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1、第一章 集合 集合知识点总结：一、集合 1、集合的概念 集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看出一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），通常用大写英文字母,.A B C表示。集合的元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员），通常用小写写英文字母,.a b c表示。2、元素与集合的属于关系：、若a是集合A的元素，就说a属于A，记作：aA，读作“a属于A”若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：aA，读作“a不属于A”。3、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作。4、集合元素的基本性质：确定性、互异性、无序性。5、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限
2、集：含有无限个元素的集合。6、常用数集的表示-牢记，熟记 自然数集（非负整数集）N；正整数集N或N；整数集Z；有理数集Q；实数集R；正实数集R，均是无限集。二、集合的表示法 1、列举法：适用于有限集，且元素个数不多，或者是无限集，元素个数较多，但呈现一定规律，列出几个元素作为代表，其余用“”代替。2、描述法：元素的特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素都具有性质 p x，而不属于A的元素都不具有性质 p x，则 p x叫做集合A的一个特征性质。p x是集合A的一个特征性质，集合A可以表示为|xI p x，它表示的集合A为在集合I中具有性质 p x的所有元素构成的。注意：若元素的范围
3、为R时，R可以省略。经典例题：例一、现已知一个集合为21,x x，则实数x满足的条件为 。【1,1,0 x 】解：由于元素的互易性，因此得到关系221;1;xxxx，从而解得1,1,0 x 。例二、用适当的符号填空：0 0；0 ；0 N；0 。例三、给定集合AB、，定义,A Bx xmn mA nB 。若4,5,6A，1,2,3B，则集合A B的所有元素之和为 。【15】解：题意为从集合A中任意选取一个元素，与集合B中的任意一个元素作差，所得元素为集合A B的元素，这里要注意元素的互异性。故4 1,42,43,51,52,53,61,62,631,2,3,4,5x 即1,2,3,4,5A B，
4、元素之和为 15。例四、设集合22,3,23,3,2AaaBa若已知5A，且5B，求实数a。解：由于5A，故有2235aa，解得4a 或2。但题目要求5B，因此35a ，即2a。因此4a 。例五、实数集A满足条件：1A，若aA，则11Aa。（1）若2A，求A；（2）集合A能否为单元素集合？若能，求出A；若不能，说明理由；（3）求证：11Aa。解：（1）由题意知，若aA，则11Aa。因此2A，则有1112A。由1A，则111(1)2A。由12A，则12112A。因此12,1,2A （2）若让集合A为单元素集合，必须满足11aa。整理得到210aa ，验证1 40 ，因此没有a满足上述方程，即集合
5、A不能为单元素集合。（3）由于题意有若aA，则11Aa。因此当11Aa时，可有1111111aAaaa 。例六、以下集合各代表什么：2,Mm mk kZ偶数 21,Xx xkkZ奇数 这些均是数集，与代表元素的不同没有关系。41,Yy ykkZ奇数(,)1,Px y yxxR 点集（有序数对集合）几何意义：满足直线1yx 图像上所有的点；代数意义：满足二元一次方程1yx 的解。例七、若集合2(1)0Ax xaxb 中，仅有一个元素a，则a 【13】b 【19】解：题意可只两个条件，其一是仅有一个元素，即方程只有一个解。其二为单元素即为a。因此得到两个关系式：将a代入方程有 210aaab g和
6、 2140ab，从中求出11,39ab。例八、已知集合2320Ax axx，其中a为常数，且aR。（1）若A是空集，求a的范围；（2）若A中只有一个元素，求a的范围；（3）若A中至多只有一个元素，求a的范围。解：（1）因为A是空集，则必须要求方程2320axx 无实根，即980a，因此98a。（2）若A中只有一个元素，此时需要讨论a是否为 0。当0a 时，方程为320 x ，解得23x，符合题意；当0a 时，方程为2320axx，要求980a，即98a。综上所述，0a 或98。（3）若A中至多只有一个元素，即有一个元素，或没有。只要综合（1）（2）的答案即可。故a的取值范围是0a 或98a。三
7、、子集和真子集 1、子集：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则集合A叫做集合B的子集。记作：AB或BA 读作“A包含于B”或“B包含A”若集合P中存在着不是集合Q的元素，则集合P不是集合Q的子集。记作：P Q或Q P 注意：（1）自身性：AA，任何集合是它本身的子集。（2）规定：A，空集是任何子集的真子集。（3）与区别：是从属关系，表示元素与集合之间的关系，是包含关系，表示集合与集合之间的关系。2、真子集：若集合A是集合B的子集（简化：若AB，数学语言的简洁），并且集合B中至少含有一个元素不属于集合A，则集合A是集合B的真子集。记作：AB或BA 读作“A真包含于B”或“B真包含A”注意：
8、（1）空集是任何非空集合的真子集。（2）AB AB 3、韦恩图：包含关系的传递性,AB BC，则AC；维恩图表示,AB BC，则AC 集合,NN Z Q R之间的关系，用维恩图表示 4、个数规律：（()card A表示集合A的元素个数）元素 子集 真子集 非空子集 非空真子集 5、集合相等：,AB BA，则AB 经典例题：例一、判断下列集合是否为同一个集合 1,2,1,2AB -不是，一个是点集，一个是数集|05,|05AxNxBxRx -不是，元素范围不同|21,|21Ay yxBx yyx-不是，一个是点集，一个是数集|5,|5Ax xBy y-是，元素相同，均是实数，与代表元素无关 例二
9、、用适当的符号填空：a；a ,a b；a a；a；1,2,3 1,2,3,4；例三、若集合 21,3,1AxBx，且BA，则x 【0或3】解：依题BA，则2xx，或23x，解出0,1,3x；由于元素具有互异性，故舍去 1。例四、已知集合 14,AxxBx xa，若AB，则实数a的取值集合为 【4a a】解：步骤：在数轴上画出已知集合；由xa确定，应往左画（若为xa，则往右画），进而开始实验；得到初步试验结果；验证端点。试验得到：4a，当4a 时，由于A集合也不含有 4，故满足AB。综上所述，4a a。例五、满足 11,2,3M的集合M为 【1,1,2,1,3】解：因为 1M，因此M中必须含有
10、1 这个元素。又知道1,2,3M 故得到 1,1,2,1,3。（1,2,3不满足真子集的要求）四、集合的运算 1、交集：一般地，对于两个给定集合,A B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做,A B的交集。核心词汇：共有。记作：ABI 读作“A交B”1,2,3,4,5,3,4,5,6,8AB，3,4,5AB I 交集为 在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！2、交集的性质：AAAI；如果AB，则ABAI。3、并集：一般地，对于两个给定集合,A B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做,A B 的并集。核心词汇：全部。记作：ABU 读作“A并B”只要是线下面的部分都要！4、并集的性质：AA
11、AU；如果AB，则ABBU 5、补集：如果给定的集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集。核心词汇：剩余。记作“UA”读作：“A在U中的补集”6、补集的性质：经典例题：例一、已知集合0,1,2,4,5,7,1,4,6,8,9,4,7,9MNP，则MNMPIUI等于 【1,4,7】解：1,4,4,7MNMP，故1,4,7MNMP IUI。例二、设集合|32Mmm Z，|13Nnn Z，则MN I 【101，】解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数，故2,1,0,1,1,0,1,2,3MN，因此取交集后，得到的结果应为
12、101，。例三、|13Axx，|Bx xa，若AB I，则实数a的取值范围是 【3a】解：步骤：在数轴上画出已知集合；由xa确定，应往左画（若为xa，则往右画），进而开始实验；得到初步试验结果；验证端点。试验得到的结果为3a，验证端点，当3a 时，由于A集合不含有 3，满足交集为。综上所述，a的取值范围是3a。例四、求满足1234Maaaa，且12312MaaaaaI，的集合M。【12,a a或124,a a a】解：由于12312MaaaaaI，则可以推得M中必有12,a a，没有3a。又有1234Maaaa，则12,Ma a或124,Ma a a 例五、集合0,2,Aa,21,Ba,若0,
13、1,2,4,16AB U,则a的值为 【4】解：0,2,Aa,21,Ba,0,1,2,4,16AB U2164aa 4a 例六、设集合 1(,)1,1yUx y yxAx yx，则UC A 【0,1】解：1,1yAx yx表示平面上满足直线11yx的无数点，其中0,1xy。又(,)1Ux y yx 表示平面上满足直线1yx 上的全部点，故补集为 0,1，这组有序数对。例七、已知集合 2220,0Ax xpxBx xxq ，且2,0,1AB，求实数,p q的值。【0,1qp】解：观察A集合，可知0A，又有2,0,1AB，则0B。将 0 代入20 xxq ，得到0q，反解20 xx，得到0 x 或 1。由于2,0,1AB，0,1B，则2A。将2代入220 xpx，解得1p。例八、已知集合222,120ABx xaxa，若ABB，求实数a的取值范围。【4a 或4a 】解：当B 时，方程22120 xaxa无解，0，解得4a 或4a ；当B 时，方程22120 xaxa有一个解，0，同时将2代入22120 xaxa，解得4a；综上所述a的取值范围为4a 或4a 。