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1、 1 北师大版高一数学（必修一）经典习题集 一、集合 1设集合 P=3，4，5，Q=4，5，6，7，定义 PQ=（,|),QbPaba则 PQ中元素的个数为 个 2设集合062mxxxM，则满足MM6,3,2,1的 m的取值范围是 3已知集合ZnnxxA,6sin，则A的非空真子集个数有 个 4设集合 4|xxA，034|2xxxB，则集合Axx|且BAx=。5 设集合 2|axxA，1212|xxxB，且BA，则实数a的取值范围是 。6函数nyx的 x、n 都属地集合1,2,3,4,9且xn，若以所有的函数值为元素作为集合 M，则 M中元素的个数为 。7.（2009 年上海卷理）已知集合|1
2、Ax x，|Bx xa，且ABR，则实数 a的取值范围是 。8.（2009 重庆卷文）若Un n是小于 9 的正整数，AnU n 是奇数，BnU n 是 3 的倍数，则()UAB U 9.（2009 重庆卷理）若3AxR x，21xBxR，则AB I 10.（2009 上海卷文）已知集体 A=x|x 1,B=x|a,且 AB=R，则实数 a 的取值范围 m。11.（2009 北京文）设 A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA且1kA，那么k是 A的一个“孤立元”，给定1,2,3,4,5,6,7,8,S，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.12（2009
3、 天津卷文）设全集1lg|*xNxBAU，若4,3,2,1,0,12|nnmmBCAU，则集合 B=。13已知集合 A|(2)(31)0 xxxa，B22|0(1)xaxxa 当 a2 时，求 AIB；求使 BA的实数 a 的取值范围 14.019|22aaxxxA 065|2xxxB,082|2xxxC （1）BABA，求a的值；（2）BA，且CA，求a的值；（3）CABA，求a的值；15.034|2xxxA,01|2aaxxxB,01|2mxxxC，且ABA，CCA，求a，m的值.16已知下列集合：（1）5,121kNkkxxA；2 （2）5,22kNkkxxA；（3）3,14,143kN
4、kkxkxxA或 (4)NyNxyxyxA,6),(4 问：（）用列举法表示上述各集合；（）对集合1A，2A，3A，如果使 kZ,那么1A，2A，3A所表示的集合分别是什么？并说明3A与1A的关系 17（1）设24xxA，42xxxB或求BA，BA，ABCR)(（2）设集合21xxM，3kxxN，若NM 求k的取值范围 二、求函数值域 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法
5、需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、基本知识 1 定义：因变量 y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2 函数值域常见的求解思路：划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。反解函数，将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数 y 的不等式，解不等式即可获解。可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()yf x看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值0y，0y对应的自变量0 x一定为方程()yf x在定义域中的一个解，即方程()yf x在定义域内有解；另一方面，若y取某值0y，方程()yf x在定义域
6、内有解0 x，则0y一定为0 x对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程()yf x在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。可以用函数的单调性求值域。其他。3 函数值域的求法 在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧：观察法；最值法；判别式法；反函数法；换元法；复合函数法；利用基本不等式法；利用函数的单调性；利用三角函数的有界性；图象法；配方法；构造法。二、举例说明 观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例 1：求函数11,1yxx
7、x 的值域。2,3 例 2：求函数2610yxx的值域。1,最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例 3：求函数2xy，2,2x的值域。1,44 例4：求函数2256yxx 的值域。73,8 判别式法：通过二次方程的判别式求值域的方法。例 5：求函数22122xyxx的值域。1,1,2 反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。例 6：求函数2332xyx的值域。22,33 例 7：求函数axbycxd，0,dcxc的值域。,aacc 换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。例 8：求函数12yx
8、x 的值域。1,2 复合函数法：对函数(),()yf u ug x，先求()ug x的值域充当()yf u的定义域，从而求出()yf u的值域的方法。例 9：求函数212log(253)yxx的值域。49,8 利用基本不等式求值域：例 10：求函数1yxx 的值域。,22,例 11：求函数212yxx(0)x 的值域。3,利用函数的单调性：例 12：求函数11yxx 的值域。提示：211yxx，1x，1,1xx都是增函数，故11yxx 是减函数，因此当1x 时，max2y，又0y，0,2y。例 13：求函数12yxx 的值域。略解：易知定义域为1,2，而12yxx 在1,2上均为增函数，111
9、12222yg，故y1,2 利用三角函数的有解性：例 14：求函数2cos13cos2xyx的值域。1,3,5 4 例 15：求函数2sin2sinxyx的值域。1,33 图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此方法）。例 16：求函数31yxx 的值域。4,4 求函数值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧。配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。例 17：求函数22yxx 的值域。点拨：将被开方数配方
10、成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由220 xx ,可知函数的定义域为 x 1，2。此时 221992()0,244xxx 22xx 302,函数的值域是30,2。构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 18：求函数224548yxxxx 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为222()(2)1(2)2f xxx 作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 个单位 正方形。设 HK=x,则 EK=2x,KF=2x,AK=22(2)2x,KC=2(2)1x。由三角形三边关系知，AK+KC AC=5。当 A、K
11、、C三点共 线时取等号。原函数的知域为y|y 5。三、函数的单调性和奇偶性 例 1 如果函数2)1(2)(2xaxxf在 4,(上是减函数，求 a 的取值范围。例 2 判断函数axxf3)(（Ra）在 R上的单调性 例 3 已知函数)(xf，)(xg在 R上是增函数，求证：)(xgf在 R上也是增函数。例 4 求函数xxy1的单调区间 例 5 判断下列函数是否具有奇偶性（1）2)1(3)1()(23xxxf（2）32)(xxf（3）11)(xxxf（4）2211)(xxxf 5 （5）xxxxf11)1()(例 6 函数)(xf在),(上为奇函数，且当 0,(x时，)1()(xxxf，则当),
12、0(x时，求)(xf的解析式。例 7 设)(xf为奇函数，且在定义域)1,1(上为减函数，求满足0)1()1(2afaf的实数 a 的取值范围。例 8 设)(xf是定义在),0(上的增函数，1)2(f且)()()(yfxfxyf，求满足不等式2)3()(xfxf的x的取值范围。四、指数函数 例 1 求函数 y(12)x22x的单调增区间和单调减区间 解：令 yf(x)(12)x22x，则函数 f(x)可以看作函数 y(12)t与函数 t x22x的复合函数 因为 y(12)t在(，)上是减函数，函数 t x22x(x 1)21 在(，1 上是单调减函数，在1，)上单调增函数，所以函数 f(x)
13、(12)x22x的单调增区间是(，1；单调减区间是1，)注：(1)利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的(2)复合函数单调性的判定的结论：同增异减当然这一结论解决填空题或选择题时，直接使用，如果是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明(3)本题可进一步研究：函数 f(x)(12)x22x的值域如何求？由上面的结论可知：t x22x(x 1)211，所以 0f(x)2，当且仅当 x1 时，f(x)2，因此，函数 f(x)(12)x22x的值域为(0，2 注意：必须注意 f(x)(12)x22x0 例 2 判断函数 f(x)axax(a 0，且 a1)
14、的奇偶性，并证明之 解 函数 f(x)的定义域是 R 由于对定义域内任意 x，都有 f(x)axaxf(x)，所以函数 f(x)axax是偶函数 解：(1)因为对人任意 xR，3x10，所以函数 f(x)的定义域是 R y 1 yg(t)(t0)6 (2)因为 yf(x)3x13x+1123x+1 设 t 3x，则 yg(t)12t+1(t 0)设 0t1t2，则 y1y22t2+12t1+12(t1t2)(t1+1)(t2+1)0，所以函数 yg(t)是(0，)上的增函数 所以 y120+11 所以 f(x)的值域是(1，)注意：可画出函数 yg(t)(t0)的图象，由图象得 y1(安排此问
15、题是为了让学生通过3x13x+1，123x+1这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫)(3)提问：计算 f(x)应该用3x13x+1，123x+1哪一种形式计算更为方便呢？对于任意 xR，都有 f(x)3x13x+113x13x3x13x+1f(x)，所以 f(x)3x13x+1是奇函数(4)提问：计算 f(x1)f(x2)应该用3x13x+1，123x+1哪一种形式计算更为方便呢？对于 R上任意两个值 x1，x2，设 x1x2，f(x1)f(x2)(1 23x11)(1 23x21)23x2123x112(3x13x2)(3x11)(3x21)，因为 x1x2，y3x是单调增函数，
16、所以 3x13x2，所以 3x13x20 又因为 3x110，3x210，所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以 f(x)3x13x+1是 R上的单调增函数 7 总结对于 f(x)ax1ax+1(a 0，且 a1)的单调性和奇偶性的研究，应该具体问题具体分析 第五讲 巧解 y=f(ax+b)函数的解析式和定义域 有很多同学在求复合函数的解析式和函数的定义域时，有时感觉步骤太多，不愿求，或很容易求错。现在介绍一种简便的方法供同学们参考。一、求复合函数的解析式 1、已知 f(2x 1)=3x2-4x+3,求 f(x+3)的解析式 一般的方法是先利用换元法求出 f(x)的解析式
17、，再利用 f(x)的解析式求 f(x+3)的解析式。解：设 2x-1=t,则 x=21t,所以 f(t)=3(21t)2-421t+3=4721432 tt,f(x+3)=47)3(21)3(432xx=74432 xx 巧解：令 2x-1=t+3,则 x=24t,所以 f(t+3)=3(24t)2-424t+3=74432 tt 所以 f(x+3)=74432 xx 2、已知 f(x21)=5-3x,求 f(x+1)的函数解析式 解：设x21=t,所以 x=212t(t0),f(t)=5-3212t=27232t f(x+1)=27)1(232x (x-1)练习：(1)已知：f(3x+8)=
18、3x2+6x+9,求 f(1-3x)的函数解析式 （2）已知 f(43 x)=9x+8,求 f(3x-8)的函数解析式 二、求函数的定义域 1、已知函数 y=f(235 x)的定义域为（3，13），求 y=f(3x 8)的定义域 学生对这样的题，关键在定义域的定义理解错误，造成解题错误，很多同学以为定义域指的是 3x8 的取值范围，根据函数的定义域的概念：是使函数有意义的 x 的值范围，所以这题正确解法如下：一般解法：解：依题意 3x13，6235 x31,所以 63x-831,解得13314x，所以函数 f(3x-8)的定义域为x|13314x.巧解：令235 x=3t8,5136 tx,因
19、为 3x13,35136 t0)的图像关于直线y=x 对称，则 f(x)=4(2005 江西理、文)若函数)2(log)(22aaxxxf是奇函数，则 a=5.（2007 重庆理）若函数 f(x)=1222aaxx的定义域为 R，则 a 的取值范围为 6（2007 江西理）设函数 y4log2(x 1)(x 3)，则其反函数的定义域为 7（2004 湖南文科）若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a0,且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 8.（2001 上海理科）设函数 f(x)=),1(x,xlog,1-x,281x，则满足 f(x)=41的 x 值为_.七、关于函数的
20、对称性和周期性 函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005 年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。一、函数的对称性 1、函数()yf x满足()()f axf bx时，函数()yf x的图象关于直线2abx对称。证明：在函数()yf x上任取一点（x1，y1），则11()yf x，点（x1，y1）关于直线2abx的对称点（1abx，y1），当1xabx 时，11111()()()()f abx
21、f abxf bbxf xy ，故点（1abx，y1）也在函数()yf x图象上。由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2abx对称。（注：特别地，a=b=0 时，该函数为偶函数。）2、函数()yf x满足()()f axf bxc 时，函数()yf x的图象关于点（2ab，2c）对称。9 证明：在函数()yf x上任取一点（x1，y1），则11()yf x，点（x1，y1）关于点 （2ab，2c）的对称点（1abx，cy1），当1xabx 时，1111()()()f abxcf bbxcf xcy ，即点（1abx，cy1）在函数()yf x的图象上。由于点（x1，y
22、1）为函数()yf x图象上的任意一点可知，函数()yf x的图象关于点（2ab，2c）对称。（注：当 a=b=c=0 时，函数为奇函数。）3、函数()yf ax的图象与()yf bx的图象关于直线2bax对称。证明：在函数()yf ax上任取一点（x1，y1），则11()yf ax，点（x1，y1）关于直线2bax对称点（1bax，y1）。由于1111()()f bbaxf bbaxf axy ，故点（1bax，y1）在函数()yf bx上。由点（x1，y1）是函数()yf ax图象上任一点，因此()yf ax与()yf bx关于直线2bax对称。二、周期性 1、一般地，对于函数()f x，
23、如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有(T)()f xf x，那么函数()f x就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。2、对于非零常数 A，若函数()yf x满足(A)()f xf x，则函数()yf x必有一个周期为 2A。证明：(2A)(A)(A)()()f xf xxf xf xf x 函数()yf x的一个周期为 2A。3、对于非零常数 A，函数()yf x满足1(A)()f xf x，则函数()yf x的一个周期为 2A。证明：略。4、对于非零常数 A，函数()yf x满足1()()f xf x，则函数()yf x的一个周期为 2A。证明：略。三
24、、对称性和周期性之间的联系 1、函数()yf x有两根对称轴 x=a，x=b 时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。已知：函数()yf x满足()()f axf ax，()()f bxf bx（ab），求证：函数()yf x是周期函数。证明：()()f axf ax得()(2)f xfax()()f bxf bx得()(2)f xfbx(2)(2)faxfbx ()(22)f xfbax 函数()yf x是周期函数，且22ba是一个周期。2、函数()yf x满足()()f axf axc 和()()f bxf bxc （ab）时，函数()yf x是 10 周期函
25、数。（函数()yf x图象有两个对称中心（a，2c）、（b，2c）时，函数()yf x是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）证明：由()()f axf axc ()(2)f xfaxc ()()f bxf bxc ()(2)f xfbxc 得(2)(2)faxfbx 得()(22)f xfbax 函数()yf x是以 2b2a 为周期的函数。3、函数()yf x有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb）（ab）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()ba。证明：略。四、知识运用 2005 高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的 12 题是一个错
26、题。现一并录陈如下，供大家参考。1、（2005 福建理）()f x是定义在 R上的以 3 为周期的奇函数，且(2)0f，则方程()0f x 在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A2 B3 C4 D5 解：()f x是 R上的奇函数，则(0)0f，由(3)()f xf x 得(3)0f，(2)0f(5)0f(2)0f(1)0(1)0ff (4)0f x=1，2，3，4，5 时，()0f x 这是答案中的五个解。但是 (1 5)(1 53)(1 5)fff 又 (1 5)(1 5)ff 知(1 5)0f 而 0(1 5)(1 53)(4 5)fff 知 1.5,4.5,()0 xxf x也成立
27、，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为 7。2、（2005 广东 19）设函数()f x在（，）上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间0，7 上，只有(1)(3)0ff。试判断函数()yf x的奇偶性；试求方程()0f x 在闭区间 2005，2005 上的根的个数，并证明你的结论。解：由(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx 得函数()yf x的对称轴为2x，7x。由前面的知识可知函数的一个周期为 T=10。因为函数()yf x在0，7 上只有(1)(3)0ff 可知 (0)0f，(7)0f 又 (3)0,(3)(310)(7)ffff且(7)0f 而 (7)0
28、f且(7)0f，则(7)(7)ff，(7)(7)ff 因此，函数()yf x既不是奇函数，也不是偶函数。由(3)(1)0ff，可得(11)(13)(7)(9)0ffff 故函数()yf x在0，10 和 10，0 上均有两个解，满足()0f x；从而可知函数()yf x 11 在0，2005 上有 402 个解，在 2005，0 上有 400 个解。所以，函数()yf x在 2005，2005 上共有 802 个解。八、函数问题中的易错点 函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事
29、实不符”和“时间间隔计算出错”四种解题误区，下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析：一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错 例 1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米，如果池外壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔壁建造单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米 80 元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）（1）、写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指出其定义域.（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.错解：（1）污水处理池的长为x米，则宽为200
30、 x米，总造价 200200400(22)248280200yxxx =324800()16000(016)xxx （2）324800()16000800 2 3241600044800yxx，当且仅当324xx，即32418x 最低造价为 44800 元.错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域016x 是不严格的，应由已知条件进一步缩小范围：12.516x.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为18x，但在定义域内取不到 18，所以应根据函数的单调性进行分析求解.正解：（1）324800()16000,yxx20016,12.5xx Q，则定义域
31、为12.5,16（2）长和宽分别为 16 米，12.5米时，总造价最低且为 45000 元.二、由于对实际问题理解不全面而致错 例 2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：/km 小时）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为l（单位：m），且当车速为50(/km 小时)时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？12 车速车流量=车距+车身长 错解：2dkv l，将50,vdl代入得12500k，212500dv l，又将12dl代入得25 2v，由题意得21
32、(25 2)2500dv l v，将210001000(25 2)(1)2500vvQvvdll，100010002500011()225002500vlvllvvQ 2500050vlmax当且仅当时,Q 综上所知：50(/)vkm h时,车流量Q取取最大值.错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低于25 2/km h，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.正解：依题意，得21 (25 2)21 (25 2)2500lvdv lv，则21000(25 2)3100021000(25 2)(1)2500vvlvQvdlvvl，显然，当25 2
33、v 时，Q是v的增函数，25 2v 时，max100050000 2332vQll，当25 2v 时，100010002500011()225002500vlvllvvQ，当且仅当50v 时，max25000Ql，综上所述，当50(/)vkm h时车流量 Q取到最大值.三、结果与事实不符而致错 例 3、WAP 手机上网每月使用量在 500 分钟以下（包括 500 分钟），按 30 元计费；超过 500 分钟的部分按 0.15/分钟计费。假如上网时间过短（小于 60 分钟的），使用量在 1 分钟以下不计费，在 1 分钟以上（包括 1 分钟）按 0.5 元/分钟计费。WAP 手机上网不收通话费和漫
34、游费。（1）写出上网时间 x 分钟与所付费用 y 元之间的函数关系式；（2）12 月小王 WAP 上网使用量为 20 小时，要付多少钱？（3）小王 10 月份付了 90 元的 WAP 上网费，那么他上网的时间是多少？错解：1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为（2）当12006020 x分钟，500 x，应付0.15 1200180y 元，（3）90 元已超过 30 元，所以上网时间超过 500 分钟，由解析式可得上网时间为 600 分钟。13 错解分析：此题错解主要是对“超过 500 分钟的部分按 0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论
35、，如第（2）小题上了 1200 分钟的网，要 180 元，是 30 元包月用 500 分钟的 6 倍，而时间上才 2 倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了 90 元，几乎是 30 元的 3 倍，而可上网时间才多了 100 分钟，与事实不符.正解：（1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为 （2）当12006020 x分钟，500 x，应付135)5001200(15.030y元，（3）90 元已超过 30 元，所以上网时间超过 500 分钟，由解析式可得上网时间为 900分钟。四、时间间隔计算出错 例 4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是a，则这两年内第
36、二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率是多少？错解：设第一年某月的产值为b，则第二年相应月的产值是11(1)ba，依题意所求增长率是1111(1)(1)1babab.错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式(1)xyNp，对于x往往指基数所在时间后跨过时间的间隔数.正解：不妨设第一年 2 月份的产值为b，则 3 月份的产值为(1)ba，4 月份的产值为2(1)ba，依次类推，到第二年 2 月份是第一年 2 月份后的第 12 个月，即一个时间间隔是一个月，这里跨过了 12 个月，故第二年 2 月份产值是12(1)ba，又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月的增长率为：12
37、12(1)(1)1babab.函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入以上两个误区.具体的解题步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步，审题：弄清题意，分清条件结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得到数学结论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.变式练习题 1、已知 A、B两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A到达 B地，在 B地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A地，把汽车离开 A地的距离x表示为时间t的函数，表达式为 解析：由 A
38、到 B共用时150602.5，停留 1 小时距离不变，由 B返回时距离逐渐减小，60 (0t2.5)150 (2.5t3.5)15050(3.5)(3.5t6.5)txt 0,010.5,16030,60500300.15(500),500 xxxyxxx 14 2、某种产品每件 80 元可售出 30 件，如果每件定价 120 元，则每天可售出 20 件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 解析：设售出件数为y件，定价为x元，则有8030 xy或12020 xy，设一次函数为ykxm，则有13080;20120,450kkmkmm ，因此一次函数为1504yx.另因0y，则200
39、 x，又0 x，因此可得0200 x，即有1504yx，0,200 x.3、某人骑车沿直线旅行，先前进了 a 千米，休息了一段时间，又原路返回 b 千米(0ba)，再前进 c 千米，则此人离起点的距离 y 与时间 x 的关系示意图是()解析：观察排除法.因“前进了 a 千米后休息了一段时间”，排除 A；接着“又原路返回 b 千米(0ba)，”再排除 B，D，应选 C 4、开始时水桶甲中有16升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线16ktye（k是正常数），假设经过2分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等，那么经过多少分钟时水桶甲的水剩余 2 升？解析：由题意，当2t
40、 时，8y，即2816ke，故12ke，设经过t分钟时水桶甲的水剩余 2 升，则216kte，11()28t，13211()()23t，6t 答：经过 6 分钟时水桶甲的水剩余 2 升 习题答案 一、集合 1、12 2、5m 或7m 或(2 6,2 6)m 3、126 4、1,3 5、0,1 6、14 7.a 1 解析：因为 AB=R，画数轴可知，实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边，所以，有 a1。82,4,8 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法：11,2,3,4,5,6,7,8U，则1,3,5,7,3,6,9,AB所以1,3,5,7,9AB U，所以()2,4,8UAB U
41、 9.（0，3）解析：因为|33,|0,AxxBx x 所以(0,3)AB I 10.a1 解析：因为 AB=R，画数轴可知，实数 a 必须在点 1 上或在 1 的左边，所 15 以，有 a1。11.6 解析：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共 6 个.12.2，4，6，8 解析：9,8,7,6,5,4,3
42、,2,1BAU 9,7,5,3,1BCAU 8,6,4,2B 13 解：（1）当 a2 时，A（2，7），B（4，5）AIB（4，5）（2）B（2a，a21），当 a13时，A（3a1，2）要使 BA，必须223112aaa，此时 a1；当 a13时，A，使 BA的 a 不存在；当 a13时，A（2，3a1）要使 BA，必须222131aaa，此时 1a3 综上可知，使 BA的实数 a 的取值范围为1，3 1 14（1）因为BABA，此时当且仅当BA，又因为 3,2B，由韦达定理可得5a和6192a同时成立，即5a；（2）由于 3,2B，24，C，因为BA，且CA，故只可能 3A，所以0103
43、2 aa，也即5a或2a，由（1）可得2a；（3）因为CABA，此时只可能 2A，有01522 aa，也即5a或3a，由（1）可得3a 15.Q由题意:A=1,3，ABABA QU，又因为 0)1()(1(|axxxB 1,11.(2)BaBa或时 当1,1aB时，有31a，即4a；1B时，2a；ACCCA QI 当C时,C 中方程无根，即24022mm ;当C时，若 1C，有011 m即2m；若 3C，有0139m即310m；检验当310m时，31,3C，不满足CCA，故310m舍去 若3,1C时，m无解 由上述得：4a或2a；22m 16.()11,9,7,5,3,15,121kNkkxx
44、A 10,8,6,4,2,05,22kNkkxxA；16 13,11,9,7,5,3,1,13,14,143kNkkxkxxA或；)0,4(),1,3(),2,2(),3,1(),4,0(,6),(4NyNxyxyxA（）对集合1A，2A，3A，如果使 kZ,那么1A、3A所表示的集合都是奇数集；2A所表示的集合都是偶数集；31AA 17（1）画数轴可知24xxBA，42xxxBA或，因为42xxBCR，所以22)(xxABCR （2）要使NM，则有13k，即4k 二、函数的单调性和奇偶性 例 1 解：对称轴ax 1，由41 a得3a 04 例 2 解：设1x、2xR且21xx 则)1(021
45、xx )2()()()()()(22212121313212xxxxxxaxaxxfxf 当021xx时，0222121xxxx 当021xx时，1x和2x中必有之一不为 0（21xx）0222121xxxx 当021xx时，0)(21221222121xxxxxxxx 在上面讨论结合（1）和（2）有0)()(12xfxf 函数在 R上是减函数 例 3 证：任取1x，Rx 2且21xx 则因为)(xg在 R上是增函数 所以)()(21xgxg 又 )(xf在 R上是增函数 )()(21xgfxgf )(xgf在 R上是增函数 结论：同增异减：)(ufy 与)(xgu 增减性相同（反），函数)(
46、xgfy 是增（减）函数。例 4 解：首先确定义域：0 xx 在)0,(和),0(两个区间上分别讨论 任取1x、2x),0(且21xx 则212112112212)(11)()(xxxxxxxxxxxfxf)11)(2112xxxx 要确定此式的正负只要确定2111xx的正负即可 这样，又需判断211xx大于 1 还是小于 1，由于21xx的任意性。17 考虑到要将),0(分为)1,0(与),1(（1）当)1,0(,21xx时，01121xx 0)()(12xfxf 为减函数（2）当1x,),1(2x时，01121xx 0)()(2xfxf 为增函数 同理（3）当)0,1(,21xx时，为减函
47、数（4）当)1,(,21xx时，为增函数 例 5 注：对于定义域内的任意一个x，都有)()(xfxf成立，则称)(xfy 为偶函数。对于定义域内的任意一个x，都有)()(xfxf成立，则称)(xfy 为奇函数。解：（1）函数与定义域为 R xxxxxf32)1(3)1()(323 )(3)(3xfxxxf )(xf为奇函数（2）函数的定义域为 R 又 )()()(3232xfxxxf )(xf为偶函数（3）函数的定义域为 1 )(xf为非奇非偶函数（4）函数的定义域为1,1，此时0)(xf )(xf既是奇函数又是偶函数（5）由011xx得11x，知定义域关于原点不对称 )(xf既不是奇函数也不
48、是偶函数 例 6 解：设),0(x则)0,(x )1()1)()(xxxxxf 又 )(xf在 R上为奇函数 )1()()(xxxfxf 当),0(x时，)1()(xxxf )1()(xxxf 例 7 解：由)(xf为奇函数知：)1()1()1()1(222afafafaf 由)(xf是减函数知：112aa 1111111122aaaa 解得10a 例 8 解：)3()3()(2xxfxfxf 又)4()2()2()2(22ffff 2)3()(xfxf 化为)4()3(2fxxf 030432xxxx 解得43x 六、指数,对数函数 10,2)4,3(3,3 x3 4 22 5 0,1 6,
49、5 7 21,0 8 3 18 高一数学必修一总复习北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：必修一总复习 本讲的主要内容 1、集合及其基本运算 2、函数的概念及其基本性质 3、二次函数与幂、指、对数函数 4、函数的应用 二、学习目标 1、了解集合语言是现代数学语言的重要组成部分，可以简洁、准确地表述数学对象和结构；学会运用集合等数学语言来刻画世界和运用数学语言学习数学、进行交流的能力；2、加深对函数概念本质的认识和理解；加强对变量数学的认识，认识到函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；并能结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，了解指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数增长模
50、型；通过收集函数的应用实例，了解函数模型的广泛应用。三、知识要点 1、集合的概念与基本运算 一组对象的全体形成一个集合；常用大写拉丁字母来标记，如集合 M，集合A 集合中的元素有三大特征，即无序性、确定性和互异性，这是判断集合形成和区分集合的重要依据；集合的表示：穷举法、描述法和图示法 集合的运算：指的是子、交、并、补四种运算，其结果仍然是一个集合；,|UABxAxBCABCx xAxBCABCx xAxBMC AMx xUxA IU都有且或且 以下题型的结果要用集合表述：求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程（组）的解集以及集合运算的结果等。2、函数的概念与基本性质 函数概念的三种表述：运