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1、空间向量知识点归纳总结 知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab uuu ruuu ruuu rvr;BAOAOBab uuu ruuu ruuu rrr;()OPaR uuu rr 运算律：加法交换律：abba 加法结合律：)()(cbacba 数乘分配律：baba)(3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或
2、重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba/。当我们说向量a、b共线（或a/b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0），a/b存在实数，使ab。4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a brr不共线，pr与向量,a brr共面的条件是存在实数,x y使pxaybrrr。5.空间向量基本定理：如果三个向量,a b crrr不共面，那么对空间任一向量pr，存在一个唯一的有序实数组,x y z，使px
3、aybzcrrrr。若三向量,a bcrrr不共面，我们把,a b crrr叫做空间的一个基底，,a b crrr叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,x y z，使OPxOAyOBzOCuuu ruuu ruuu ruuu r。6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,)x y z，使zkyixiOA，有序实数组(,)x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,)A x y z，x叫横坐
4、标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用,i j kr r r表示。（3）空间向量的直角坐标运算律：若123(,)aa a ar，123(,)bb b br，则112233(,)abab ab ab rr，112233(,)abab ab ab rr，123(,)()aaaaR r，1 12 23 3a ba ba ba br r，112233/,()abab ab abR rr，1 12 23 30aba ba ba b rr。若111(,)A x y z，222(,)B xyz，则212121(,)ABxx yy zzuu
5、u r。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式：若123(,)aa a ar，123(,)bb b br，则222123|aa aaaa rr r，222123|bb bbbbrr r（5）夹角公式：1 1223 3222222123123cos|a ba ba ba ba babaaabbb r rr rrr。（6）两点间的距离公式：若111(,)A x y z，222(,)B xyz，则2222212121|()()()ABABxxyyzzuuu ruuu r，或222,212121()()()A Bdxxyyzz 7.空间向量的数
6、量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a brr，在空间任取一点O，作,OAa OBbuuu ruuu rrr，则AOB叫做向量ar与br的夹角，记作,a brr；且规定0,a brr，显然有,a bb a rrrr；若,2a brr，则称ar与br互相垂直，记作：abrr。（2）向量的模：设OAauuu rr，则有向线段OAuuu r的长度叫做向量ar的长度或模，记作：|ar。（3）向量的数量积：已知向量,a brr，则|cos,aba brrrr叫做,a brr的数量积，记作a brr，即a brr|cos,aba b rrrr。（4）空间向量数量积的性质：|cos,a ea
7、a er rrr r。0aba b rrrr。2|aa a rr r。（5）空间向量数量积运算律：()()()aba bab rrrrrr。a bb a rrrr（交换律）。()abca ba c rrrrrr r（分配律）。【典型例题】例 1.已知平行六面体 ABCD DCBA，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。ABBCuuu ruuu r；ABADAAuuu ruuu ruuur；12ABADCCuuu ruuu ruuuu r；1()3ABADAAuuu ruuu ruuur。例 2.对空间任一点O和不共线的三点,A B C，问满足向量式：OPxOAyOBzOCuuu ruuu r
8、uuu ruuu r（其中1xyz ）的四点,P A B C是否共面？例 3.已知空间四边形OABC，其对角线,OB AC，,M N分别是对边,OA BC的中点，点G在线段MN上，且2MGGN，用基底向量,OA OB OCuuu r uuu r uuu r表示向量OGuuu r。例 4.如图，在空间四边形OABC中，8OA，6AB，4AC，5BC，45OACo，60OABo，求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA ACouuu r uuu r易错写成,45OA ACouuu r uuu r，切记！例 5.长方体1111ABCDABC D中，4ABBC，E为1
9、1AC与11B D的交点，F为1BC与1BC的交点，又AFBE，求长方体的高1BB。【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCDuuu ruuu ruuu r；（2）1()2ABBDBCuuu ruuu ruuu r；（3）1()2AGABACuuu ruuu ruuu r。2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量。,OEkOAOFkOBOGkOC OHkODuuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuuruuu r。（1）求证：四点,E F G H共
10、面；（2）平面AC/平面EG。3.如图正方体1111ABCDABC D中，11111114B ED FAB，求1BE与1DF所成角的余弦。4.已知空间三点 A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。求以向量,AB ACuuu r uuu r为一组邻边的平行四边形的面积 S；若向量ar分别与向量,AB ACuuu r uuu r垂直，且|ar|3，求向量ar的坐标。5.已知平行六面体ABCDABC D 中，4,3,5,90ABADAABADo，60BAADAAo，求AC的长。参考答案 1.解：如图，（1）ABBCCDACCDADuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu
11、 r；（2）111()222ABBDBCABBCBDuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r。ABBMMGAGuuu ruuuu ruuuu ruuu r；（3）1()2AGABACAGAMMGuuu ruuu ruuu ruuu ruuuu ruuuu r。2.解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ACABADuuu ruuu ruuu r，EGOGOEuuu ruuu ruuu r，,E F G H共面；（2）解：()EFOFOEk OBOAk AB uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，又EGk AC uuu ruuu r，/,/EFAB
12、 EGAC。所以，平面/AC平面EG。3.解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz，则(1,1,0)B，13(1,1)4E，(0,0,0)D，11(0,1)4F，11(0,1)4BE uuu u r，11(0,1)4DF uuu u r，11174BEDFuuu u ruuu u r，1111150 0()1 14416BEDF uuu u r uuu u r。11151516cos,17171744BE DFuuu u r uuu u r。4.分析：1(2,1,3),(1,3,2),cos2|AB ACABACBACABAC uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQ BAC 60，|sin607 3SABACouuu ruuu r 设ar（x，y，z），则230,aABxyz uuu rr 解得 xyz1 或 xyz1，ar（1，1，1）或ar（1，1，1）。5.解：22|()ACABADAAuuuu ruuu ruuu ruuur 所以，|85AC uuuu r。