课改后全国数学高考试题1.pdf

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1、2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理科(数学)参考公式：锥体的体积公式v 其中s是锥体的底面积，/是锥体的高.3如果事件4 B 互 斥,那么P(4+3)=P(/)+P(B).如果事件4 8相互独立，那么P(加8)=P(/)CP(8).用最小二乘法求线性回归方程系数公式2=号-，a =y-h x.n xI=I一、选择题:本大题共8 小题，每小题5 分，满 分 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知函数/(x)=1dl x的定义域为M,g(x)=l n(l +x)的定义域为N,则 M D N=(A)x|x-l (B)x x l (C)x|-l x l

2、 (D)0答案：C；2.若 复 数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 为实数)，则 6=(A)-2(B)-1 (C)|(D)2答 案:B；解析：(1+bi)(2+i 尸(2-b)+(2b+l)i,故 2b+l=0,故选 B；3.若函数/(x)=s i n2x-g(x e R),则 f(x)是(A)最小正周期为主的奇函数；(B)最小正周期为乃的奇函数；2(C)最小正周期为27的偶函数；(D)最小正周期为 的偶函数；答案：D；4 .客车从甲地以6 0 km/h 的速度行驶1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度行驶1 小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经

3、过乙地，最后到达丙地所经过的路 程 s 与 时 间 t 之间的关系图象中，正 确 的 是C.D.答案：C；5.已知数列 为的前n 项和S.=/-9 ,第 k 项满足5%8,则 k=(A)9(B)8(C)7(D)6答案：B；解析：此数列为等差数列，a=S-S_t=2 n-1 0,由 5 2k-108得至U k=8.6.图 1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A?、.Ai。(如 A2表示身高(单位：c m)在150,155)内的人数.图2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160-180cm(含160cm

4、,不 含 180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是(A)i6(B)i7(C)i8(D)i 0)的焦点，则 该 抛 物 线 的 准 线 方 程 是；答案：x=-2；解析：O A的垂直平分线的方程是y =-2(x-l),令 y=0 得到x=3;4 2 41 2 .如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条,这些直线中共有了()对异面直线，则4)=；f(n)=(答案用数字或n 的解析式表示)答案：;8;n(n-2).解析：；/(4)=4 x2 =8;)=(-2)1 3 .(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系x O y 中，直线1 的参数方程

5、为(参 数 t W R),圆 C的参数方程为尸=cos。(参数0 0,2 句)，则圆C的圆心坐标为 y =2 si n6 +2，圆心到直线1 的距离为.答案：(0,2)；2 72 .解析：直线的方程为x+y-6=0,1=与？=2&;V21 4 .(不等式选讲选做题)设函数x)=|2 x-l|+x+3,则/(-2)=；若/(x)V5,贝 U x 的取值范围是;答案：6；-1,1 1 5 .几何证明选讲选做题 如图所示，圆。的直径为6,C为圆周上一点B C=3,过C作圆的切线1,过 A作 1 的垂 线 AD,垂足为D,则N D A C=；线 段 AE的长为.答案：-53.解 析：根据弦切角等于夹弧

6、所对的圆周角6及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案；A E=E C=B C=3；三、解答题1 6 .(本小题满分1 2 分)己知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C (c,0)(1 )若 c=5,求 si nN A 的值；(2 )若NA为钝角，求 c 的取值范围；解析：(1)A8=(-3,-4),JC =(c-3,-4),若 c=5,则 而=(2,-4),/A A7 Tn O十 10 1 ,/八一乙 cos/A=cos=-产=产,sin NA-；5x2V5 V5 5(2)若/A 为钝角，则 尸 c+9+16 竺，.人的取值范围是(史代);cwO 3 31 7.下表提

7、供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据X3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图;(2 )请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y=+1(3)已知该厂技术改造前1 0 0 吨甲产品能耗为9 0 吨标准煤；试 根 据(2)求出的线性回归方程，预测生产1 0 0 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(3X2.5+4X3+5X4+6X4.5=66.5)解析：(1)略；(2)方 法 1 (不作要求)：设线性回归方程为y=bx+“，则f(a,b)=(3b+a-2.5)2+(4b+a-3)

8、2+(56+a-4)2+(6b+a-4.5)2=4a2+2a(l 86-14)+(3b-2.5)2+(4b-3)2+(5a-4)2+(6b-4.5)2a J;=3.5-4.56 时，f(a,b)取 得 最 小 值(1.56-1)2+(0.5/)-0.5)2+(0.5A-0.5)2+(1.56-1)2 B|J 0.5(3/-2)2+b-1)2 =5/2-7 b+-,/,=0,7,a=0.35时 f(a,b)取得最小值；所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；方法2：由系数公式可知，I=4.5,工=3 5 G =66.5-史45芋5=66.5-63=。?86-4 x 4.52 5Z=3.5-0.

9、7xg=0.35,所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；(3 )x=l 0 0 时，y=0.7x+0.35=70.35,所以预测生产1 0 0 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低1 9.6 5 吨标准煤.1 8.(本小题满分14分)在 直 角 坐 标 系 xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2 应 的 圆 C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆，+9=1 与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q,使 Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段O F的长，若存在求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)圆 C：(*+2

10、+(,-2)2=8；(2)由条件可知a=5,椭圆Y上+Lv2=1,；.F(4,0),若存在，则 F 在 O Q 的中垂线25 9上，又 O、Q 在圆C 上，所 以 0、Q 关于直线C F对称；直线C F 的方程为y-l=-g(x-l),即 x +3 y-4 =0,设 Q(x,y),贝.,，解得，二 型-4 =0.2 2_ 4；2所以存在，Q的坐标为(土乜).1 9.(本小题满分1 4 分)如 图 6所示，等腰三角形AABC的底边A B=6 6，高 C D=3,点 E是线段BD上异于B、D的动点，点 F在 BC边上，且 E F _ L A B,现沿E F 将4BEF折起到 P E F 的位置，使

11、 P E L A E,记 B E=x,V(x)表示四棱锥P-A C E F 的体积.(1)求 V(x)的表达式；当 x为何值时,V(x)取得最大值？(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与 P F 所成角的余弦值.(1)由折起的过程可知，P E _ L 平面A B C ,S 1Mc=9 瓜，ABEF XV(x)=x(9 -x2)(0 x 0 ,V(x)单 调 递 增;6 V x 3 6 时3 4v (x)0 ，V(x)单调递减；因此x=6 时，V(x)取得最大值1 2 遥;(3)过 F作 M F/A C 交 AD与 M,则 也 =竺=四 =空,A/B =2 8 =1 2,P M=6 上,

12、AB BC BD 1AB2M F =BF=PF=S C =V5 4 +9 =V5 2 ,3 V6 3在 P F M 中，8 5/尸/必=生 2=2,.异面直线AC与 P F 所成角的余弦值为2；4 2 7 72 0.(本题满分1 4 分)已 知 a是实数，函数/(x)=2-+2 x-3-a ,如果函数y =/(x)在区间-1,1 上有零点，求实数a的取值范围.解 析 1：函数y =/(x)在区间-1,1 上有零点，即方程/。)=2尔2+2X _ 3-=0在-1,1 上有解，a=0 时,不符合题意，所 以 a W O,方 程 f(x)=O 在-1,1 上有解4 0 或 叭-1)20叭 1 R 0

13、 _3_/y _3_/y-A =4 +8a(3+a)2 0 o 14 4 4 5或 a 4，或 a 2 5 o a -或 a e l.-e -l.l、a所以实数a的 取 值 范 围 是 土 包 或 a 2l.2解析2：a=0时，不符合题意，所以a W O,又；/(x)=la x2+2x 3 t z =0 在 -1,1 上 有 解，o(2x2 )a =3 2x 在 1 ,1 上有解=二1在卜i,i上有解，问题转化为求函数夕=生二1-1,1上的值域；设t=3-2x,xa 3 2x 3-2xe-l,1 ,则 2x=3-7,tG l,5,y=；.(T；2=；+/_ 6),7 f 2 _ 7设 g(，)

14、=，+.gQ)=，0 1近 时,g )0,t t此函数g(t)单调递增，y的取值范围是丽-3,1,./(x)=2ox2+2x-3-a=0在-1,1上有解0，e 77-3,1 !a 22 1.(本题满分14分)已知函数/a)=V+x-l,a,夕是方程人x尸0的两个根。夕)，/(X)是Xx)的导数；设q=l,*=a,-(n=l,2,.)(1)求a,/的值；(2)证明：对任意的正整数n,都有a“a；(3)记b“=ln%二2 (n=l,2,),求数列 bn的前n项和S。.解析:(l)V/(x)=x2+x-l,a,/?是方程火 x)=0 的两个根(a ),；.a=7+J ,0=二 1丁(2)f*(x)=

15、2x+l2%+1+l)+；(2a +1)一(5=；(24+l)+q=l,有 基 本 不 等 式 可 知 当 且 仅 当 卬=2时取等号)，a2 0 同，a3 -.，an -=a(n=l,2,.),2 2 2(3)一+i 一夕=%-夕-吐a)(a“一 )=上g +1+a),而 a+/=-l,即 a+l=-,2a“+l 2 a+l%=转 同理总a=(aa),，+|=2，又a=ln =ln i =2 1 n 2 a+l+,1 l-a 3-b 2S,=2(2-1)In 柠 叵2007年普通高等学校招生全国统一考试(海南、宁夏)数学(理科)参考公式：样本数据玉，X2，X”的标准差：s=(X1 X)2+(

16、工2-X)2+-,+(X-X)2V n锥体体积公式:V-Sh3其中康为样本平均数 其中S为底面面积、。为高柱体体积公式：球的表面积、体积公式：,4 ,V=Sh S=4nR?,昨 一 兀23其中S为底面面积，%为高 其中H为球的半径第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知命题p:V x w R,s i n x W l,则()A.-i/?:e R,s i n x Nl B .p:Xfxe R,s i n x NlC .p :3XG R,s i n x 1 D.VXG R,s i n x l1 32.已知平面向量a =(l,l

17、D=(1,一 1),则向量5 a-5 5=()A.(2,1)B .(2,1)C .(1,0)D .(1,2)4.已知%是等差数列，为)=1 0,其 前 10项和S o=7O,则 其 公 差=()2 112A.一一 B.一 一 C.-D.-3 3 3 35.如果执行右面的程序框图，那么输出的S=()A.24 50 B.2500C.2550 D.26 526 .已知抛物线V=2 p x(p 0)的焦点为尸，点 0，y 0,x,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列，则(a +b)-一的最小值是（）A.0 B.1C.28.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的 尺 寸（单位：cm）,可得这个

18、几何体的体积是A.B.)4 000 3-cm38000 3-cm 3C.2000cm3D.4 000cm3D.4()9.什 co s 2a-T4s i n兀a46，则co s a +s i n a的值为2A 币A.-2B-4C-ID.VV 710.曲线y =e?在点（4,e?）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（)A.|e2B.4 e2 C.2 e2 D.e21 1.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭2 0次，三人的测”$2，S 3分别表示甲、乙、甲的成绩环数7 8 91 0频数5 5 5 5乙的成绩环数7 8 91 0频数6 4 4 6试成绩如下表丙的成绩环数7 8 91 0频数4

19、6 6 4丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则 有（）A .53 5 S2 B .邑 S S 3 c .S$2 S 3 D .S2 S3 5,1 2.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为4,h2,h,则%:：。=（)A.7 3:1:1 B.7 3:2:2 C.V 3:2：V 2 D.G：2：6第I I卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 1 3 题一第2 1 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 2 2 题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4

20、小题，每小题5分.）1 3 .已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为1 4 .设函数/（x）=P+D 为奇函数,则。=.1 5 .2.是虚数单位，5+1O-=_.（用4的形式表示，a,be R）3 +4 z1 6 .某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种.（用数字作答）三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）1 7 .（本小题满分1 2 分）如图，测量河对岸的塔高48时，可以选与塔底8在同一水平面内的两个测点C与。.现测得=4 B D C =%C D =s,并在点C测得塔顶

21、Z的仰角为。，求塔高1 8 .（本小题满分1 2 分）如图，在三棱锥S Z8C中，X.Z侧面S 4 5 与侧面S/C均为等边三角形，/历 1 C =9O,口 4。为 8c中点.（I ）证明：S O J L 平面Z3C；（H）求二面角/一S C -8的余弦值.1 9.（本小题满分1 2 分）在平面直角坐标系x Q y 中，经过点（0,a）且斜率为左的直线/与V-2椭圆彳+/=1 有两个不同的交点P和。.（I）求人的取值范围；（I I）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为4 B,是否存在常数左，使得向量丽+丽与 荔 共 线？如果存在，求比值；如果不存在，请说明理由.2 0.（本小题满分1 2

22、 分）如图，面积为S的正方形Z 8 C。中-,C有一个不规则的图形“，可按下面方法估计用的面积：在正方形Z 8 C。中随机投掷个点，若个点中有加个点落入M 中，则V 的面积的估计值为二S,假 设 正 方 形 的AB边长为2,M的面积为1,并向正方形/8 C。中随机投掷1 0000个点，以X表 示 落 入 中的点的数目.(I)求X的均值E X；(I I)求 用 以 上 方 法 估 计M的 面 积 时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(一0.03,0.03)内的概率.k附表：P(k)=Z C W0cx 0.25 *0.75侬 -f=021.(本小题满分12分)k2424242525 7425 7

23、5P(k)0.04030.04230.9 5 700.9 5 9 0设函数/(x)=l n(x +a)+x2(I)若当x =-1时，/(x)取得极值，求。的值，并讨论/(x)的单调性;(I D若/(x)存在极值，求。的取值范围，并证明所有极值之和大于I n .22.请考生在4 B,。三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.A (本小题满分10分)选 修41：几何证明选讲如图，已知ZP是口。的切线，。为切点，NC是口0的割线，与口。交于A C两点，圆心。在/尸/C的内部，点“是8 C的中点.(I )证明4 P,O,M四点共圆

24、；(I I)求 NO A M+NA P M 的大小.22.B (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程口和口&的极坐标方程分别为0 =4c o s&p =_ 4s i n d.(I )把口。和口 02的极坐标方程化为直角坐标方程；(I I)求经过口 g,02交点的直线的直角坐标方程.22.C(本小题满分10分)选 修4-5；不等式选讲设函数/(x)=|2x +l|-k 4.(I)解不等式/(x)2；(I I)求函数歹=/(x)的最小值.2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C7.D 8.B 9.C 10.D 11.

25、B 12.B二、填空题13.3 14.-1 15.l+2i 16.240三 解答题1 7.解：在中,ACBD=n-a-/3.由正弦定理得BCsin Z BDCCDsin N CBD所以 8C=(s in/BDQ=上sip/?在 RtZ4?C 中，sin Z.CBD sin(a+0)“n M stan OsinOAB=BC tan Z ACB=-.sin(a+)18.证明：(I)由题设Z8=/C=S6=SC=S N,连结CM,Z 8C为等腰直角三角形，所以04=08 =0。=J”,2且Z 0 _ L 8 C,又aS B C为等腰三角形，故S 0 _ L 8 C,且5SO=SA,/AOA2+SO2

26、-SA2.所以S O/为直角三角形，S O 1 A O .2又AOCBO=O.所以SO_L平面N8C.(II)解法一：取SC中点V ,连结0 M ,由(I)知SO=OG S A A C,得O M1 SC,A M SC.：.Z O M A 为 二 面 角 A-S C-B 的 平 面 角.由AOLBC,AO SO,SOP!8c=0 得 A O 1 平面 SBC.所以 AOA.OM ,又A M SA,故s i n N AM O=9=立.所以二面角4一5。一8的余弦值为2 A M M 3百T-解法二:以。为坐标原点，射线。8分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O-x y z.设8(1,0

27、,0),则。(一1,0,0),4(0,1,0),5(0,0,1).SC 的 中 点M O 0,(万1 -)s C (1 0 1).二 M O-SC=0,M A-SC=0.故MO_LSC,M A SC,而，必 等于二面角/一SC 8的平面角.c o s =哗里=、5,所以二面角/S C-8的余弦值为也.33M O V M A19 .解：（I ）由己知条件，直线/的方程为丁 =去+3,2 代入椭圆方程得三+（日+/）2=1.整理得（；+公）1+2行 自+1 =0直线/与椭圆有两个不同的交点P和0等价于 =8-一4；+公）=4/一2 0,解得左一 注 或 即%的 取 值 范 围 为一 8,-luf.

28、+2 乂 2V2、OO2227(I I)设 P(X 1,y),Q(X2,y2),则。P +O 0 =(X 1+w，y+y2),4岳由方程，+x2=-1 +2公又凹+%=k(x+x2)+2 2.而 A(6,0),B(0A),AB=(-y/2,l).所以O P+O Q 与万共线等价于%+“2=+必），将代入上式,解得k=.由（I）知左 -,故没有符合题意的常数八20.解：每个点落入A 1中的概率均为p =L4.依题意知X台10000,；）.(I )E X =l OOOOx=25 00.4（II）依 题 意 所 求 概 率 为0.03（上 匚 义4一10.03 ,I 10000 J-0.03 x 4

29、-1 0.03 1 =尸(2425 X 25 7 5)I 10000 J=E CxO xO J S0000-1(=242625 7 4 2425=E 0000 x 0.25z x O.7 510000-X o o o o x O.251 x O.7 510000-1=2426/=00.95 7 0-0.0423 =0.9147.1 121.解：(I)/(x)=+2x ,依 题 意 有/(1)=0,故a=2.从而x +a 2j.,.、2.X +3x+1(2%+1)(X+1)j.，x A A r J-,/j(3、r,3 ,/(x)=-=-/(x)的定义域为一-,+8 ,当一一 X 0；当1 x 5

30、 时，/(x)时，/(x)0.从而，/(X)分别在区间(一|，-，(；，+8)单调增加，在 区 间 单 调 减 少.(JI)/(%)的定义域为(a,+8),/“(X)=.2二+2X+1.方程 2/+2ax +1 =0 的判别x +a式A =4/一 8.(i )若 八 0,即 血 a 0,故/(%)的 极 值.(i i )若 A =0,则 a V 2 或 a=V 2.若 a =V 2,x G (V 2 +0)r(x)=(心 害.当x =_也 时，/(x)=0,当x e f 也 u 也，+8 1时,x +6 2 I 2 乂 2 J/(x)0,所以/(x)无极值.若 a=&,x (屈 +8),r(x

31、)=巫二L)o,/(x)x-y/2也无极值.(i i i)若 (),即a 正 或a J I,则2x?+2ax +l =0有两个不同的实根-a y la2 2x,=-1 2“+.当。-y/2 时，xi -a,x2&时，xx-a ,x2-a ,fx)在/(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知/(x)在X=Xp x =2取得极值.综 上，/(x)存 在 极 值 时，a的 取 值范围为(V 2,+o0)./(x)的极值之和为B:MC于是/(%)+f(x2)-l n(Xj +a)+x；+l n(x2+a)+x22=In；+/_ 22.A(I )证明：连结。尸，O M.因为尸与口。相切于点、P

32、 ,所 以O P J _/P.因 为M是 O的 弦8 C的 中 点，所 以。M JLBC.Z O P A +Z O M A =ISO.由圆心。在N P Z C的内部，可知四边形Z P O M的对角互补,所以4 P,O,M四点共圆.（H）解：由（I ）得4 P,O,M四点共圆，所以.由（I ）得O P L A P .由 圆 心。在N P/C的 内 部，可 知N O P M +N Z P M =90 .所以ZO A M +Z A P M 9 0.22.B解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（I ）x =p c o s ff,y=s i n。,由 p=

33、4c os）得p2=4p c os 6 .所以x +/=4 x.即/+-4x =o为口 q的直角坐标方程.同理/+/+4y =o为口 a2的直角坐标方程.x2+y2-4x =0,f x,=0,f x,=2（H）由 ,二 解得 x2+y2+4y =0 =0,y2=-2即口 Oi，口。2交于点（，）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为歹=x.22.C 解：(I )令y =|2x +l|_|x _ 4|,则-x -5,y =3 x -3,x +5,21 ,-x 2的解集为（.x,_ 7）U（+x）.（II）由函数 =|2x +l卜,一4|的图像可知，当=一；时，=|2+1卜卜一4|取得最小值

34、一?.2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数 学（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）若2=8 5。+15由。（i为虚数单位），则使z 2=l的。值可能是（）7 C 7 T 7 C 7 TA.-B.-C.-D.一6 4 3 2（2）已 知 集 合 用=-1,1,=x-2v+1 0 D.对任意的 x e R,x3-x2+1 0（8）某班5 0名学生在一次百米测试中，成绩全部介于1 3秒与1 9秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于1 3秒且小于1 4秒；第二组，成

35、绩大于等于1 4秒且小于1 5秒：第六组，成绩大于等于1 8秒且小于等于1 9秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于1 7秒的学生人数占全班总人数的百分比为X,成绩大于等于1 5秒 且 小 于1 7秒的学生人数为y,则从频率分布直方图中可分析出x和歹分别为（）A.0.9,3 5 B.0.9,4 5C.0.1,3 5 D.0.1,4 5（9）下列各小题中，p是 的 充 要 条 件 的 是（）p：加-2 或加6；q：y=x?+/n x +”?+3 有两个不同的零点.p :=1 ；q.y=/(X)是偶函数./(x)p:c o s a=c o s /3；q:t a n a=t a n

36、 .p-.Ar B=A-,q-.Bc,VA.A.（D B.C.D.（1 0）阅读右边的程序框图，若输入的是1 0 0,则输出的变量S 和 T 的值依次是（）A.2 5 0 0,2 5 0 0 B.2 5 5 0,2 5 5 0C.2 5 0 0,2 5 5 0 D.2 5 5 0,2 5 0 0,（1 1）在直角 Z B C 中，CD是斜边N8 上的高，则下列等式不成立的是（）A.国，就荻C.1 7|2=A O TDB.|5 c|2=5 J 0 f f C口|小 _（配 而）x（丽 阮）1阿（1 2）位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动:为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是工，2率 是

37、（）质点每次移动一个单位；移动的方向质点尸移动五次后位、于点（2,3）的概第n卷（共 加 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（1 3）设O是坐标原点，/是 抛 物 线 产=2 p x（p 0）的焦点，2是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为6 0,则 网 为.（1 4）设。是不等式组x +2y W 1 0,2 x +_ y 2 3,表示的平面区域，则。中的点尸（x，力 到直线、y Ax +y=1 0 距离的最大值是（1 5）与直线x +y-2 =0和曲线/+_/一I2 x-1 2 y-5 4 =0都相切的半径最小的圆的标准方程是.（1 6）函数歹=l

38、 o g a（x +3）l （0,且Q W1）的 图 象 恒 过 定 点/,若 点4在直线1 2加x +及y +l =O上，其中加 0,则一+一的最小值为.m n三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1 7）（本小题满分1 2分）设数列 g满足q+3%+3 2%+3”=，a&N*.（I ）求数列%的通项;（II）设4=,求数列也 的前项和S”.（1 8）（本小题满分1 2分）设 和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量J表示 方 程/+瓜+。=0实根的个数（重根按一个计）.（I ）求方程/+1+。=0有实根的概率；（II）求J的分布列和数学期望

39、；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程+6:+。=0有实根的概率.（1 9 ）（本 小 题 满 分12分）如 图，在 直 四 棱 柱Z 8 C D 4 4。中，已知DC=DD=2AD=2AB,AD V DC,AB/DC.（I ）设E是。C的中点，求证：QE 平面/乃4；（II）求二面角 G的余弦值.（2 0）（本小题满分1 2分）如图，甲船以每小时3 0 0海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于4处时，乙船位于甲船的北偏西1 05 方向的4处，此时两船相距2 0海里,当甲船航行2 0分钟到达4处时，乙船航行到甲船的北偏西1 2 0方向的与 处，此时两船相

40、距10 0海里,问乙船每小时航行多少海里？（2 1）（本小题满分1 2分）已知椭圆C的中心在坐标原点,到焦点距离的最大值为3,最小值为1 .（I ）求椭圆C的标准方程；（II）若直线/:y =+用 与椭圆C相交于/,3两 点（4 8不是左右顶点），且以45为直径的圆过椭圆。的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.(2 2)(本小题满分1 4分)设函数/(x)=x 2+b l n a +l),其中6/0.(I )当时，判断函数/(x)在定义域上的单调性；(H)求函数/(x)的极值点;(1 1(III)证明对任意的正整数，不等式In +1 一一1都成立.)n n2007年普通高等学校招生

41、全国统一考试(山东卷)理科数学参考答案一 选择题(1)D (2)B(7)C (8)A(3)D(9)D第I卷(4)A (5)A (6)B(1 0)D (1 1)C (1 2)B第n卷二、填空题)与P(1 4)47 2(1 5)(x-2)2+(y-2)2=2(1 6)8三、解答题(1 7)(本小题满分 1 2 分)解：(I ):q +3a 2+3%3+3 )”=g .当“22 时，4+3%+3,+3-2%_ .-得3-%“=；，在中，令”=1，得4=；.4“=*(II),:.bnn 3n.S=3+2 X 32+3 X 33+-+M3),):.3Sn=32+2 x 33+3x 34+-+3,+1.-

42、得/.2Sn=n 3n+-(3+32+33+3n).即 2Sn=/?3n+1-3(1-3)+4(1 8)(本小题满分1 2分)解：(I )由题意知：设基本事件空间为Q,记“方程f+b x +c =0没 有 实 根”为 事 件/,“方 程/+队+。=0有且仅有一个实根”为 事 件8,“方程x2+bx+c=0有两个相异实数”为事件C,则。=3，c)b,c=l,2,6卜/=(b,c)|62-4c2-4 c=0,b,c=1,2,6卜C=(b,c),4c0,b,c=1,2,6 ,所以Q是的基本事件总数为36个，Z中的基本事件总数为17个，5中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个.又因为2 1

43、7 19B,C是互斥事件，故所求概率尸=P(B)+6(C)=一 +=一.36 36 3617 1 17（11）由题意，的可能取值为0,1,2,则y=0=，PM =1=,PM =2=,36 18 36故？的分布列为：1736173617 1 17所以J的数学期望4=0X：+1X-!-+2X：=1.36 18 36(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件。，“方程/+乐+c=0有实数”为事件E,由上面分析得p(o)=U,P(LA)=,p(|z)=p(nn)=.36 36 1 P(D)11(1 9)(本小题满分12分)解法一：(I)连结6 E,则四电形。/6 E为正方形,BE=AD=,且 8E

44、 4。AQ1,四 边 形 为 平 行 四 边 形.。也 4 5.又R E (0,0,0),4(。,0,0),B(a,。,0),C(0,2a,0),储(0,2a,2a),4 (a,0,2a),3(0,0,2a),E(0,a,0).；.R E =(0,a,-2a),DAy-(a,0,2a),D B =(a,a,0),又(0,a,-2a)-(a,a,0)-(a,0,2a),:.DXE -D B-D A.：DAy D B u 平面 ABD,D】E Z 平面 AXB D ,；.D E 平面&B D .(H)取 的 中 点 产，0 G的中点河，连结工厂，F M,由(I )及题意得知：a，,可.(a a f

45、 a aFAm -,-,2 a H a,a,0)=0,F M+D B =一一，一L 2 2)I 2 2/.FA.1 D B ,F M 1 D B ,/.Z A,F M 为所求二面角的平面、,a+(a,a,0)=0 .所以二面角AB D G的余弦值为2 2a a 八2-F 2c r4 43瓜22V 3T解法三：（I）证明：如解法一图，连结AE,设N n 4 O =G,AECBD=F,连结G b,由题意知G是4。的中点，又 是8的中点，四 边 形 是 平 行 四 边 形，故厂是Z E的中点,.在4 E 4 中，GF DE,又 GE u 平面 48 Z）,Z）E又/4 4冬=18 0-120=60,

46、.44 8 2 是等边三角形44乙AB2=44=I 0 V 2,由已知，A31=20 ,Z 514 52=105C-60=45,在&2=中，由余弦定理，/yBBl=4哥+4肉-2AB2a 4B2Q:o s 45c=202+(1 0 V 2)2-2x2O xl o V 2x-=20 0 .:.B也=1。6.因此，乙船的速度的大小 为 小2x6 0 =3 0逝(海里/小时).答：乙船每小时航行3 0加 海里.解 法 二：如 图，连 结4 4，由 已 知4&=2 0,44=3 0日|=1 0匹，/444=1 0 5 ,c o s 1 0 5 =c o s(4 5 +6 0)=c o s 4 5 c

47、o s 6 0 -s i n 4 5 s i n 6 0 =s i n 1 0 5 =s i n(4 5 +6 0)=s i n 4 5 c o s 6 0 0 +c o s 4 5 s i n 6 0=.(l+.在 448中，由余弦定理，4 一=4医+4用-24 8 M 4 I l o s l 0 5。7 2(1-V 3)=(10/2)2+202-2X10V2X20X 立。/)=1 0 0(4 +27 3).4 4 =i o(i+V 3).20 07 2(1 +7 3)=V 21 0(1 +7 3)4 2A B由正弦定理s i n N4 44=，诂/月44=4打.N 4 4 4=4 5。，即

48、 N4 44=6 0；4 5。=1 5。，c o s 1 5。=s i n 1 0 5。=巫包在 4 4名 中，由已知4层=1 0万，由余弦定理,BB；=4哥+2A2BM2B21OS 1 5=1 02(l +V 3)2+(1 0 V 2)2-2x1 0(1 +V3)x l0V2 x 4=20 0.-.5,5,=1 0 7 2,乙船的速度的大小为出正x6 0 =3 0逝海里/小时.答：乙船每220小时航行3 0后 海里.Y V2（21）（本小题满分1 2分）解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为丁+彳=1（。6 0）,a h由已知得：+c =3,a c=1,.a =2,c ,=/c?=3 .,.椭

49、圆的标准方V2程为一+匕=1.4 3（1 1）设4（七，y）,B（X2,乃），联立 0,即3 +4k2-m2Smk+2=一亦，4(小 3)*2=可中.又 yy2=(kX +i n)(kx2+m)=k xx2+mk x+x2)+m2 0,则3(掰 2-4左 2)3+4公因为以为直径的圆过椭圆的右焦点。（2,0）,.3。左9=一1,即 一 乙2卫=1,X 2%2 2、（八 3（/?2-4k2）4（/?2-3）6r n k.1 2 1 2 7 3 +4-3 +4-3 +4 公/.9 m?+1 6加上+4%2=0 .解得：叫=一2左，?2=半，且均满足3 +4左2 一加2 0,当 叫=一2左时，/的方

50、程为y =Z（x-2）,直线过定点（2,0）,与已知矛盾；当 啊=一 当 时，/的方程为直线过定点（5，）所以，直线/过定点，定点坐标为（,，）（2 2）（本 小 题 满 分1 4分）解：（I ）由 题 意 知，/（x）的 定 义 域 为（1,+8）,/,z(x)=2x+=2 x-+2 x +/?设 g(x)=2 2 2x+b,其 图 象 的 对 称 轴 为x+1 x+1x=e(-l,+8),.g a).=g(；=-;+b.当6；时，g(x)max=一;+b 0.即 g（x）=2x2+3 x-b 0 在（-1-8）上恒成立，,当（-1,+8）时，/0，.当时，函数/（X）在定义域（-1,+8）