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1、高中数学基础知识汇总 第 1 页 第一部分 集合 3.(1)含 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n1;非空真子集的数为 2n2;(2);BBAABABA 注意:讨论的时候不要遗忘了A的情况。4.就是任何集合的子集,就是任何非空集合的真子集。第二部分 函数 1.映射:注意 第一个集合中的元素必须有象;一对一,或多对一。2.函数值域的求法:分析法;配方法;判别式法;利用函数单调性;换元法;利用均值不等式 2222babaab;利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);利用函数有界性(xa、xsin、xcos等);4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决
2、,再下结论。5.函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称就是函数具有奇偶性的必要条件;)(xf就是奇函数f(x)=f(x);)(xf就是偶函数f(x)=f(x)奇函数)(xf在原点有定义,则0)0(f;在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;6.函数的单调性 单调性的定义:)(xf在区间M上就是增函数,21Mxx当21xx 时有12()()f xf x;)(xf在区间M上就是减函数,21Mxx当21xx 时有12()()f xf x;单调性的判定 定义法:一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作
3、商的形式,以利于判断符号;导数法(见导数部分);复合函数法;图像法。注:证明单调性主要用定义法与导数法。7.函数的周期性(1)周期性的定义:对定义域内的任意x,若有)()(xfTxf(其中T为非零常数),则称函数)(xf为周期函数,T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。(2)三角函数的周期 2:sinTxy;2:cosTxy;Txy:tan;|2:)cos(),sin(TxAyxAy;|:tanTxy;(3)与周期有关的结论 高中数学基础知识汇总 第 2 页 )()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为a2;8.
4、基本初等函数的图像与性质 幂函数:xy ()R;指数函数:)1,0(aaayx;对数函数:)1,0(logaaxya;正弦函数:xysin;余弦函数:xycos;(6)正切函数:xytan;一元二次函数:02cbxax;其它常用函数:正比例函数:)0(kkxy;反比例函数:)0(kxky;函数)0(axaxy;9.二次函数:解析式:一般式:cbxaxxf2)(;顶点式:khxaxf2)()(,),(kh为顶点;零点式:)()(21xxxxaxf。二次函数问题解决需考虑的因素:开口方向;对称轴;端点值;与坐标轴交点;判别式;两根符号。二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程就是abx2,顶点坐标
5、就是abacab4422，。10.函数图象:图象作法:描点法(特别注意三角函数的五点作图)图象变换法导数法 图象变换:平移变换:)()(axfyxfy,)0(a左“+”右“”;)0(,)()(kkxfyxfy上“+”下“”;对称变换:)(xfy )0,0()(xfy;)(xfy 0y)(xfy;)(xfy 0 x)(xfy;)(xfy xy()xf y;翻转变换:)|)(|)(xfyxfy右不动,右向左翻()(xf在y左侧图象去掉);)|)(|)(xfyxfy上不动,下向上翻(|)(xf|在x下面无图象);11.函数图象(曲线)对称性的证明(1)证明函数)(xfy 图像的对称性,即证明图像上任
6、意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明函数)(xfy 与)(xgy 图象的对称性,即证明)(xfy 图象上任意点关于对称中心(对称轴)高中数学基础知识汇总 第 3 页 的对称点在)(xgy 的图象上,反之亦然;注:曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(0,0)的对称曲线 C2方程为:f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2方程为:f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2方程为:f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2方程为:f(y,x)=0 f(a+x
7、)=f(b x)(x R)y=f(x)图像关于直线 x=2ba 对称;特别地:f(a+x)=f(a x)(x R)y=f(x)图像关于直线 x=a 对称;12.函数零点的求法:直接法(求0)(xf的根);图象法;二分法、(4)零点定理:若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0;6.圆的方程的求法:待定系数法;几何法。7.点、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)点与圆的位置关系:(d表示点到圆心的距离)Rd点在圆上;Rd点在圆内;Rd点在圆外。直线与圆的位置关系:(d表示圆心到直线的距离)Rd相切;Rd相交;Rd相离。圆与圆的位置关系:(d表示圆心距,rR,表示两圆半径,且rR)rR
8、d相离;rRd外切;rRdrR相交;rRd内切;rRd0内含。8、直线与圆相交所得弦长22|2ABrd 第七部分 平面向量 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:ab(b 0)a=b()Rx1y2x2y1=0;高中数学基础知识汇总 第 6 页 ab(a、b 0)a b=0 x1x2+y1y2=0 a b=|a|b|cos=x2+y1y2;注:|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影;|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影;a b 的几何意义:a b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。cos=|baba;三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线xy1OPx
9、OAyOB uuu ruuu ruuu r且;(理科)P,A,B,C 四点共面,xyz1OPxOAyOBzOC uuu ruuu ruuu ruuu r且。第十一部分 概率 1.事件的关系:事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作BA;事件 A 与事件 B 相等:若ABBA,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B;并(与)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作BA(或BA);并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作BA(或AB);事件 A 与事件 B 互斥:若BA为不可能事件(BA),则事件 A 与互斥;6对立事件:BA为不
10、可能事件,BA为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。2.概率公式:互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);古典概型:基本事件的总数包含的基本事件的个数AAP)(;几何概型:等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP)(;第十二部分 统计与统计案例 1.抽样方法 简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。注:每个个体被抽到的概率为Nn;常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。系统抽样:当总体个数较多时,可将总体
11、均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。注:步骤:编号;分段;在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l;按预先制定的规则抽取样本。分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数Nn 2.总体特征数的估计:样本平均数niinxnxxxnx1211)(1;高中数学基础知识汇总 第 7 页 样本方差)()()(1222212xxxxxxnSn21)(1xxnnii;样本标准
12、差)()()(122221xxxxxxnSn=21)(1xxnnii;3.相关系数(判定两个变量线性相关性):niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(注:r0 时,变量yx,正相关;r 0 时,变量yx,负相关;|r 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;|r 接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4.回归分析中回归效果的判定:总偏差平方与:niiyy12)(;残差:iiiyye;残差平方与:21)(niyiyi;回归平方与:niiyy12)(21)(niyiyi;相关指数niiiniiiyyyyR12122)()(1。注:2R得知越大,说明残差平方与越小,
13、则模型拟合效果越好;2R越接近于 1,则回归效果越好。5.独立性检验(分类变量关系):随机变量2K越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。第十三部分 算法初步 1.程序框图:图形符号:终端框(起止况);输入、输出框;处理框(执行框);判断框;流程线;程序框图分类:顺序结构:条件结构:循环结构:r=0?否 求 n 除以 i 的余数 输入 n 就是 n 不就是质素 n 就是质数 i=i+1 i=2 in 或 r=0?否 就是 注:循环结构分为:.当型(while 型)先判断条件,再执行循环体;.直到型(until 型)先执行一次循环体,再判断条件。2.基本算法语句:高中数学基础知识汇总 第 8 页 输入语句:INPUT“提示内容”;变量 ;输出语句:PRINT“提示内容”;表达式 赋值语句:变量=表达式 条件语句:IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体 1 END IF ELSE 语句体 2 END IF 循环语句:当型:直到型:WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件