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1、平面向量应用举例【学习目标】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：/abab（或 x1y2x2y1=0）（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判
2、断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0 aba b（或 x1x2+y1y2=0）（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos|a bab（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题 要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了 要点二：向量在解析几何中的应用 在
3、平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决 常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件（4）夹角问题：利用公式cos|a bab 要点三：向量在物理中的应用（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型
4、解释相关物理现象（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：力、速度、位移都是向量；力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；动量 mv 是数乘向量；功即是力 F 与所产生位移 s 的数量积（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论【典型例题】类型一：向量在平面几何中的应用 例 1用向量法证明：直径所对的圆周角是直角 已知：如下图，AB 是O 的直径，点 P 是O 上任一点（不与 A、B 重合），求证：APB90 证 明：联 结OP，设 向 量bOPaOA，则aOB且baOPOAPA，baOPO
5、BPB 0|2222ababPBPA PBPA，即APB90【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量PAuu u r，PBuuu r由基底ar，br线性表示当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知 举一反三：【高清课堂：平面向量的应用举例 395486 例 1】【变式 1】P 是ABC 所在平面上一点，若PA PBPB PCPC PAuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，则 P 是ABC 的（）A外心
6、 B内心 C重心 D垂心【答案】D【高清课堂：平面向量的应用举例 395486 例 4】【变式2】已知正方形ABCD 的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE CBuuu r uuu r的值为_；DE DCuuu r uuu r的最大值为_.【解析】|cos,DE CBDE DADEDADE DAuuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuuu ruuu r uuu r=2|DADADAuuu ruuu ruuu r=1|cos,DE DCDEDCDE DCuuu r uuu ruuu ruuu ruuu r uuu r=|cosDEDCEDCuuu ruuu r42EDC =|
7、cosDEEDCuuu r =|DFuuu r （F 是 E 点在DCuuu r上的投影）1 当 F 与 C 点重合时，上式取到等号 例 2如图所示，四边形 ADCB 是正方形，P是对角线 DB上一点，PFCE是矩形，证明：PAEFuuu ruuu r.【思路点拨】如果我们能用坐标表示PAuu u r与EFuuu r，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点 A、B、E、F的坐标后，就可进行论证.【解析】以点 D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为 1，|DPuuu r，则)1,0(A，)22,22(P，)22,1(E
8、，)0,22(F，于是22(,1)22PAuuu r，22(1,)22EF uuu r，2222()(1)(1)()2222PA EF uuu r uuu r 0022)221122(22 PAEFuuu ruuu r.举一反三：【变 式1】（2016 南 通 模 拟）平 面 直 角 坐 标 系xOy中，已 知 向 量(6,1),(,),(2,3)ABBCx y CD uuu ruuu ruuu r，且/ADBCuuu ruuu r（1）求 x 与 y 之间的关系式；（2）若ACBDuuu ruuu r，求四边形 ABCD 的面积【答案】（1）x+2y=0；（2）16【解析】（1）由题意得(4
9、,2),(,)ADABBCCDxyBCx yuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，因为/ADBCuuu ruuu r，所以(x+4)y(y2)x=0，即 x+2y=0，（2）由题意得(6,1),(2,3)ACABBCxyBDBCCDxyuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，因为ACBDuuu ruuu r，所以(x+6)(x2)+(y+1)(y3)=0，即 x2+y2+4x2y15=0，由得21xy 或 63xy PFyxEDCBAO当21xy 时，(8,0),(0,4)ACBDuuu ruuu r，则1|162ABCDSACBD四边形 当63xy 时，(
10、0,4),(8,0)ACBDuuu ruuu r，则1|162ABCDSACBDuuu ruuu r四边形，所以，四边形 ABCD 的面积为 16 类型二：向量在解析几何中的应用 例 3（2015 房山区模拟）已知点 A（0，1），B，C 是 x 轴上两点，且|BC|=6（B 在 C 的左侧）设 ABC的外接圆的圆心为 M（1）已知4AB AC uuu r uuu r，试求直线 AB的方程；（2）当圆 M 与直线 y=9 相切时，求圆 M 的方程【答案】（1）y=x+1 或115yx；（2）22(4)(4)25xy【解析】（1）设 B（a，0），则 C（a+6，0）A（0，1），(,1)ABa
11、uuu r，(6,1)ACa uuu r，由4AB AC uuu r uuu r得 a(a+6)+1=4，解得：a=1 或5，所以，直线 AB 的方程为 y=x+1 或115yx（2）设圆心为（a，b），半径为 r，则222(1)9|9|abrbrbr ，解之得：a=4，b=4，r=5，所以，圆的方程为22(4)(4)25xy【总结升华】本题考查轨迹方程，解题的关键是利用向量条件确定动点坐标之间的关系，属于中档题 举一反三：【变式 1】已知ABC 的三个顶点 A（0，4），B（4，0），C（6，2），点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB 的中点（1）求直线 DE、EF、FD 的方程；（2
12、）求 AB 边上的高 CH 所在直线的方程【答案】（1）xy+2=0，x+5y+8=0，x+y=0（2）x+y+4=0【解析】（1）由已知得点 D（1，1），E（3，1），F（2，2），设 M（x，y）是直线 DE 上任意一点，则/DMDEuuuu ruuu r(1,1)DMxyuuuu r，(2,2)DE uuu r(2)(x+1)(2)(y1)=0，即 xy+2=0 为直线 DE 的方程 同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为 x+5y+8=0，x+y=0（2）设点 N（x，y）是 CH 所在直线上任意一点，则CNABuuu ruuu r 0CN ABuuu r uuu r又(6,2)C
13、Nxyuuu r，(4,4)AB uuu r 4(x+6)+4(y 2)=0，即 x+y+4=0 为所求直线 CH 的方程【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算（2）要掌握向量的常用知识：共线；垂直；模；夹角；向量相等则对应坐标相等 类型三：向量在物理学中“功”的应用 例 4 一个物体受到同一平面内三个力 F1，F2，F3的作用，沿北偏东 45的方向移动了 8 m，其中|F1|=2 N，方向为北偏东 30；|F2|=4 N，方向为北偏东 60；|F3|=6 N，方向为北偏西 30，求合力 F 所做的功 【答案】24 6【解析】以物体的
14、重心 O 为原点，正东方向为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 如图，则1(1,3)F，2(2 3,2)F，3(3,3 3)F，则123(2 32,24 3)FFFF 又位移(4 2,4 2)s，合力F 所做的功为(2 32)4 2(24 3)4 24 26 324 6WF s （J）合力 F 所做的功为24 6J【总结升华】用向量的方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来，再根据它的物理意义建立数学模型，将物理问题转化为数学问题求解，最后将数学问题还原为物理问题 举一反三：【变式 1】已知一物体在共点力12(2,2),(3,1),FFu u ruu r的作用下产生位移1 3(,)
15、2 2s r，则共点力对物体所做的功为（）A、4 B、3 C、7 D、2【答案】C【解析】对于合力 5,3F u r，其所做的功为59722WF S u r u r.因此选 C.类型四：向量在力学中的应用 例 5如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为 G两绳受到的拉力分别为 F1、F2，夹角为（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与 G 的关系式，用数学观点分析 F1的大小与夹角的关系；（2）求 F1的最小值；（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）|2G（3）0，120【解析】（1）由力的平衡得 F1+F2+G=0，设 F1，F
16、2的合力为 F，则 F=G，由 F1+F2=F 且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得111|2cos2|2|FGFF，1|2cos2GF，0，180，由于函数 y=cos在 0，180上为减函数，逐渐增大时，cos2逐渐减小，即|2cos2G逐渐增大，增大时，|F1|也增大（2）由上述可知，当=0时，|F1|有最小值为|2G（3）由题意，1|2GFG，11122cos2，即1cos122 由于 y=cos在0，180上为减函数，0602 ，0，120为所求【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理
17、与分析得到了诠释 举一反三：【变式 1】两个大小相等的共点力12,F Fu u r uu r，当它们间夹角为090时，合力的大小为 20N，则当它们的夹角为0120时，合力的大小为（）A、40N B、10 2N C、20 2N D、10N【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.【解析】对于两个大小相等的共点力12,F Fu u r uu r，当它们间夹角为090时，合力的大小为 20N 时，这二个力的大小都是10 2N，对于它们的夹角为0120时，由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 2N.正确答案为 B.【
18、总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是110FNu u r，这样就会错选答案 D.类型五：向量在速度中的应用 例 6在风速为75(62)km/h 的西风中，飞机以 150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向【思路点拨】这是航行中的速度问题，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法，处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则.【答案】150 2，北偏西 60【解析】设风速为，飞机向西北方向飞行的速度为 va，无风时飞机的速度为 vb，则如图，vb=va，设|aABvu
19、uu r，|BCuuu r，|bACvuuu r，过 A 点作 ADBC，过 C 作 CDAD 于 D，过 B 作 BEAD于 E，则BAD=45，|150AB uuu r，|75(62)BC uuu r 所以|75 2CDBEEAuuu ruuu ruuu r，|75 6DA uuu r 从而|150 2AC uuu r，CAD=30 所以没有风时飞机的航速为150 2km/h，航向为北偏西 60【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考 举一反三：【变式 1】（2015 春 陕西永寿县期中）一船以 8 kmh 的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向【答案】风的方向为西北方向，大小为8 2kmh【解析】分别取正东、正北方向上的单位向量ir，jr为基底，设风速可表示为xiy jrr，第一次船速为8ir，第二次船速为16ir，则由题意可得，8(0)xiy jip j p rrrr 16()(0)xiy jiq ijq rrrrr，x=8，y=8，即风的方向为西北方向，大小为8 2kmh【总结升华】对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行，当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向