课改后全国数学高考试题4.pdf

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1、2.以 抛 物 线 y2=4x的 焦 点 为 圆 心，且 过 坐 标 原 点 的 圆 的 方 程 为 A.x+y2+2x=0 B.x2+y2+x=0 C.x2+y-x=0 D.x2+y-2x=03.设 等 差 数 列 an 前 n 项 和 为 S”.若 ai=-11,a.i+a6=-6，则 当 S：取 最 小 值 时，n 等 于 A.6 B.7 C.8 D.9幺+23 3,才 二 04.函 数 f(x)=-2+l n x,x 0 的 零 点 个 数 为 A.0 B.1 C.2 D.35.阅 读 右 图 所 示 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，输 出 的 i值 等 于 A.2 B

2、.3 C.4 D.5/利 4/6.如 图，若 Q 是 长 方 体 ABCD-ABCD被 平 面 EFGH截 去 几 何 体 EFGHBC后 得 到 的 几 何 体，其 中 E 为 线 段 A B 上 异 于 今 的 点，F 为 线 段 BBi上 异 于 R 的 点,且 EH Ai D,则 下 列 结 论 中 不 正 确 的 是 A.EH FG B.四 边 形 EFGII是 矩 形 C.Q 是 棱 柱 D.Q 是 棱 台 经 束 Y(第 6白 图)7.若 点 0 和 点 F(-2,0)分 别 为 双 曲 线 七-2=1(a 0)的 中 心 和 左 焦 点，a-点 P 为 双 曲 线 右 支 上

3、的 任 意 一 点，则 近 而 的 取 值 范 围 为 A.3-2 6，+8)B.3+23,)C.,+8)D.,+8)4 41,x-2y+3 之 0,8.设 不 等 式 组 歹 之 天 所 表 示 的 平 面 区 域 是 园,平 面 区 域 A 与 旦 关 于 直 线 3x-4y-9对 称.对 于 R 中 的 任 意 点 A 与 鼻 中 的 任 意 点 B,|AB|的 最 小 值 等 于 28 12A.B.4 C.D.25 59.对 于 复 数 a,b,c,d,若 集 合 S=a,b,c,d 具 有 性 质”对 任 意 x,yS,必 有 xywS”，则a=L 1=1,当 卜*=a 时，b+c+

4、d等 于 A.1 B.-1 C.0 D.i10.对 于 具 有 相 同 定 义 域 I)的 函 数 f(x)和 g(x),若 存 在 函 数 h(x)=kx+b(k,b为 常 数),0/(%)-A(x)m,x。时，总 有 l(x)-g 丸 则 称 直 线 1：y=kx+b为 曲 线 y=f(x)与 y=g(x)的“分 渐 近 线”.给 出 定 义 域 均 为 D=x|x 1的 四 组 函 数 如 下：/-2犬 一 3 f(x)=x?,晨 x)=4 x;f(x)=10+2,g(x)=-;xr2 4-1 rln r+1 f(x)二-i,g(x)=;f(x)=/(幻=三，g(x)=2(x-l-e x

5、).x Inx x+1其 中，曲 线 尸 f(x)与 尸 g(x)存 在“分 渐 近 线”的 是 A.B.C.D.第 n卷(非 选 择 题 共 io。分)二、填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 4 分，共 20分.把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置.11.在 等 比 数 列 aj中，若 公 比 q=4,且 前 3 项 之 和 等 于 21,则 该 数 列 的 通 项 公 式 a“()12.若 一 个 底 面 是 正 三 角 形 的 三 棱 柱 的 正 视 图 如 图 所 示，则 其 表 面 积 等 于().13.某 次 知 识 竞 赛 规 则 如 下：在 主 办

6、 方 预 设 的 5 个 问 题 中，选 手 若 能 连 续 正 确 回 答 出 两 个 问 题，即 停 止 答 题，晋 级 下 一 轮.假 设 某 选 手 正 确 回 答 每 个 问 题 的 概 率 都 是 0.8,且 每 个 问 题 的 回 答 结 果 相 互 独 立，则 该 选 手 恰 好 回 答 了 4 个 问 题 就 晋 级 下 一 轮 的 概 率 等 于().J T14.已 知 函 数 f(x)=3sin(0 x-)(6y0)和 g(x)=2cos(2x+P)+l的 图 像 的 对 称 轴 完 全 相 6同.若 XW 0,色，则 f(x)的 取 值 范 围 是()._ 2_15.已

7、 知 定 义 域 为(0,+oo)的 函 数 f(定 满 足:(1)对 任 意 xw(0,+8),恒 有 f(2x)=2f(x)成 立；(2)当 xe(1,2 时,f(x)=2-x.给 出 结 论 如 下：对 任 意 me Z,有 f(2*)=0；函 数 f(x)的 值 域 为 0,+8)；存 在 neZ,使 得 f(2+l)=9;函 数 f(x)在 区 间(a,b)上 单 调 递 减”的 充 要 条 件 是“存 在 ke Z,使 得(a,b)C(2k,2k)其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是().三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 80分.解 答 应 写 出 文 字

8、说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.16.(本 小 题 满 分 13分)设 S 是 不 等 式 x2-x-6W0的 解 集，整 数 m,nS.(I)记”使 得 m+n=0成 立 的 有 序 数 组(m,n)”为 事 件 A,试 列 举 A 包 含 的 基 本 事 件；(II)设 求？的 分 布 列 及 其 数 学 期 望 Ej.17.(本 小 题 满 分 13分)己 知 中 心 在 坐 标 原 点 0 的 椭 圆 C 经 过 点 A(2,3),且 点 F(2.0)为 其 右 焦 点.(I)求 椭 圆 C 的 方 程；(II)是 否 存 在 平 行 于 0A的 直 线 L,使 得 直 线

9、 L 与 椭 圆 C 有 公 共 点，且 直 线 0A与 L 的 距 离 等 于 4?若 存 在，求 出 直 线 L 的 方 程；若 不 存 在，说 明 理 由.18.(本 小 题 满 分 13分)如 图，圆 柱 00i内 有 一 个 三 棱 柱 ABC-AB 一 一.-三 棱 柱 的 底 面 为 圆 柱 底 面 的 内 接 三 角 形，且 AB是 圆 0 的 直 径.(I)证 明：平 面 A M C 平 面 RBC3；(II)设 AB=AAi.在 圆 柱 00i内 随 机 选 取 一 点，记 该 点 取 自 于 三 棱 柱 ABC-A3G内 的 概 率 为 P.(i)当 点 C 在 圆 周

10、上 运 动 时，求 P 的 最 大 值；(ii)记 平 面 AiACG与 平 面 BQC所 成 的 角 为 6(0 6 90).当 P 取 最 大 值 时，求 cos 6 的 值.19.(本 小 题 满 分 13分)某 港 口 0 要 将 一 件 重 要 物 品 用 小 艇 送 到 一 艘 正 在 航 行 的 轮 船 上，在 小 艇 出 发 时，轮 船 位 于 港 口 0 北 偏 西 30且 与 该 港 口 相 距 20海 里 的 A 处，并 正 以 30海 里/小 时 的 航 行 速 度 沿 正 东 方 向 匀 速 行 驶，经 过 t 小 时 与 轮 船 相 遇.(I)若 希 望 相 遇 时

11、 小 艇 的 航 行 距 离 最 小，则 小 艇 航 行 速 度 的 大 小 应 为 多 少？(II)假 设 小 艇 的 最 高 航 行 速 度 只 能 达 到 30海 里/小 时，试 设 计 航 行 方 案(即 确 定 航 行 方 向 和 航 行 速 度 的 大 小)，使 得 小 艇 能 以 最 短 时 间 与 轮 船 相 遇，并 说 明 理 由.20.(本 小 题 满 分 14分)(I)已 知 函 数 f(x)=xCx，其 图 像 记 为 曲 线 C.(1)求 函 数 f(x)的 单 调 区 间；(2)证 明：若 对 于 任 意 非 零 实 数 X j 曲 线 C 与 其 在 点 R(xi

12、,f(x。),处 的 切 线 交 于 另 一 点 P2(X2,f(X2),曲 线 C 与 其 在 点 P2处 的 切 线 交 于 另 一 点 P3(X3,f(X3),线 段 Pt P2.P2 P3与 曲 线 C 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 分 别 记 为 Sl,S2,则 立 为 定 值；(II)对 于 一 般 的 三 次 函 数 g(x)=ax、bx2+cx+d(a。0),请 给 出 类 似 于(I)(ii)的 正 确 命 题，并 予 以 证 明.21.本 题 设 有(1)(2)(3)三 个 选 考 题，每 题 7 分，请 考 生 任 选 2 题 作 答，满 分 1 4分.如 果

13、多 做，则 按 所 做 的 前 两 题 记 分.作 答 时，先 用 2 B铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 的 题 号 涂 黑，并 将 所 选 题 号 填 入 括 号 中.(1)(本 小 题 满 分 7 分)选 修 4-2：矩 阵 与 变 换 已 知 矩 阵 M=(6 1),N=(1 且 MN=(-2 o).(J)求 实 数 a,b,c,d 的 值：(II)求 直 线 y=3x在 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 的 像 的 方 程.(2)(本 小 题 满 分 7 分)选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 在 直 角 坐 标 系 xOy中，

14、直 线 L 的 参 数 方 程 为(t为 参 数)，在 极 坐 标 系(与 直 角 坐 标 系 xOy取 相 同 的 长 度 单 位，且 以 原 点 0 为 极 点，以 x轴 正 半 轴 为 极 轴)中，圆 C 的 方 程 为 P=2jsin6.(I)求 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程；(II)设 圆 C 与 直 线 L 交 于 点 A,B.若 点 P 的 坐 标 为(3,V5),求 I PA|+|PB|.(3)(本 小 题 满 分 7 分)选 修 4-5：不 等 式 选 讲 己 知 函 数 f(x)=|x-a|(I)若 不 等 式 f(x)W 3 的 解 集 为 尤 卜 1 3 5,求

15、实 数 a 的 值：(H)在(I)的 条 件 下，若 f(x)+f(x+5)2m对 一 切 实 数 x恒 成 立，求 实 数 m 的 取 值 范 围.参 考 答 案 一 选 择 题：本 大 题 考 查 基 础 知 识 和 基 本 运 算.每 小 题 5 分，满 分 5 0分.1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C二 填 空 题：本 大 题 考 查 基 础 知 识 和 基 本 运 算.每 小 题 4 分，满 分 2 0分.11.4T 12.6+2V3 13.0.128 14.-,3 15.(2)(4)_ 2 _三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，

16、共 8 0分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.16.本 小 题 主 要 考 查 概 率 与 统 计、不 等 式 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力、应 用 意 识，考 查 分 类 与 整 合 思 想、必 然 与 或 然 思 想、化 归 与 转 化 思 想.满 分 13分.解：(I)由*2 一 x 6 W 0 得 2 即 5=卜|一 2 4 43由 于 北 w Z,S 且 加+=0,所 以 A 包 含 的 基 本 事 件 为：(-2,2),(2-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)(II)由 于 m 的 所 有 不 同 取 值 为-

17、2,-1,0,1,2,3,所 以 J=m2的 所 有 不 同 取 值 为 0,1,4,9,i 9 i Q i i且 有 P C=O)=N，P=)=-=-,=4)=-=-.=9)=-o o 5 6 3 o所 以 EJ=0 X L+1X!+4 X+9X 1=6 3 3 6 617.本 小 题 主 要 考 查 直 线、椭 圆 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力、推 理 论 证 能 力，考 查 函 数 与 方 程 思 想、数 形 结 合 思 想、化 归 与 转 化 思 想.满 分 13分.故 4 的 分 布 列 为：J。1 4 9p 2 26 3 3 6解 法 一：2 2(I)依 题

18、意，可 设 椭 圆 C 的 方 程 为 0+5=1(ab 0),且 可 知 左 焦 点 为 b(-2,0)a b从 而 有 c=2 解 得 c=2 YI 2a=AF+AF|=3+5=8,1 a=4又 1+/=。2,所 以/=1 2,故 椭 圆 C 的 方 程 为+=116 123(II)假 设 存 在 符 合 题 意 的 直 线/,其 方 程 为 y 九+/3由 厂 y=-x+t 得 3/+3 次+产-12=027 2x y 1+=1L 16 12因 为 直 线/与 椭 圆 C 有 公 共 点，所 以 八 二。)4x3(产 一 12)20,解 得 一 另 一 方 面，由 直 线 0A与/的 距

19、 离 d=4 可 得=4,从 而 r=2屈.由 于 2 任-46,4月,所 以 符 合 题 意 的 直 线/不 存 在.解 法 二:(I)依 题 意，可 设 椭 圆 C 的 方 程 为+=1(ab0),且 有:a2 h24 9.7+F=1 解 得 从=1 2 或 从=-3(舍 去).从 而/=16a2-b2-4(II)同 解 法 一 18.本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 直 线、直 线 与 平 面、平 面 与 平 面 的 位 置 关 系，以 及 几 何 体 的 体 积 几 何 概 型 等 基 础 知 识；考 查 空 间 想 象 能 力、推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力；考

20、 查 数 形 结 合 思 想、化 归 与 转 化 思 想、必 然 与 或 然 思 想.满 分 13分.解 法 一：(I)平 面 ABC,B C u 平 面 ABC,/.A,A I B CA8是 圆 0 的 直 径，/.B C A C又 A C r)A A=A,平 面 而 B C u 平 面 BB C CX,所 以 平 面 4 A C G-L平 面 区 BCC.(II)(i)设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r,则 A 8=A 4=2r故 三 棱 柱 A B C _ A B,C,的 体 积 V.=-A C B C-2 r=A C B C r1 2又+=AB2=4r2A C B C A，*次-=

21、2r22当 且 仅 当 A C=B C=V 2r时 等 号 成 立.从 而，匕 W 2,，而 圆 柱 的 体 积 V 2r3 1V=勿 2-2r=2勿 尸，故 p=，当 V2 2m 3 兀 且 仅 当 A C=8 C=后 厂，即 OC_L A 8 时 等 号 成 立.所 以，p 的 最 大 值 等 于,71(ii)由(i)可 知，p 取 最 大 值 时，0CJ_A8于 是，以 0 为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系。-孙 z(如 图)，则 C(r,O,O),B(0,r,0),(0,r,2r)BC _L平 面 4 A C G.元=(/，-，)是 平 面 AtAC Ct的 一

22、个 法 向 量,设 平 面 B、O C 的 法 向 量 n=(x,y,z),由 塌 得 厚 匕。故/A取 z=l,得 平 面 与 0 C 的 一 个 法 向 量 为 n=(0-2,1),0 90,解 法 二：(I)同 解 法 一(11)(i)设 圆 柱 的 底 面 半 径 为 r,则 4?=2r,故 三 棱 柱/用 弓 的 体 积 匕=ACBC-2r=A C B C r,设 N8AC=a(0 a 90),则 2AC=ABcosa=2rcos6Z,8C=ABsina=2rsina，由 于 AC-BC=4r2 sin a cos a=2r2 sin 2a 2r=2/，故 的 最 大 值 等 于(i

23、i)同 解 法 一 2 7t19.本 小 题 主 要 考 查 解 三 角 形、二 次 函 数 等 基 础 知 识，绿 茶 推 理 论 证 能 力、抽 象 概 括 能 力、运 算 求 解 能 力、英 语 意 识，考 查 函 数 与 方 程 思 想、数 形 结 合 思 想、化 归 与 转 化 思 想、分 类 与 整 合 思 想.满 分 13分.解 法 一：(I)设 相 遇 时 小 艇 航 行 的 距 离 为 S海 里，则 S=7900/2+400-2-30/-20-cos(90-30)=，900”600f+400=9 0 0(/-1)2+300故 当，=；E I寸，5,nin=10A/3,此 时

24、丫=邛 1=30指，即，小 艇 以 30百 海 里/小 时 的 3速 度 航 行，相 遇 时 小 艇 的 航 行 距 离 最 小.(I I)设 小 艇 与 轮 船 在 B出 相 遇，贝 I J/产=400+9 0 0 f2-2 2 0 30f cos(9(r-3(r)故 小 900 一 竿+当.0 uW 30,.9 0 0-&+驾 W900t r2 3 2即 F-0,解 得 t t2 t 32又，=时，v=3 0 故 u=3 0时，t 取 最 小 值，32且 最 小 值 等 于 一，此 时，在 A 0 A 5中，有 0A=0 3=4 3=2 0,故 可 设 计 寒 星 方 案 如 3下：航 行

25、 方 向 为 北 偏 东 3 0,航 行 速 度 为 30海 里/小 时，小 艇 能 以 最 短 时 间 与 轮 船 相 遇 解 法：:(I)若 相 遇 时 小 艇 的 航 行 距 离 最 小，又 轮 船 沿 正 东 方 向 匀 速 行 驶，则 小 艇 航 行 方 向 为 正 北 方 向.设 小 艇 与 轮 船 在 C处 相 遇.在 R/A O 4C中,OC=20cos300=10A/3,AC=20sin300=10又 AC=3 0 f,OC=v t 此 时，轮 船 航 行 时 间 丫=8=30百，即，小 艇 以 3 0 630 3 13海 里/小 时 的 速 度 航 行，相 遇 时 小 艇

26、的 航 行 距 离 最 小.(II)猜 想 u=30时，小 艇 能 以 最 短 时 间 与 轮 船 在 D 出 相 遇，此 时 40=0 0=30，又 2/。4。=60,所 以 4。=。=。4=20,解 得 f=一，据 此 可 设 计 航 行 方 案 如 下：航 3行 方 向 为 北 偏 东 30,航 行 速 度 为 30海 里/小 时，小 艇 能 以 最 短 时 间 与 轮 船 相 遇 证 明 如 下：如 图，由(I)得 OC=106，AC=1 0,故 O C A C,且 对 于 线 段 A C 上 任 意 点 P,有 O P O C A C 而 小 艇 的 最 高 航 行 速 度 只 能

27、达 到 30海 里/小 时，故 小 艇 与 轮 船 不 可 能 在 A,C 之 间(包 含 C)的 任 意 位 置 相 遇.设 Z C O D=8(0。90),则 在 RtkCOD中，CD=10Gtan6,0。=”史，由 于 从 出 发 到 相 遇，轮 船 与 小 艇 所 需 要 的 时 间 分 COS。口 3 10+1 0 6 tan。由 loV3 rrrl 10+1073 t a n 105/3.八 丁 和 别 为/=-和 f=-，所 以，-=-，由 此 可 得，30 vcos0 30 vcosff丫=应|_，又 v W 3 0,故 sin(。+30)2 走，从 而，30 W9 90,由

28、于 sin(e+30)26=30时，tan 6 取 得 最 小 值，且 最 小 值 为 走，于 是，当 e=30时，310+10 6 tan。30取 得 最 小 值，且 最 小 值 为 士 23解 法 三:(I)同 解 法 一 或 解 法 二(II)设 小 艇 与 轮 船 在 B 处 相 遇.依 据 题 意 得:v2t2=400+900产-2,20 30八 cos(90-30),(v2-900)/2+600r-400=0(1)若 0 v 3 0,则 由=360000+1600(/-900)=1600(d675)20得 V 2 1 5 J L 从 而,-300 20&-675v2-900ve 1

29、5疯 30)当-二 3 更 时 令 x=J 7 二 布 则，。5)t=.-3 0-20 x=二 士，当 且 仅 当 无=(J即 u=1 5 g 时 等 号 成 立.%2-225 x-15 32-300+20VV2-675 巾 皿 一 田 2,4 当 t=-时，同 理 可 得 一 22(2)若 v=3 0,贝！f=,综 合(1)、(2)可 知，当 u=30时，t取 最 小 值，且 最 小 32值 等 于 一，此 时，在 A O A B 中，04=0 8=4 8=2 0,故 可 设 计 航 行 方 案 如 3下：航 行 方 向 为 北 偏 东 30,航 行 速 度 为 30海 里/小 时，小 艇

30、能 以 最 短 时 间 与 轮 船 相 遇.20.本 小 题 主 要 考 查 函 数、导 数、定 积 分 等 基 础 知 识，考 查 抽 象 概 括 能 力、推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力，考 查 函 数 与 方 程 思 想、数 形 结 合 思 想、化 归 与 转 化 思 想、特 殊 与 一 般 思 想.满 分 14分.解 法 一：(I)(i)有 f(x)=x：-x 得 f(x)=3x2-1=3(x-)(x+.3 3当 x(8,也)和(也，+8)时，广(x)0；当 xw(也，吏)时，f(x)0.3 3 3 3因 此,/U)的 单 调 递 增 区 间 为(-8,-苧)和(ii)曲

31、 线 C 在 点 P,处 的 切 线 方 程 为 y=(3xi2-l)(x-xD+x-Xi,即 y=(3x/-l)x-2 x.y=(3xi-l)x-2xi，由=W X3-X=(3XI2-1)X-2 x 即(x-xi)2(X+2XI)=0,解 得 x=xi 或 x=-2xi,故 X2=-2XI.进 而 有 SI=J*+2；)dx=|(十 J+2小)用 X2代 替 X,重 复 上 述 计 算 过 程，可 得 X3=-2X2和 S2=q-x；.77x16 v I又 X2=-2X#0,所 以 S2=一 H 0,因 此 有 立=.4 52 16(II)记 函 数 g(x)=ax，bx2+cx+d(a H

32、 O)的 图 像 为 曲 线 C,类 似 于(I)(ii)的 正 确 命 题 为：若 对 于 任 意 不 等 于-2 的 实 数 X,曲 线 C 与 其 在 点 巴(xi,g(x,)处 的 切 线 交 于 另 3a一 点 P2(X2,g(X2),曲 线 C 与 其 在 点 P2处 的 切 线 交 于 另 一 点 P3(X3,g(X3),线 段 P R、P2P3与 曲 线 C 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 分 别 记 为 S“S2,则 立 为 定 值.证 明 如 下：因 为 平 移 变 换 不 改 变 面 积 的 大 小，故 可 将 曲 线 y=g(x)的 对 称 中 心 标 原 点，

33、因 而 不 妨 设 g(x)=g(x2)，曲 线 C 与 其 在 点 P2处 的 切 线 交 于 另 一 点 P3(X3,g(X3),线 段 P R、P2P3与 曲 线 C 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 分 别 记 为 S2,则 为 定 值.邑 证 明 如 下：由 g(x)=o?+6+，(。)得/(幻=3ax2+26x+c,所 以 曲 线 C 在 点(.,虱 航)处 的 切 线 方 程 为 y=+2k+c)x-2ax：+4由 p=工+白/得(M f)心+4)+6=0,ly=(3 M+26父 i+c)%-2ax；+d 17 1 v 17 J,或-2xlf 即 均=-2 ZM 故 Q a

34、-I 尸 i.唾.I(3ax.+6)4Si=|ax3+Ax2-(3ax：*26x:)x+2a”：+屉：Jx 产-rr5-,IJ”I 12a用 X2代 替 X”重 复 上 述 计 算 过 程，可 得 X3=_ 2 _ 2 逢 和 5,=(3+初 4a 12。_ b 口 b又 X2=-2尤 且 X W-,a 3a所 以 2=(3OX2+b)_(-6ax1 2/?)4 _ 16(3町+/?)，o,故 q=J_iS2 1612/12/12a321.(1)选 修 4-2：矩 阵 与 变 换 本 小 题 主 要 考 查 矩 阵 与 变 换 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力.满 分 7 分

35、.解 法 一：.c+0=2,12+=0,16c+0=-2(I)由 题 设 得：匕 6+。=0.a=-1.6=-1,c解 得(II)因 为 矩 阵 M 为 对 应 的 线 性 变 换 将 直 线 变 成 直 线(或 点)，所 以 可 取 直 线 y=3x上 的 两 点(0,0),(1,3),由 丁(;)=(-力 得:点(0,0),(1,3)在 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 的 像 是 点(0,0),(-2,2).从 而，直 线 y=3x在 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 的 像 的 方 程 为 y=-x.解 法 二：(I)同 解 法 一.(II)

36、设 直 线 y=3x上 的 任 意 点(x,y)在 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 的 像 是 点(x,y),由:一 册)=仁 工 加(4)得 八 F 即 点(t t y 上 由(X,y)的 任 意 性 可 知，直 线 y=3x在 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 的 像 的 方 程 为 y=-x.(2)选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 本 小 题 主 要 考 查 直 线 的 参 数 方 程、圆 的 极 坐 标 方 程、直 线 与 圆 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力.满 分 7 分.解 法 一：

37、(1)由=2 6 而 6,得；+y*-2用 0,故 可 设“，匕 是 上 述 方 程 的 两 实 根，所 以 小+“=产，U|G=4.又 直 线/过 点 尸(3,6),故 由 上 式 及 t 的 几 何 意 义 得 1以 1+加 8 IM+H l i+4=3：解 法 二:(I)同 解 法 一.(II)因 为 圆 C 的 圆 心 为(0,加),半 径 r=J5,直 线 1 的 普 通 方 程 为:y=-x+3+V5.由 工 一+(y-j5)、5,得/_3工+2=0.y=-x+3+5解 得:x=l 卜=2,y=2+而 或 丁=1+6不 妨 设 A(1,2+JF),B(2,1+J F),又 点 P

38、的 坐 标 为(3,石),故|PA|+|28|=点+衣=3立(3)选 修 4-5：不 等 式 若 讲 本 小 鹿 主 要 考 衣 绝 对 值 的 意 义、绝 对 他 不 等 式 等 基 明 知 识，老 式 运 算 求 解 能 力.满 分 7 分.解 法 一：(I)由/(幻 G3 得|x-a|&3,解 得 a-3=G3.a 3=-1,又 已 知 不 等 式 f(x)W 3 的 解 集 为 x|i w 九 W 5,所 以 1+3=5,解 得 a=2.(II)当 a=2 时,f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+5),于 是-2x-1,x 2.所 以 当“5；当-3W#W2 时，g(

39、幻=5；当 x 2时，g(“)5.综 上 可 得，g(x)的 最 小 值 为 5.从 而，若 f(x)+f(x+5)2 m 即 g(x)2 m 对 一 切 实 数 x 恒 成 立，则 m 的 取 值 范 围 为(-8,5.解 法 二：(I)同 解 法 一.(II)当 a=2 时，f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+5).由|x-2|+|x+3|2|(x-2)-(x+3)I=5(当 且 仅 当-3x2 时 等 号 成 立)得，g(x)的 最 小 值 为 5.从 而，若 f(x)+f(x+5)2 m 即 g(x)2 m 对 一 切 实 数 x 恒 成 立，则 m 的 取 值 范

40、围 为(-8,5.2010年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(湖 南 卷)数 学(理 工 农 医 类)V=-S h参 考 公 式：锥 体 的 体 积 公 式 为 3,其 中 S 是 锥 体 的 底 面 积，是 锥 体 的 高.一、选 择 题：本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 集 合“则 人 M=N R N q M c M PIN=2,3 M U N=1,42.下 列 命 题 中 的 假 命 题 是 A.V x e R,2l-,0 B.Vx

41、e N*,（1）一。Q Sxe R,1g I D.玉 R,tanx=2j x=-1 t,3.极 坐 标 方 程 夕=csO和 参 数 方 程 1y=2+3f&为 参 数）所 表 示 的 图 形 分 别 是 A.圆、直 线 B.直 线、圆 C.圆、圆 D.直 线、直 线 4.在 RtAABC 中，NC=90,AC=4,则 荏 口 花 等 于 A.-1 6 B.一 8 c.8 D.165.等 于 A.-2 In2 B.21n2 c.-I n 2 D.In26.在 中，角 A,B,C 所 对 的 边 长 分 别 为 a,b,c.若 NC=120,c=缶，贝 i jA.ab B.abC.a=b D.a

42、 与 b 的 大 小 关 系 不 能 确 定 7.在 某 种 信 息 传 输 过 程 中，用 4 个 数 字 的 一 个 排 列（数 字 允 许 重 复）表 示 一 个 信 息，不 同 排 列 表 示 不 同 信 息，若 所 用 数 字 只 有。和 1,则 与 信 息 0110至 多 有 两 个 对 应 位 置 上 的 数 字 相 同 的 信 息 个 数 为 A.10 B.1 1 C.12 D.158.用 m in。，加 表 示 a,b 两 数 中 的 最 小 值，若 函 数/（*）=m in（|x|,|x+|的 图 象 关 于 直 1X=线 2 对 称，则 t 的 值 为 A.-2 B.2

43、C.-1 D.1二、填 空 题：本 大 题 共 7 小 题，每 小 题 5 分，共 35分.把 答 案 填 在 答 题 卡 中 对 应 题 号 后 的 横 线 上.9.己 知 一 种 材 料 的 最 佳 加 入 量 在 110g到 210g之 间.若 用 0.618法 安 排 试 验，则 第 一 次 试 点 的 加 入 量 可 以 是 10.如 图 1所 示，过。外 一 点 P 作 一 直 线 与。交 于 A,B两 点.已 知 PA=2,点 P 到。O 的 切 线 长 P T=4,则 弦 AB的 长 为 11.在 区 间-1,2 上 随 机 取 一 个 数 x,则 尤 区 1的 概 率 为 图

44、 112.图 2 是 求 I2+2?+3?+1002的 值 的 程 序 框 图，则 正 整 数 错 误!13.图 3 中 的 三 个 直 角 三 角 形 是 一 个 体 积 为 20cm3的 几 何 体 的 三 视 图，则=cm.14.过 抛 物 线 尤 2=2py（p 0）的 焦 点 作 斜 率 为 1的 直 线 与 该 抛 物 线 交 于 A 8 两 点，4 B 在 X 轴 上 的 正 射 影 分 别 为 R C.若 梯 形 A 8 C O 的 面 积 为 12垃，则=15.若 数 列 满 足：对 任 意 的 e N”,只 有 有 限 个 正 整 数 机 使 得 4 成 立，记 这 样 的

45、 机 的 个 数 为（4）*,则 得 到 一 个 新 数 列（%）.例 如，若 数 列 凡 是 12,3，则 数 列（*是 0，1，2,，-1,已 知 对 任 意 的 eN*,%=,则（）*=,（%）*）*=三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 75分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.16.（本 小 题 满 分 12分）已 知 函 数/（x）=6 s i n 2 x 2 s i n.（1）求 函 数/（*）的 最 大 值；（II）求 函 数 A）的 零 点 集 合.17.（本 小 题 满 分 12分）图 4 是 某 城 市 通 过 抽 样 得

46、到 的 居 民 某 年 的 月 均 用 水 量（单 位：吨）的 频 率 分 布 直 方 图.（I）求 直 方 图 中 x 的 值；（II）若 将 频 率 视 为 概 率，从 这 个 城 市 随 机 抽 取 3 位 居 民（看 作 有 放 回 的 抽 样），求 月 均 用 水 量 在 3 至 4 吨 的 居 民 数 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.18.（本 小 题 满 分 12分）如 图 5 所 示，在 正 方 体 A B C D-A1B1C1D1中，E 是 棱 D D 1 的 中 点.-（I）求 直 线 B E 和 平 面 ABB1A1所 成 角 的 正 弦 值；（II）在 棱 C1

47、D1上 是 否 存 在 一 点 F,使 B1F/平 面 A1BE?J _证 明 你 的 结 论.:一 一 丁 _月 埼 制 水 鱼/冷 S 419.（本 小 题 满 分 13分）为 了 考 察 冰 川 的 融 化 状 况，一 支 科 考 队 在 某 冰 川 上 相 距 8km的 A,B 两 点 各 建 一 个 考 察 基 地.视 冰 川 面 为 平 面 形，以 过 A,B 两 点 的 直 线 为 x 轴，线 段 AB的 垂 直 平 分 线 为 y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系（图 6）.在 直 线 述 光=2 的 右 侧，考 察 范 围 为 到 点 B 的 距 离 不 超 过 5 k

48、 m 的 区 域；在 直 线 x=2 的 左 侧，考 察 范 围 为 到 A,B 两 点 的 距 离 之 和 不 超 过 4 6 k m 的 区 域.（I）求 考 察 区 域 边 界 曲 线 的 方 程；（II）如 图 6 所 示，设 线 段 鸟，鸟 A 是 冰 川 的 部 分 边 界 线（不 考 虑 其 他 边 界），当 冰 川 融 化 时，边 界 线 沿 与 其 垂 直 的 方 向 朝 考 察 区 域 平 行 移 动，第 一 年 移 动 0.2km,以 后 每 年 移 动 的 距 离 为 前 一 年 的 2 倍，求 冰 川 边 界 线 移 动 到 考 察 区 域 所 需 的 最 短 时 间

49、.20.（本 小 题 满 分 1 3 分）己 知 函 数/（*）=/+x+c S，ce A）,对 任 意 x e R,恒 有（D 证 明：当 时，/（x）（x+c）2;（I D 若 对 满 足 题 设 条 件 的 任 意 c,不 等 式 一）恒 成 立，求 M 的 最 小 值.21.（本 小 题 满 分 1 3 分）数 列%（）中，=a,an+是 函 数,（x）=J（3%+/J）/+3%,/.3 2 的 极 小 值 点.（I）当 a=0时，求 通 项“”（II）是 否 存 在 a,使 数 列 伍 是 等 比 数 列？若 存 在，求 a 的 取 值 范 围；若 不 存 在，请 说 明 理 由.参

50、 考 答 案 一、选 择 题：14 CBAD 58 DABD二、填 空 题：9.171.81 或 48.2 10.62T 211.3 12.100 13.414.2 15.2,三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 75分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.T C16.解：（I）因 为 八 幻 二 百 sin2x_（l_cos2x）=sm（2x+k）_l,所 以，当 6.K.兀 2x d-=2k7T d-2,即 兀 x=kjr-(ke Z),6 时，函 数/(刈 取 得 最 大 值 1.(II)解 法 1 由.小 万、1 及/，(/X、)=n 得