《2023年自学考试 线性代数试卷及超详细解析超详细解析答案集合.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年自学考试 线性代数试卷及超详细解析超详细解析答案集合.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、线性代数试卷第 1 页共 18页 2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184 线性代数（经管类）试卷 本试卷共 8 页，满分 100 分，考试时间 150 分钟。说明：本试卷中，TA表示矩阵A的转置矩阵，*A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式，Ar表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 3 阶行列式111232221131211aaaaaa=2，若元素ija的代数余子公式为ijA（i,j=1,2
2、,3)，则333231AAA 【】A.1 B.0 C.1 D.2 2.设A为 3 阶矩阵，将A的第 3 行乘以21得到单位矩阵E，则A=【】A.2 B.21 C.21 D.2 3.设向量组321,的秩为 2，则321,中 【】A.必有一个零向量 B.B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设 3 阶矩阵466353331A,则下列向量中是A的属于特征值2的特征向量为 【】A.011 B.101 C.201 D.211 5.二次型212322213214),(xxxxxxxxf的正惯性指数为 【】A.0 B.1 C.2 D.3 二
3、、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、线性代数试卷第 2 页共 18页 6.设1312)(xxf，则方程0)(xf的根是 7.设矩阵0210A,则*A=8.设A为 3 阶矩阵，21A,则行列式1)2(A=9.设矩阵4321B,2001P,若矩阵A满足BPA,则A=10.设向量T)4,1(1,T)2,1(2,T)2,4(3,则3由21,线性表出 的表示式为 11.设向量组TTTk),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321线性相关，则数k 12.3 元齐次线性方程组003221xxxx的基础解系中所含解向量的个数 为
4、 13.设 3 阶矩阵A满足023 AE，则A必有一个特征值为 14.设 2 阶实对称矩阵A的特征值分别为1和 1，则2A 15.设二次型212221212),(xtxxtxxxf正定，则实数t的取值范围是 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16.计算 4 阶行列式3100131001310013D的值。分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是
5、设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 3 页共 18页 17.已知矩阵0001001011223aaaaaaA，求1A。18.设矩阵110011111A,且矩阵X满足XAEAX3,求X。19.设向量 TTTTkkkk)1,1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,2,1(,)1,1,1,1(2321,试确定当k取何值时能由321,线性表出，并写出表示式。20.求线性方程组1332122043214324321xxxxxxxxxxx的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。21.设矩阵11131111xA与对角矩阵200020001B相似，求数x与可逆矩阵P，使得BAPP
6、 1。22.用正交变换将二次型3123222132122),(xxxxxxxxf化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 4 页共 18页 四、证明题（本题 7 分）23.设向量组321,线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数321,kkk使得03322
7、11kkk。2014 年 10 月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6.5 7.0210 8.41 9.22321 10.2133 11.1 12.1 13.23 14.E 15.0t1 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16.解 3100131001310013D=3100131000130131 .3 分 555500031001310
8、0131 .9 分 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 5 页共 18页 17.解 0001100100101000011000000110000001010000100100100011232223aaaaaaaaaaaa.2 分 00110000100100100001010000001aaa .7 分 从而
9、00101010010001aaaA .9 分 18.解 由XAEAX3,得EAXEA3)(.2 分 又由010001110100010001110011111EA可逆 .5 分 由EAXEA3)(,可得)()(2EAAEAXEA 两边左乘1)(EA,得到 3311233221000100011100111111211022102EAAX .9 分 19 解 设332211xxx，.2 分 该线性方程组的增广矩阵为 22222000100101111111111111211111kkkkkkkkkkA .6 分 由于能有321,线性表出，则必有3)()(ArAr 此时0k，方程组有唯一解0,1
10、321xxx 表示式为1 .9 分 20.解 方程组的增广矩阵 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 6 页共 18页 000001221011101133211221001111A .2 分 可知2)()(ArAr4，方程组有无穷多解 .4 分 由同解方程组4324312211xxxxxx 求出方程组的一个特解T
11、)0,0,1,1(*,导出组的一个基础解系为TT)1,0,2,1(,)0,1,2,1(21 .7 分 从而方程组的通解为 TTTcccc)1,0,2,1()0,1,2,1()0,0,1,1(212211*21,(cc为任意常数）.9 分 21.解 由条件可知矩阵A的特征值为2,1321 .2 分 由0101121110 xxAE，得1x .4 分 对于11，由线性方程组0)(xAE求得一个特征向量为 T)1,1,1(1 对于232，由线性方程组0)2(xAE求得两个线性无关的特征向量为 TT)1,1,0(,)1,0,1(32 令 111101011),(321P,则BAPP 1 .9 分 22
12、.解 二次型的矩阵101020101A .2 分 由0)2(1010201012AE 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 7 页共 18页 故A的特征值为0,2321 .4 分 对于221，求解齐次线性方程组0)(xA，得到基础解系 T)1,0,1(3 将其单位化，得T)21,0,21(3 .7 分 令21210
13、00121210),(321P,则P为正交矩阵，经正交变换321321yyyPxxx，化二次型为标准形222122yy .9 分 四、证明题（本题 7 分）23.证 由于向量组321,线性相关，故存在不全为零的常数321,kkk，使得 0332211kkk .2 分 其中必有01k。否则，如果01k，则上式化为03322kk 其中32,kk不全为零，由此推出32,线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 .5 分 类似地，可证明0,032 kk .7 分 2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数（经管类）试卷 课程代码：04184 一、单项选择题（本大题共 5
14、 小题，每小题 2 分，共 10 分）分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 8 页共 18页 1、设行列式 D1=2211baba，D2=2221113232abaaba，则 D2=【】A.-D1 B.D1 C.2D1 D.3D1 2、若 A=1x1021，B=y24202，且 2A=B，则 【】A.x=1，y=2
15、 B.x=2，y=1 C.x=1，y=1 D.x=2，y=2 3、已知 A是 3 阶可逆矩阵，则下列矩阵中与 A等价的是 【】A.000000001 B.000010001 C.100000001 D.100010001 4、设 2 阶实对称矩阵 A的全部特征值味 1，-1，-1，则齐次线性方程组（E+A）x=0 的基础 解系所含解向量的个数为 【】A.0 B.1 C.2 D.3 5、矩阵3113有一个特征值为 【】A.-3 B.-2 C.1 D.2 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6、设 A为 3 阶矩阵，且A
16、=3，则13A=.7、设 A=5312，则 A*=.8、已知 A=1201，B=211111，若矩阵 X满足 AX=B，则 X=.9、若向量组1(1，2，1)T，2(k-1，4，2)T线性相关，则数 k=.10、若齐次线性方程组030202321321321xxxxxxaxxx有非零解，则数a=.11、设向量1(1，-2，2)T，2(2，0，-1)T，则内积（21,）=.12、向量空间 V=x=(x1，x2，0)T|x1，x2R的维数为 .13、与向量（1，0，1）T和（1，1，0）T均正交的一个单位向量为 .14、矩阵3221的两个特征值之积为 .分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符
17、合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 9 页共 18页 15、若实二次型 f(x1，x2，x3)=2123222212xxxaaxx正定，则数a的取值范围是 .三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16、计算行列式 D=5111141111311112的值.17、设 2 阶矩阵 A的行列式21A，求行列式*12)2(AA的值.18、设
18、矩阵 A=101111010，B=301521，矩阵 X满足 X=AX+B，求 X.19、求向量组TTTT)10,1,3(,)6,3,1(,)1,5,2(,)1,2,1(4321的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20、利用克拉默法则解线性方程组232212322123221333cxccxxbxbbxxaxaaxx，其中cba,两两互不相同.21、已知矩阵1111311aaA与bB00010000相似，求数ba,的值.22、用正交变换化二次型212121455),(xxxxxxf为标准型，并写出所作的正交变换.四、证明题（本题 7 分）23、设 A，B
19、均为 n 阶矩阵，且 A=B+E，B2=B，证明 A可逆.答案：一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分类，共 10 分）1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6.9 7.2315 8.031111 9.3 10.-2 11.0 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设
20、矩阵若矩阵满线性代数试卷第 10 页共 18页 12.2 13.TT1,1,1311,1,131或 14.-1 15.a1 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16.解 D=40200320115011315111141111121131 =74402032115 17.解 由于21A，所以A可逆，于是1*AAA 故11*12212)2(AAAAA =2923232112111AAAA 18.解 由BAXX，化为BXAE，而201101011AE可逆，且110123120311AE 故11021335021111012312031X 19.解 由于0000751017
21、1101751075103121,4321 所以向量组的秩为 2，21,是一个极大线性无关组，并且有 214213717,511 注：极大线性无关组不唯一。20.解 方程组的系数行列式 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 11 页共 18页 D=bcacabccbbaa222111 因为 a,b,c 两两互不相同
22、，所以0D，故方程有唯一解。又03332222221cccbbbaaaD，03131312222222ccbbaaD，DccbbaaD33131312223 由克拉默法则得到方程组的解 33,0,0332211DDDDxDDxDDx 21.解 因为矩阵 A与 B相似，故 trBtrA 且BA,即 01101312ab 所以 a=1,b=4.22.解 二次型的矩阵5225A 由于 73AE，所以 A的特征值7,321 对于特征值31，由方程组03 xAE得到 A 属于特征值31的一个单位特征向量11221 对于特征值,72由方程组07 xAE得到 A 属于特征值72的一个单位特征向量11222.
23、得正交矩阵111122,21Q，作正交变换Qyx，二次型化为标准形.732221yyf 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 12 页共 18页 四、证明题（本题 7 分）23.证 因为EBA,所以BEA,又BB 2,故EAEA2,化简得,232EAA于是EEAA321,故 A可逆。2015 年 10 月高等教育自
24、学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)试卷(课程代码 04184)本试卷共 3 页，满分 l00 分，考试时间 l50 分钟。考生答题注意事项：1 本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用 2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用 05 毫米黑色字迹签字笔作答。4合理安排答题空间。超出答题区域无效。说明：在本卷中。AT表示矩阵 A的转置矩阵。A*表示矩阵 A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A 表示方阵 A的行列式，r(A)表示矩阵 A的秩。第一部分 选择题 一、单项选择题(
25、本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。1已知 2 阶行列式 A-2 B-l C1 D2 3设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中 正确的是 A 若 st，则必线性相关 B 若 st，则必线性相关 C 若线性无关，则 st D 若线性无关，则 st 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误
26、不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 13 页共 18页 4设有非齐次线性方程组 Ax=b，其中 A为 m n 矩阵，且 r(A)=r1，r(A，b)=r2，则 下列结论中正确的是 A 若 r1=m，则 Ax=O有非零解 B若 r1=n，则 Ax=0仅有零解 C 若 r2=m，则 Ax=b有无穷多解 D若 r2=n，则 Ax=b有惟一解 5.设 n 阶矩阵 A满足2E-3A=0，则 A必有一个特征值=第二部分 非选择题 二、填空题 (本大题共 l0 小题。每小题 2 分，共 20 分)请在答题卡上作答。6设行列式中元素 aij的代数
27、余子式为 Aij(i,j=1,2)，则 a11A21+a12+A22=_ 7已知矩阵，则 A2+2A+E=_ 8设矩阵，若矩阵 A满足 AP=B，则 A=_ 9设向量，则由向量组线性表出的表示式为=_ 10设向量组 a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数 k 的取值应 满足_ 11设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为 若该方程组无解，则数 k=_ 12设=-2是 n 阶矩阵 A的一个特征值，则矩阵 A3E必有一个特征值是_ 13设 2 阶矩阵 A与 B相似，其中，则数 a=_ 14设向量 a1=(1，-l，0
28、)T，a2=(4，0，1)T，则=_ 15二次型 f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2的规范形为_ 三、计算题(本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分)请在答题卡上作答。分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 14 页共 18页 16.计算行列式的值 17.已知矩阵，若矩阵 x 满足等式 AX=
29、B+X，求 X 18.已知矩阵 A,B 满足关系式 B=E-A，其中，计算 (1)E+A+A2与 A3;(2)B(E+A+A2)19.求向量组 a1=(1，-l，2，1)T，a2=(1，0,2，2)T，a3=(0，2，1，1)T，a4=-(1，0，3，1)T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出 20.设 3 元线性方程组，问数 a，b 分别为何值时，方程组有无穷 多解?并求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)21.设矩阵，求 A的全部特征值和特征向量 22.用配方法化二次型 f(x1，x2，x3)=x12-x1x2+x2x3为标准形，并写出所
30、作的可逆线性 变换 四、证明题(本大题共 l 小题，共 7 分)请在答题卡上作答。23设向量组 a1，a2，a3的秩为 2，且 a3可由 a1，a2线性表出，证明 a1，a2是向量组 a1，a2，a3的一个极大线性无关组 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 15 页共 18页 分共分在每小题列出的四个备选项中只有
31、一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 16 页共 18页 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设
32、矩阵若矩阵满线性代数试卷第 17 页共 18页 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满线性代数试卷第 18 页共 18页 分共分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的请将其代码填写在题后的括号内错选多选或未选均无零向量任意两个向量都线性无关存在一个向量可其余向量线性表出每个向量均可其余向量线性表出设阶矩阵则下列向中填上正确答案错误不填均无分线性代数试卷第页共页设则方程的根是设矩阵则设为阶矩阵则行列式设矩阵若矩阵满