《2023年线性代数测试试卷及超详细解析超详细解析答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年线性代数测试试卷及超详细解析超详细解析答案.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、线性代数测试试卷及答案 第1页共 4 页 线性代数(A 卷)一选择题(每小题 3 分,共 15 分)1、设AB就是任意n阶方阵,那么下列等式必成立的就是()(A)ABBA (B)222()ABA B (C)222()2ABAABB (D)ABBA 2、如果n元齐次线性方程组0AX 有基础解系并且基础解系含有()s sn个解向量,那么矩阵A的秩为()(A)n (B)s (C)ns (D)以上答案都不正确 3、如果三阶方阵3 3()ijAa的特征值为1,2,5,那么112233aaa及A分别等于()(A)10,8 (B)8,10 (C)10,8 (D)10,8 4、设实二次型11212222(,)
2、(,)41xf x xx xx 的矩阵为A,那么()(A)2331A (B)2241A (C)2121A (D)1001A 5、若方阵A的行列式0A,则()(A)A的行向量组与列向量组均线性相关(B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C)A的行向量组与列向量组均线性无关(D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二填空题(每小题3 分,共 30分)1 如果行列式D有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ;2、设100210341A,*A就是A的伴随矩阵,则*1()A ;3、设,就是非齐次线性方程组AXb的解,若也就是它的解,那么 ;4、设向量(1,1,1)T与向量(2,5,)Tt
3、正交,则t ;5、设A为正交矩阵,则A ;6、设,a b c就是互不相同的三个数,则行列式222111abcabc ;7、要使向量组123(1,1),(1,2,3),(1,0,1)TTT线性相关,则 ;线性代数测试试卷及答案 第2页共 4 页 8、三阶可逆矩阵A的特征值分别为1,2,3 ,那么1A的特征值分别为 ;9、若二次型222123123121323(,)52-24f x xxxxxt x xx xx x就是正定的,则t的取值范围为 ;10、设A为n阶 方 阵,且 满 足2240AAI,这 里I为n阶 单 位 矩 阵,那 么1A 、三计算题(每小题 9 分,共 27 分)1、已知2101
4、21012A,1 00 10 0B,求矩阵X使之满足AXXB、2、求行列式1234234134124123的值、3 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3,),(4,3,1,3,)的一个最大无关组与秩、四(10 分)设有齐次线性方程组 123123123(1)0,(1)0,(1)0.xxxxxxxxx 问当取何值时,上述方程组(1)有唯一的零解(2)有无穷多个解,并求出这些解、五(12 分)求一个正交变换XPY,把下列二次型化成标准形:222123123121323(,)444f x xxxxxx xx xx x、六(6 分)已知平面上三条不同直线的方程分别为
5、 123:230,:230,:230.laxbyclbxcyalcxayb 试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为0abc 、线性代数(A 卷)答案 一1、D 2、C 3、B 4、A 5、A 二1、0 2、*1()AA 3、1 4、3 5、1 或-1 6、()()()ca cb ba 7、0 8、111,23 9、405t 10、1142AI 那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值
6、分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第3页共 4 页 三1、解 由AXXB 得1()XAIB、(2分)下面求1()AI、由于 110111011AI (4分)而 1()AI011111110、(7分)所以 10111 001()1110 1111100 011XAIB 、(9分)2、解 123423413412412310234103411041210123123413411014121123(4 分)123401131000440004(8 分)160(9 分)、3、解 由于 3112341234011301131301053307330733rru
7、uuuur 324212345011300212700424rrrruuuuuuu r 43123401132002120000rruuuuuuu r(6 分)故向量组的秩就是 3,123,就是它的一个最大无关组。(9 分)四解 方程组的系数行列式 那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第4页共 4 页 1
8、11111111A 2(1)(2)(2分)当2(1)(2)0A ,即1 且2时,方程组有唯一的零解;(4分)当1 时,2(1)(2)0A ,方程组的系数矩阵为 121 211 112 A,它有一个二阶子式123021 ,因此秩(A)2n(这里3n),故方程组有无穷多个解、对A施行初等行变换,可得到方程组的一般解为 132333,xxxxxx 其中3x可取任意数;(7分)当2时,2(1)(2)0A ,方程组的系数矩阵为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A,显然,秩(A)1n(这里3n),所以方程组也有无穷多个解、对A施行初等行变换 可得方程组的一般解为 1232233,xxxxxxx 其中2
9、3,x x可取任意数、(10分)五 解 二次型的矩阵为 122 212 221 A,(2分)因为特征多项式为 2122 212(1)(5)221 IA,所以特征值就是1(二重)与5、(4分)把特征值1 代入齐次线性方程组()0IA X得 那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第5页共 4 页 1231231
10、232220,2220,2220,xxxxxxxxx 解此方程组可得矩阵A的对应于特征值1 的特征向量为 12(1,0,1),(0,1,1)TT、利用施密特正交化方法将12,正交化:11(1,0,1)T,211(,1,)22T,再将12,单位化得 122(,0,)22T,2666(,)636T,(8分)把特征值5代入齐次线性方程组()0IA X得 1231231234220,2420,2240,xxxxxxxxx 解此方程组可得矩阵A的对应于特征值5的特征向量为 3(1,1,1)T、再将3单位化得 3333(,)333T、(10分)令 123263 26363(,)0 33263 263P 则
11、P就是一个正交矩阵,且满足 1100010005TPAPP AP、所以,正交变换XPY为所求,它把二次型化成标准形 222123123(,)5f x xxyyy、(12分)六证明:必要性 那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第6页共 4 页 由123,l l l交于一点得方程组 230230230axby
12、cbxcyacxayb 有解,可知 231()()230()10231abcbcR AR Abcaabccacabab (2分)由于2221211()()()01bccabacbacab ,所以0abc (3 分)充分性:0()abcbac 2222222()2()()022312366()10231abacbacacacacbcabcabcbcbcabcaabccacabcabab 又因为()()2R AR A,(5分)因此方程组 230230230axbycbxcyacxayb 有唯一解,即123,l l l交于一点、(6 分)线性代数习题与答案 第一部分 选择题 (共 28 分)一、单项
13、选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1、设行列式aaaa11122122=m,aaaa13112321=n,则行列式aaaaaa111213212223等于()A、m+n B、-(m+n)C、n-m D、m-n 那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若
14、二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第7页共 4 页 2、设矩阵 A=100020003,则 A-1等于()A、13000120001 B、10001200013 C、13000100012 D、12000130001 3、设矩阵 A=312101214,A*就是 A 的伴随矩阵,则 A*中位于(1,2)的元素就是()A、6 B、6 C、2 D、2 4、设 A 就是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC,则必有()A、A=0 B、BC 时 A=0 C、A0 时 B=C D、|A|0 时 B=C 5、已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关,则秩(AT)等于()A、1 B、2 C、3
15、D、4 6、设两个向量组1,2,s与1,2,s均线性相关,则()A、有不全为 0 的数1,2,s使11+22+ss=0 与11+22+ss=0 B、有不全为 0 的数1,2,s使1(1+1)+2(2+2)+s(s+s)=0 C、有不全为 0 的数1,2,s使1(1-1)+2(2-2)+s(s-s)=0 D、有不全为 0 的数1,2,s与不全为 0 的数1,2,s使11+22+ss=0 与11+22+ss=0 7、设矩阵 A 的秩为 r,则 A 中()A、所有 r-1 阶子式都不为 0 B、所有 r-1 阶子式全为 0 C、至少有一个 r 阶子式不等于 0 D、所有 r 阶子式都不为 0 8、设
16、 Ax=b 就是一非齐次线性方程组,1,2就是其任意 2 个解,则下列结论错误的就是()A、1+2就是 Ax=0 的一个解 B、121+122就是 Ax=b 的一个解 C、1-2就是 Ax=0 的一个解 D、21-2就是 Ax=b 的一个解 9、设 n 阶方阵 A 不可逆,则必有()A、秩(A)n B、秩(A)=n-1 C、A=0 D、方程组 Ax=0 只有零解 10、设 A 就是一个 n(3)阶方阵,下列陈述中正确的就是()A、如存在数与向量使 A=,则就是 A 的属于特征值的特征向量 B、如存在数与非零向量,使(E-A)=0,则就是 A 的特征值 那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵
17、的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第8页共 4 页 C、A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量 D、如1,2,3就是 A 的 3 个互不相同的特征值,1,2,3依次就是 A 的属于1,2,3的特征向量,则1,2,3有可能线性相关 11、设0就是矩阵 A 的特征方程的 3 重根,A 的属于0的线性无关的特征向量的个数为 k,则必有()A、
18、k3 B、k3 12、设 A 就是正交矩阵,则下列结论错误的就是()A、|A|2必为 1 B、|A|必为 1 C、A-1=AT D、A 的行(列)向量组就是正交单位向量组 13、设 A 就是实对称矩阵,C 就是实可逆矩阵,B=CTAC、则()A、A 与 B 相似 B、A 与 B 不等价 C、A 与 B 有相同的特征值 D、A 与 B 合同 14、下列矩阵中就是正定矩阵的为()A、2334 B、3426 C、100023035 D、111120102 第二部分 非选择题(共 72 分)二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错
19、填或不填均无分。15、11135692536 、16、设 A=111111,B=112234、则 A+2B=、17、设A=(aij)33,|A|=2,Aij表 示|A|中 元 素aij的 代 数 余 子 式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=、18、设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则 a=、19、设 A 就是 34 矩阵,其秩为 3,若1,2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2 个不同的解,则它的通解为 、20、设 A 就是 mn 矩阵,A
20、 的秩为 r(n),则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为 、21、设向量、的长度依次为 2 与 3,则向量+与-的内积(+,-)=、22、设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8,已知 A 有 2 个特征值-1 与 4,则另一特征值为 、那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第9页共 4
21、 页 23、设矩阵 A=01061332108,已知=212就是它的一个特征向量,则所对应的特征值为 、24、设实二次型 f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4,正惯性指数为 3,则其规范形为 、三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 6 分,共 42 分)25、设 A=120340121,B=223410、求(1)ABT;(2)|4A|、26、试计算行列式3112513420111533、27、设矩阵 A=423110123,求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B、28、给定向量组1=2103,2=1324,3=3021,4=0149、试判断4就是否为1,2,3的线性组合;若就是
22、,则求出组合系数。29、设矩阵 A=12102242662102333334、求:(1)秩(A);(2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。30、设矩阵 A=022234243的全部特征值为 1,1 与-8、求正交矩阵 T 与对角矩阵 D,使 T-1AT=D、31、试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=xxxx xx xx x12223212132323444,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)32、设方阵 A 满足 A3=0,试证明 E-A 可逆,且(E-A)-1=E+A+A2、33、设0就是非齐次线性方程组 Ax=b
23、的一个特解,1,2就是其导出组 Ax=0 的一个基础解系、试证明(1)1=0+1,2=0+2均就是 Ax=b 的解;(2)0,1,2线性无关。答案:那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第10页共 4 页 一、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 2 分,共 28 分)1、D 2、B 3、B 4、D 5
24、、C 6、D 7、C 8、A 9、A 10、B 11、A 12、B 13、D 14、C 二、填空题(本大题共 10 空,每空 2 分,共 20 分)15、6 16、337137 17、4 18、10 19、1+c(2-1)(或2+c(2-1),c 为任意常数 20、n-r 21、5 22、2 23、1 24、zzzz12223242 三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 6 分,共 42 分)25、解(1)ABT=120340121223410=861810310、(2)|4A|=43|A|=64|A|,而|A|=1203401212、所以|4A|=64(-2)=-128 26、解 3112
25、51342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第11页共 4 页 27、解 AB=A+2B 即(A-2E)B=A,而(A-2E)-1=2231101211431531641.所以 B=(A-2E
26、)-1A=143153164423110123=3862962129.28、解一 2130130102243419053213010112013112 1035011200880014141035011200110000 1002010100110000,所以4=21+2+3,组合系数为(2,1,1)、解二 考虑4=x11+x22+x33,即 230312243491231223123xxxxxxxxxx.方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1)、29、解 对矩阵 A 施行初等行变换 A 12102000620328209632 121020328300062000217121
27、02032830003100000=B、(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3、(2)由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系,而 B 就是阶梯形,B 的第 1、2、4 列就是 B 的列向量组的一个最大线性无关组,故 A 的第 1、2、4 列就是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范
28、围线性代数测试试卷及答案 第12页共 4 页(A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列,或 1、3、5 列也就是)30、解 A 的属于特征值=1 的 2 个线性无关的特征向量为 1=(2,-1,0)T,2=(2,0,1)T、经正交标准化,得1=2 5 55 50/,2=2 5 154 5 155 3/、=-8的一个特征向量为 3=122,经单位化得3=1 32 32 3/.所求正交矩阵为 T=2 5 52 15 151 35 54 5 152 305 32 3/、对角矩阵 D=100010008.(也可取 T=2 5 52 15 151 305 32 35 54 5 152 3/、)31、解
29、 f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32=(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32、设yxxxyxxyx11232233322,即xyyxyyxy112223332,因其系数矩阵 C=120011001可逆,故此线性变换满秩。经此变换即得 f(x1,x2,x3)的标准形 y12-2y22-5y32、四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)32、证 由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以 E-A 可逆,且(E-A)-1=E+A+A2、33、证 由假设 A0=b,A1=0,A2=0、(1)A1=A(0+1
30、)=A0+A1=b,同理 A2=b,所以1,2就是 Ax=b 的 2 个解。(2)考虑 l00+l11+l22=0,即 (l0+l1+l2)0+l11+l22=0、那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围线性代数测试试卷及答案 第13页共 4 页 则 l0+l1+l2=0,否则0将就是 Ax=0 的解,矛盾。所以 l11+l22=0、又由假设,1,2线性无关,所以 l1=0,l2=0,从而 l0=0、所以0,1,2线性无关。那么及分别等于设实二次型的矩阵为那么若方阵的行列式则的行向量组与列向量组均线性相关的行向量组线性相关列如果行列式有两列的元对应成比例那么该行列式等于设就是的伴随矩阵则设就是非齐次线性方程组的解若也就是它的性代数测试试卷及答案第页共页三阶可逆矩阵的特征值分别为那么的特征值分别为若二次型就是正定的则的取值范围