 1 0 -1 0r 3r1-1 0 2 -3nn1-0 7ry+3r2u0u01 Z Z0 0 0 1 *r 4 +5 r2.00 0 0 O.1 2 3(A,E)=2 3 4,5 4 3(4)131 23 12 0-2 8-3 72 0-23 1 -3-2 8 3-3 7 412 3

47、42.设 A=22-2 r i1 2 0-2-4 0-11 1 1小 一3 r10 -8 8 9 1 2q-2 ri0 -7 7 8 l b3 4 5,求一个可逆阵P,使PA为行班简形.1 0 2 0 -21 0 2 0 -2ri-2 r201-1-1-10 1-10 38+8门0 0 0 1 40 0 0 1 4n+7 r20 0 0 1 40 0 0 0 0解5 4 3 24521 0 0 1 .f l0 1 0 -00 0 J i o2 3-1 -2一 6 -1 24 1-3-2-1 8 -50 01 00 L(T)(1*1ri)0-2 r2.3+6 5.0010-1 -2 -32 30

48、 02 0 12-107 -6 1-3 2 0故P=2-1 0,7-6 11 0,并且A的行最简形为PA=0 10 02301-20一3.设4=(一;求 一 个 可 逆 阵P,使PA为行最简形;(2)求一个可逆阵。,使为行最简形.:力解(1)(A,E)=-5 32-11 1 0rl+3n/l1 0 1/-20 4-1 1于是p=/*:x(-1),且 PA=(:为 A的行最简形;(2)(AT,E)=于是Q=13-4-7-5310.02-110-11-3-100 11.2-5-20-111000100011325-701为 的 行 最 简 形.01 32 5了2-3|201001471235010

49、0000015 0,并且=100131202 乂(T)000014.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆阵:解记所给的矩阵为(A,E)=A.1533010-2-2102-32-11-22-10-1-1333212153333221000100030042010001ri 2r2r2 X (-1)3 0 9-1 2 0rj-r(-2)3 0 0 17 2 TQ0 1-4 1-1 0r-9r30 1 0 -1-1 20 0 2-1 0 Ijt+T0 0 1 0 y1 00 10 000176-122T一03222因由定理I 之推论,知 A 可逆,且7K322 T3(2)(A,E)=:0-22-21

50、02-321-21000-20020 I0 I030000-21-22一2140-3202-329一 2000000000002-215-10 0I 0000100000001000000010000000-300-22r j+r4*-r2+r4,3 -40000001000100-200-10-2000000011200010120-3046-3-6-203一 6-4 2.69-47 0-4-16一 10因A二E,由定理1之推论,知A可逆,并且4 15.设A=2 2.3 1-2 -40-13 6-6 -10.-32.求 X 使 AX=B;-1.0 2 设A=2-1.-3 31/I 2 3-A

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