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1、11.1全等三角形教学目标1 .知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2 .知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等;3 .能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.教学重点全等三角形的性质.教学难点找全等三角形的对应边、对应角.教学过程I .提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗?这两个三角形是完全重合的.2 .学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来,纸样与三角板形状、大小完全一样.3 .获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数
2、学符号.形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同.概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义.仔细阅读课 本 中“全等”符号表示的要求.I I.导入新课利用投影片演示将4A B C沿直线B C平移得a D E F；将4A B C沿B C翻 折1 8 0 得到a D B C；将 A B C 旋转 1 8 0 得A A E D.议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：A B C丝Z D E F,A A B C A D B C,A A B
3、 C A A E D.（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.例1 如图，A O C A A O B D,C和B,A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角.问题：A O C A乌A O B D,说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换
4、可以使两三角形重合？将a O C A翻折可以使4O C A与O B D重 合.因 为C和B、A和D是对应顶点，所 以C和B重合，A和D重合.Z C=Z B；Z A=Z D；Z A O C=Z D O B.A C=D B；O A=O D；O C=O B.总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.例 2 如图，已知4A B E 丝A A C D,Z A D E=Z A E D,ZB=ZC,指出其他的对应边和对应角.分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将4 A B E和4 A C D 从复杂的图形中分离出来.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素
5、，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边.（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.解：对应角为NB A E和NC A D.对应边为A B 与A C、A E与A D、B E与C D.例 3 已知如图4 A B C 之Z A D E,试找出对应边、对应角.（由学生讨论完成）借鉴例2的方法，可以发现N A=N A,在两个三角形中N A的对边分别是B C和 D E,所以B C 和 D E是一组对应边.而A B 与A E显然不重合，所以A B 与A D 是一组对应边，剩下的A C 与A E
6、自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得N B与N D是对应角，NA C B 与NA ED 是对应角.所以说对应边为A B 与AD AC 与 AE、BC 与 D E.对应角为NA 与NA、NB 与ND、NACB 与NAED.做法二：沿A与BC、DE交点0的连线将AABC翻折180后，它正好和aADE重合.这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、BC与D E.对应角为/A与NA、NB 与ND、NACB 与 NAED.m.课堂练习课本P90练习1.课本P90习题14.1复习巩固1.I V.课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两
7、个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.找对应元素的常用方法有两种：（-）从运动角度看1.翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素.2.旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素.3.平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.（二）根据位置元素来推理1.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边.2.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.V.作业课本P90习题14.1、复习巩固2、综合运用3.课后作业：VV三级训练 板书设计11.1全等三角形一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用
8、例 1:（运动角度看问题）例 2：（根据位置来推理）例 3：（根据位置和运动角度两种办法来推理）四、小结：找对应元素的方法运动法：翻折、旋转、平移.位置法：对应角一对应边，对应边一对应角.11.2三角形全等的条件11.2.1三角形全等的条件（一）教学目标1 .三角形全等的“边边边”的条件.2 .了解三角形的稳定性.3 .经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.教学重点三角形全等的条件.教学难点寻求三角形全等的条件.教学过程I .创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形.已知A B C g Z A B C,找出其中相等的边与角.BCB C 图中相等的边
9、是:AB=A B、BC=BZ C、AC=A C.相等的角是：N A=N A、ZB=ZBr、N C=N C.展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形定与已知的三角形纸片全等）.这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题.I I.导入新课出示投影片1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？2.给出两个条件画三角形时，有儿种可能的情况
10、，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做.三角形一内角为30,一条边为3cm.三角形两内角分别为3 0 和 50.三角形两条边分别为4cm、6cm.学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流.结果展示：1.只给定一条边时：只给定一个角时:2.给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边.可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能.即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边.在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.已知一个三角形的三条边
11、长分别为6 c m、8 c m、1 0 c m.你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1 .作图方法：先画一线段A B,使得A B=6 c m,再分别以A、B 为圆心，8 c m、1 0 c m 为半径画弧，两弧交点记作C,连结线段A C、B C,就可以得到三角形A B C,使得它们的边长分别为 A B=6 c m,A C=8 c m,B C=1 0 c m.2 .以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合.这说明这些三角形都是全等的.3 .特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形A B C,根据前面作法，同样可以作出一个三角形A B
12、C,使 A B=A B、A C=A/C、B C=B,C.将A A B C 剪下，发现两三角形重合.这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“S S S”.用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.所以“S S S”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.例 如图，A B C是一个钢架，A B=A C,A D是连结点A与B C中点D的支架.求证：A B D g A A C D.师生共析 要证4 A B D之Z A C D,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.证明：因为D是B C的中点所 以B D=D C在a A B D和4
13、A C D中ABAC BD=CDA O =A D(公共边)所以A B D g Z k A C D (S S S).生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.m.随堂练习如图，已知AC=F E、B C=D E,点A、D、B、F在一条直线上，AD=F B.要 用“边边边”证明AB C g Z F D E,除了已知中的AC=F E,B C=D E以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
14、2.课本P 9 4练习.I V.课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.V.作业1.习题1 4.2复习巩固1、2.习题1 4.2 综合运用9.课后作业：课堂感悟与探究V I.活动与探索如图，一个六边形钢架AB C D E F 由 6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固,请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用.结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，把这个六边形划分成四个三角形.如图（1）为 其 中 的 利.（2）也可以把这个六边形划分
15、成四个三角形.如 图（2）.板书设计 1 1.2.1 三角形全等的条件（一）一、三角形全等的条件三边对应相等的两三角形全等（SSS）二、例三、课堂练习四、小结11.2.1三角形全等的条件(二)教学目标1.三角形全等的“边角边”的条件.2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.3.掌握三角形全等的“SAS”条件，了解三角形的稳定性.4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.教学重点三角形全等的条件.教学难点寻求三角形全等的条件.教学过程一、创设情境，复习提问1.怎样的两个三角形是全等三角形？2.全等三角形的性质？3.指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明
16、通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：AABDAACE,AB与AC是对应边；图(2)中：AABC之AAED,AD与AC是对应边.4 .三角形全等的判定I 的内容是什么？二、导入新课1.三角形全等的判定(二)(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质.那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等“？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标，AABO和CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AO=CO,ZAOB=ZCOD
17、,BO=DO.如果把AOAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合；又因为NAOB=NCOD,O B=O D,所以点B与点D重 合.这 样 ABO与 就 完 全 重 合.(此外，还可以图1(1)中的4ACE绕着点A逆时针方向旋转NCAB的度数，也将与4ABD重 合.图1(2)中的aABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把ADE沿着AE(AB)翻折180.两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.2.上述猜想是否正
18、确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：画NDAE=45,在AD、AE上 分 别 取B、C,使AB=3.1 cm,AC=2.8cm.连结BC,W AABC.按上述画法再画一个 A B C .(2)把AA B C 剪下来放到AABC上，观察AA B C 与AABC是否能够完全重合？3.边角边公理.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)三、例题与练习1.填空：(1)如图3,已知ADBC,A D=C B,要用边角边公理证明ABCgACDA,需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD=CB(已知)，二是;还 需 要 个条件（这个条件可以证得吗
19、？）.（2）如图4,已知AB=AC,AD=AE,N1=N 2,要用边角边公理证明AABDg A C E,需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（这个条件可以证得吗？）.2、例 1 已知：ADBC,AD=CB（图3）.求证：AADCACBA.问题：如果把图3中的aADC沿着CA方向平移到4ADF的位置（如图5）,那么要证明AADFg A C E B,除了ADBC、AD=CB的条件外，还需要一个什么条件（AF=CE或AE=CF）?怎样证明呢？例2 已知：AB=AC、AD=AE、N1=N2（图4）.求证
20、：AABDAACE.四、小 结：1.根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件.2.找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理.五、作 业：1.已知：如图，AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证：A B E4ACF.2.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BEDF,BE=DF.求证：AABEACDF.AAB7 c D c（第1题）（第2题）课后作业：11.2.3三角形全等的条件（三）教学目标1 .三角形全等的条件：角边角、角角边.2 .三角形全等条件小结.3 .掌握
21、三角形全等的“角边角”“角角边”条件.4 .能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题.教学重点已知两角一边的三角形全等探究.教学难点灵活运用三角形全等条件证明.教学过程I .提出问题，创设情境1 .复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪儿种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边.（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：定义；SSS；SA S.2 .在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？I I.导入新课问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？1 .两角和它们的夹边.2 .两角和其中一
22、角的对边.问题2：三角形的两个内角分别是6 0 和 8 0 ,它们的夹边为4 c m,你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等.提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可 以 简 写 成“角边角”或“A SA”）.问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形A B C,能不能作一个4 A B C,使N A=N A、N B=N B、A B=A B 呢？先用量角器量出NA与NB的度数，再用直尺量出A B的边长.画线段A B,使A B =A B.分别
23、以A、B为顶点，A B 为一边作N D A B、N E B A,使N D A B=Z C A B,N E B A =Z C B A.射线A D与B E交于一点，记 为C 即可得到a A B C.将A A B C与A A B C重叠，发现两三角形全等.两角和它们的夹边对应相等的两三角形 全 等（可 以 简 写 成“角边角”或“A S A”）.思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是不是可以不作图，用“A S A”推 出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？探究问题4：如图，在A A B C 和a D E F 中，Z A=Z D,Z B=Z E,B C=E F,A B C
24、 与 D E F 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：.N A+N B+N C=N D+N E+N F=18 0Z A=Z D,Z B=Z EZ A+Z B=Z D+Z EZ C=Z F在A A B C f f A D E F 中ZB=ZEBC=EF4 c =NF/.A B C A D E F (A S A).两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“A A S”).例 如下图，D 在A B 上,E 在A C 上,A B=A C,Z B=Z C.求证:A D=A E.分析 A D 和A E 分别在4 A D C 和4 A E B 中，所以要证A D=A
25、E,只需证明A A D C 四4 A E B 即可.证明：在A D C 和4 A E B 中NA=NAAC=ABNC=NB所以A D C A E B （A S A）所以A D=A E.i n.随堂练习（一）课本P 9 9 练习1、2.（二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由.DAD答案：图（1）中 由“A S A”可证得A A C D多A C B.图（2）由“A A S”可证得A C E 四B D C.I V.课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1.全等三角形的定义2.判定定理：边边边（S S S）边角边（S A S）角边角（A S A）角角边（A A S）推证两三角形全等时
26、，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径.V.作业1.课本习题14.2 5、6、14题.课后作业：课堂感悟与探究板书设计11.2.3三角形全等的条件（三）亦缶,力f两角及其夹边一 两角一边 两角和其中一角的对边二、三角形全等的条件1.两角及其夹边对应相等的两三角形全等（A S A）2 .两角和其中一角的对边对应相等的两三角形 全 等（A A S）11.2.3三角形全等的条件-一直角三角形全等的判定（四）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程
27、中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学过程I.提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法：2、如图，RtZABC中，直角边是斜边是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3、如图，ABJ_BE 于 C,DE_LBE 于 E,（1）若NA=ND,AB=DE,则 ABC与ADEF（填“全等 或 不全等”）根据（用简写法）（2）若NA=ND,BC=EF,则 ABC与ADEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若 AB=DE,BC=EF,则4A BC与4DEF（填“
28、全等”或“不全等”）根据（用简写法）（4）若 AB=DE,BC=EF,AC=DF则4A BC与4DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）I I.导入新课（-）探索练习：（动手操作）：已知线段a,c（ac）和-个直角a利用尺规作一个 RtZABC,使NC=N a,AB=c,CB=a1、按步骤作图：a c 作NMCN=Na=90,在 射 线 CM上截取线段CB=a,以B 为圆心，C 为半径画弧，交射线CN于点A,a连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（H L）（-）巩固练习：1.如图，AABC 中，AB=AC,AD 是高，
29、则 ADB与 ADC（填“全等”或“不全等”）根据(用简写法)2.如图，CEAB,D F 1A B,垂足分别为E、F,(1)若 AC/DB,且 AC=DB,则aACE名BDF,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2)若 AC DB,一 旦 AE=BF,则4ACE丝BDF,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)若 AE=BF,且 CE=DF,则A C E dB D F,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(4)若 AC=BD,AE=BF,CE=DF。则A C E 2B D F,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（5）若 AC=BD,CE=DF（或
30、AE=BF）,则4ACE丝ZBDF,根据_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFLBC于F,DE_LBC于E,AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由答：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _理由：AF1BC,DE1BC（已知）.N A F B=N D E C=（垂直的定义）在RtA 和RtA 中)AZ=Z ()（内错角相等，两直线
31、平行）5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线A B与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。（三）提高练习：1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形 全 等（）（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形 全 等（）（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）(5)两边对应相等的两个直角三角形全等()(6)两锐角对应相等的两个直角三角形全等()(7)一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等()(8)一直角边和斜边上的高对应相等的两
32、个直角三角形全等()2、如图，ZD=ZC=90 ,请你再添加一个条件，使4 A B D 名 B A C,并在添加的条件后的()内写出判定全等的依据。(1)()(2)()(3)()(4)()课时小结至此，我们有六种判定三角形全等的方法:1 .全等三角形的定义2 .边边边(S S S)3 .边角边(S A S)4 .角边角(A S A)5 .角角边(A A S)6.H L(仅用在直角三角形中)作业1.课本习题1 4.2 1 0、1 2 题.课后作业：11.3角的平分线的性质(一)教学目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.2.会用尺规作一个已知角的平分线.教学重点利用尺规作已知角的平分线
33、.教学难点角的平分线的作图方法的提炼.教学过程I .提出问题，创设情境问 题1：三角形中有哪些重要线段.问题2：你能作出这些线段吗？n.导入新课在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：,在N A O B 的两边 0 A 和 0 B 上分别取 O M=O N,MC O A,N C O B.MC与N C交于C点.求证：ZMO C=ZN O C.通过证明Rt a MO C也Rt N O C,即可证明/M0 C=N N 0 C,所以射线0 C就是N A O B的平分线.受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知N A O B的两边上分别截取O M=O N,再分别过M、N作MC 1 O A,N C 1
34、O B,M C与N C交 于C点，连 接0 C,那 么0 C就是N A O B的平分线了.思考：这个方案可行吗？/（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）提议一议：下图是一个平分角的仪器，其 中AB=AD,B C=D C.将 点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE 、就是角平分线.你能说明它的道理吗？要说明AC是N D AC的平分线，其实就是证明N C AD=N C AB.ZC AD和N C AB分别在AC AD和a C AB中，那么证明这两个三角形全等就可以看看条件够不够.AB=AD 思考1.在一节数学课上，老师要求同学们练习-道题，题目的图形如图所示，图中
35、的B D是N A B C的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的，在AB上取点E,使B E=B C,然后画D E1 A B交AC于D,那 么B D就是N AB C的平分线.有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由.板书设计 1 1.3角的平分线的性质一、角平分线仪器的操作原理二、角平分线的尺规画法：1 .以0为圆心，适当长为半径作弧，分别交O A、0 B于M、N.2 .分别以M、N为圆心，大于M N长为半径作弧.两弧在N A O B内部交于C2点.3.连
36、 接0 C,射 线0 C即为所求.三、角平分线的性质.11.3.2角的平分线的性质（二）教学目标1、角的平分线的性质2 .会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.教学重点角平分线的性质及其应用.教学难点灵活应用两个性质解决问题.教学过程I .创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在i起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所
37、以这种等长的折痕可以折出无数对.I I .导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论.折出如图所示的折痕P D、P E.按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画P D、P E是否等长？生甲 生乙结论：同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求.问 题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？生 角平分线上的点到角的两边的距离相等.问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下表:已知事项：0 C 平分N A O B,P DO A,P E O B,D、E为垂
38、足.由已知事项推出的事项：P D=P E.于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.师 那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？(出示投影)问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：图 形已知事项由已知事项推出的事项。二PP垂ED1足.O为OAB,D、E1以PD=PE 生讨论 已知事项符合直角三角形全等的条件，所 以 R t A P E O A P DO(H L).于是可得N P DE=N P O D.由已知推出的事项：点 P 在N A O B 的平分线上.由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分
39、线上.这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.思考:如图所示，要 在 S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处5 0 0 m,这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：2 0 0 0 0）?1 .集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪个性质可以解决这个问题？2 .比例尺为1：2 0 0 0 0 是什么意思？结论：1 .应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点5 0 0 米处.2 .在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算
40、问题了.l m=1 0 0 c m,所以比例尺为1：2 0 0 0 0,其实就是图中1 c m 表示实际距离2 0 0 m 的意思.作图如下：第一步：尺规作图法作出N A 0 B 的平分线0 P.第二步：在射线O P 上截取0 C=2.5 c m,确定C点，C点就是集贸市场所建地了.总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.H I 例题与练习例 如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点 P 到三边AB、BC、CA的距离相等.分析：点 P 到 AB、BC、CA的垂线段PD、PE、
41、PF的长就是P 点到三边的距离,也就是说要证：PD=PE=PF.而 BM、CN分别是NB、N C 的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.证明：过点 P 作 PDLAB,PEBC,P F A C,垂足为 D、E、F.因为BM是AABC的角平分线，点 P 在 BM上.所 以 PD=PE.同理PE=PF.所以 PD=PE=PF.即点P 到三边AB、BC、CA的距离相等.练习：1.课 本 P107练习.2.课本 P108 习题 14.32.强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等.IV.课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两
42、边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.V .课后作业1、课本习题14.33、4、5 题.2、课堂感悟与探究12.1轴对称12.1.1 轴 对 称（一）教学目标1.在生活实例中认识轴对称图.2.分析轴对称图形，理解轴对称的概念.教学重点轴对称图形的概念.教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.教学过程I.创设情境，引入新课我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考
43、虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐.轴 对 称 是 对 称 中 重 要 的 种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称.今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴.n.导入新课出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征.这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合.小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子.现在同学们就从我们生活周围的事物中来找
44、一些具有对称特征的例子.我们的黑板、课桌、椅子等.我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的.如 课 本 的 图12.1.2,把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花.观察得到的窗花和图12.1.1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗?窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合.不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上 面 图 12.1.1 中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合.结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直
45、线（成轴）对称.了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做.取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流.结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合.由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合.接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图
46、（5）有七条对称轴.(1)(4)展示挂图，大家想一想，你发现了什么？像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.m.随堂练习（一）课 本P147练习（二）P148练习IV .课时小结这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.V .作业（）课本习题 12.1 1 2、6、7、8 题.课后作业：VV课 堂 感 悟 与 探 究 V I.活动与探究课 本P148思考.成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图
47、形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合.再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合.结论：成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的.轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形.轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是
48、一个轴对称图形.板书设计 12.1.1 轴 对 称（一）一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.12.1.2 轴对称（二）教学目标1.了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质.2.探究线段垂直平分线的性质.3.经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察.教学重点1.轴对称的性质.2.线段垂直平分线的性质.教学难点体验轴对称的特征.教学过程I.创设情境，引入新课上节课我们共同探
49、讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？今天继续来研究轴对称的性质.n.导入新课观看投影并思考.如图，AABC和4 A Bz C 关于直线MN对称，点AC 分别是点A、B、C的对称点，线 段A A、B B、C C MN有什么关系？图 中A、A 是对称点，A A 与M N垂直，B B 和CC也与NMN垂直.A A、B B 和C C 与MN除了垂直以外还有什么关系吗?ABC与4 A B C 关于直线MN对称，点A、B、C 分别是点A、B、C的对称点，设A A 交 对 称 轴M N于 点P,将4A B C和4 A B C 沿MN
50、对折后，点A与A 重合，于是有AP=A P,ZMPA=ZMPA,=90.所以A A、B B 和C C 与MN除了垂直以外，MN还经过线段A A、B B 和C C 的中点.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系.我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分 线.类似地，轴对