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1、线性代数考试复习提纲知识点例题 线性代数考试复习提纲、知识点、例题 一、行列式的计算(重点考四阶行列式)1、利用行列式的性质化成三角行列式 行列式的性质可概括为五条性质、四条推论,即七种变形手段(转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加);三个为 0【两行(列)相同、成比例、一行(列)全为 0】2、行列式按行(列)展开定理降阶 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之与,即1122.iiiiininDa Aa Aa A 1,2,.,in 1122.iiiininiDa Aa Aa A 1,2,.,in 例 1、计算行列式2240413531232051 二、解矩阵方程 矩阵
2、方程的标准形式:AXB XAB AXBC 若系数矩阵可逆,则1XA B 1XBA 11XA CB 切记不能写成11XA B C或CXAB 求逆矩阵的方法:1、待定系数法()ABEBAE或 2、伴随矩阵法11AAA 其中A叫做A的伴随矩阵,它就是A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。线性代数考试复习提纲知识点例题 112111222212.nnnnnnAAAAAAAAAA 3、初等变换法1AEEA初等行变换 例 2、解矩阵方程315614165278910X 例 3、解矩阵方程 XAXB,其中 010111101A 112053B 三、解齐次或非齐次线性方程组 设ijm nAa,
3、n元齐次线性方程组0AX 有非零解()r An n元齐次线性方程组0AX 只有零解()r An。当mn时,n元齐次线性方程组0AX 只有零解0A。当mn时,n元齐次线性方程组0AX 有非零解0A。当mn时,齐次线性方程组一定有非零解。定义:设齐次线性方程组0AX 的解1,.,t满足:（1）1,.,t线性无关,（2）0AX 的每一个解都可以由1,.,t线性表示。则1,.,t叫做0AX 的基础解系。定理 1、设m nA,齐次线性方程组0AX,若()r Arn,则该方程组的基础解系一定存在,且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。齐次线性方程组的通解1 1.n rn rxkk 1,.,n rk
4、kR 设ijm nAa,n元非齐次线性方程组AXB有解()()r Ar A。线性代数考试复习提纲知识点例题 唯一解()()r Ar An。无数解()()r Ar An。无解()()r Ar A。非齐次线性方程组的通解1 1.n rn rxkk,1,.,n rkkR 例 4、求齐次线性方程组12341234123420202220 xxxxxxxxxxxx 的通解 例 5、求非齐次线性方程组1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx 的通解。四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论 例 6、当为何值时,齐次线性方程组0020 xyzxyzxyz 有非零解,并求解。
5、例 7、已知线性方程组12312321232222xxxxxxxxx ,问当为何值时,它有唯一解,无解,无穷多解,并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性 12,.,s 线性相关12,.,(2)ss 中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。存在不全为 0 的数12,.,sk kk使得1122.0sskkk。1212,.,0.sskkk 列有非零解 1212,.,0.ssk kk 行有非零解 线性代数考试复习提纲知识点例题 12/12,.,0.sskkk 有非零解 12,.,srs /12,.,srs 12,.,s 线性无关12,.,(2)ss 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。若11
6、22.0sskkk,则12.0skkk。1212,.,0.sskkk 列只有零解 1212,.,0.ssk kk 行只有零解 12,.,srs 12/12,.,0.sskkk /12,.,srs 特殊的,n个n维向量12,.,n 线性相关12,.,0n或120.n。n个n维向量12,.,n 线性无关12,.,0n或120.n。例 8、已知向量组 1,2,1t ,22,0t,31,1,1,讨论t使该向量组 (1)线性相关 (2)线性无关 六、求向量组的秩,极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示 设向量组12:,.,sA,若从A中选出r个向量构成向量组 线性代数考试复习提纲知识点例题 120
7、:,.,riiiA 满足:（1）0A线性无关（2）A中的每一个向量都能由0A线性表示,条件(2)换一句话说A的任意1r 个向量(若有的话)都线性相关,或者说从A中向0A任意添加一个向量(若有的话),所得的向量组都线性相关。则0A叫做A的极大线性无关向量组,简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩,记作12,.,srr 求向量组的秩的方法:（1）扩充法（2）子式法 12.mm n 12,.,mn m 最高阶非0 子式的阶数就就是矩阵的秩,也就就是这个向量组的秩,并且这个子式的行(列)对应的原向量组的向量就就是这个向量组的一个极大无关组。（3）初等变换法 同法二构成矩阵,对矩
8、阵进行初等变换。例 9、设向量组 1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,3)求(1)向量组的秩;(2)向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。线性代数考试复习提纲知识点例题 七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题 1P APB 相似矩阵的性质:1、相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,行列式,迹。特征值相同就是两个矩阵相似的必要而非充分条件。2、相似矩阵有相同的秩。秩相等就是方阵相似的必要而非充分条件。3、相似矩阵有相同的可逆性,当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。4、若A与B相似,则kA与kB相似,kN,则(
9、)A与()B相似。11111().kkkBPAPPAPPAP PAPPA P nA与12nO相似 nA有n个线性无关的特征向量12,.,nppp,且以它们为列向量组的矩阵P使1P AP,12,.,n分别为与12,.,nppp对应的nA的特征值。若nA有n个 互 不 相 等 的 特 征 值12,.,n,则nA一 定 与12nO相似。nA与相似对应于nA的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。()nrEAk 其中k为的重数 线性代数考试复习提纲知识点例题 例 10、设矩阵12422421Ax 与50000004By相似(1)求 x 与 y;(2)求可逆矩阵P,使1P APB。例 11、设00111100aA,问a为何值时,矩阵A能相似对角化。例 12、设三阶矩阵A的特征值为11,22,33,对应的特征向量依次为/11,1,1,/21,2,4,/31,3,9,求矩阵A。例 13、设三阶实对称矩阵A的特征向值1,1,1 ,与特征值1对应的特征向量为11,1,1,求A。八、化二次型为标准型,并求所用线性变换的矩阵 例14、化二次型222123123121323(,)564610f x xxxxxx xx xx x为标准型,并求所用可逆线性变换的矩阵。例 15、化二次型123121323(,)226f x xxx xx xx x为标准形,并求所用可逆线性变换的矩阵。