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1、1/12 2009 年普通高校招生统一考试（湖北卷）数学（文史类）注意事项：1.答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.若向量 a=（1，1），b=（-
2、1,1），c=（4，2），则 c=A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b【答案】B 2.函数)21,(2121xRxxxy且的反函数是A.)21,(2121xRxxxy且 B.)21,(2121xRxxxy且C.)1,()1(21xRxxxy且 D.)1,()1(21xRxxxy且【答案】D 3.“sin=21”是“212cos”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 4.从 5 名志愿者中选派4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共
3、有A.120 种 B.96种 C.60种 D.48种【答案】C【解析】5 人中选 4 人则有45C种，周五一人有14C种，周六两人则有23C，周日则有11C种，故共有45C14C23C=60 种,故选 C 2/12 5.已知双曲线22122xy的准线经过椭圆22214xyb（b0）的焦点，则b=A.3 B.5 C.3 D.2【答案】C【解析】可得双曲线的准线为2 1axc,又因为椭圆焦点为2(4,0)b所以有241b.即 b2=3 故 b=3.故 C.6.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=900,ACC1=600,BCC1=450,侧棱 CC1的长为 1，则该三棱柱的高等于A.21
4、 B.22C.23 D.33【答案】A 7.函数2)62cos(xy的图像 F 按向量 a 平移到 F/，F/的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.(,2)6 B.(,2)6 C.(,2)6 D.(,2)6【答案】D 8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4 辆甲型货车和8 辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400 元，可装洗衣机20 台；每辆乙型货车运输费用300 元，可装洗衣机10 台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元【答案】B【解析】设甲型
5、货车使用x辆，已型货车y辆.则04082010100 xyxy,求 Z=400 x+300y最小值.可求出最优解为（4，2）故min2200故选 B.9.设,Rx记不超过x 的最大整数为 x,令 x=x-x ，则215，215,215A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B 3/12【解析】可分别求得515122，5112.则等比数列性质易得三者构成等比数列10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似
6、地，称图2 中的 1，4，9，16，这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2nnan，同理可得正方形数构成的数列通项2nbn，则由2nbn()nN可排除 A、D，又由(1)2nnan知na必为奇数，故选 C.二填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。11.已知5255(1)110.axxbxa x,则 b=.【答案】40【解析】因为15()rrrTCax11510Ca223Cba.解
7、得2,40ab12.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是。【答案】0.24 0.96【解析】三人均达标为0.8 0.6 0.5=0.24,三人都不达标的概率为（1-0.8）（1-0.6）（1-0.5）=0.04，所以，三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96 13.设集合 A=(x log2x1),B=(X21XX0 由2716aa，得12716ad由3655,aa得11(2)(5)55adad由得12167ad将其代入得(163)(163)220dd，即22569220d8/12 24,0,2
8、,11(1)221ndddann1又代入得a解法二：由等差数列的性质得：2736aaaa，36365516a aaa由韦达定理知，36,aa是方程216550 xx的根，解方程得5x或11x设公差为d，则由633aad，得633aad0d，36131155,11,2,25413aadaad故21nan（）解法一：当1n时，112ba，12b当2n时，312n-1n231.22222nnnbbbbba 312n-12311.2222nnbbbba两式相减得1n2nnnba-a，12nnb因此12,12,2nnnbn当1n时，122Sb；当2n时，122123(12).22612nnnnbSbbb
9、b当1n时上式也成立，当n为正整数时都有226nnS解法二：令121121,2nnnnnnnbcacccacccKK则有两式相减得11,nnnaac由（）得111,2nnaaa11112,2(2),2222nnnnccnnbba即当时，又当 n=1时，9/12 12,(1)2(2)nnnbn于是3411232222nnnSbbbbKK=234122222nK-4=1222(21)426,2621nnnnS即20.（本小题满分13 分）如图，过抛物线22(0)ypx p的焦点 F 的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1（）求证：FM1FN1:（）记 FMM1
10、、FM1N1、FN N1的面积分别为123S、S、S，试判断22134SS S是否成立，并证明你的结论。本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）（）证法1：由抛物线的定义得11,MFMMNFNN1111,MFMMM FNFNNN F 2分如图，设准线l与x轴的交点为1F111/MMNNFFQ111111,F FMMM FF FNNN F而0111111180F FMMFMF FNN FN即0111122180F FMF FN0111190F FMF FN故11FMFN证法 2：依题意，焦点为(,0),2pF准线l
11、的方程为2px设点 M,N 的坐标分别为1122,),),MxyN xy（直线 MN的方程为2pxmy，则有11121112(,),(,),(,),(,)22ppMyNyFMp yFNp y由222pxmyypx得2220ympyp于是，122yymp，212y yp10/12 22211120FMFNpy yppuuuur uuuu r，故11FMFN（）22134SS S成立，证明如下：证法 1：设1122(,),(,)MxyN xy，则由抛物线的定义得1112|,|22ppMMMFxNNNFx，于是11111111|()|222pSMMF Mxy21111211|22SM NFFpyy3
12、1112211|()|222pSNNF Nxy222131211221114(|)4()|()|22222ppSS Sp yyxyxyQ22212121212121()4()|424pppyyy yx xxxy y将11222,2pxmypxmy与122122yympy yp代入上式化简可得22222222()()pm pppm pp，此式恒成立。故22134SS S成立。证法 2：如图，设直线MN的倾角为，12|,|MFrNFr则由抛物线的定义得1112|,|MMMFrNNNFr11111/,MMNNFFFMMFNNQ于是22211322111sin,sin()sin222SrSrr在1FM
13、M和1FNN中，由余弦定理可得2222222211111222|22cos2(1cos),|22cos2(1cos)FMrrrFNrrr由（I）的结论，得2111|2SFMFN2222222221112121311|4(1cos)(1cos)sin444SFMFNrrr rS S即22134SS S，得证。21.（本小题满分14 分）已知关于x 的函数21()33f xxbxcxbc,其导函数为()fx.令()|()|g xfx,记函数()g x在区间-1、1 上的最大值为M.11/12()如果函数f(x)在 x1 处有极值-34，试确定 b、c 的值；（）若 b1,证明对任意的c,都有 M2
14、；（）若Mk对任意的b、c 恒成立，试求k 的最大值。21本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想（满分14 分）（）解：2()2fxxbxcQ，由()f x在1x处有极值43可得(1)12014(1)33fbcfbcbc解得1,1bc或13bc若1,1bc，则22()21(1)0fxxxx，此时()f x没有极值；若1,3bc，则2()23(1)(1)fxxxxx当x变化时，()f x，()fx的变化情况如下表：x(,3)3(3,1)1(1,)()fx0+0()f x极小值12Z极大值43当1x时，()f x有极大值43，故1b
15、，3c即为所求。（）证法1：22()|()|()|g xfxxbbc当|1b时，函数()yfx的对称轴xb位于区间 1.1之外。()fx在 1,1上的最值在两端点处取得故M应是(1)g和(1)g中较大的一个2(1)(1)|12|12|4|4,Mggbcbcb即2M证法 2（反证法）：因为|1b，所以函数()yfx的对称轴xb位于区间 1,1之外，()fx在 1,1上的最值在两端点处取得。故M应是(1)g和(1)g中较大的一个假设2M，则(1)|12|2(1)|12|2gbcgbc将上述两式相加得：4|12|12|4|4bcbcb，导致矛盾，2M（）解法 1：22()|()|()|g xfxxb
16、bc（1）当|1b时，由（）可知2M；12/12（2）当|1b时，函数(yfx）的对称轴xb位于区间 1,1内，此时max(1),(1),()Mggg b由(1)(1)4,ffb有2()(1)(1)0fbfb m若10,b则(1)(1)(),(1)max(1),()fffbggg b，于是21111max|(1)|,|()|(|(1)|()|)|(1)()|(1)2222Mffbffbffbb若01b，则(1)(1)(),fffb(1)max(1),()ggg b于是21111max|(1)|,|()|(|(1)|()|)|(1)()|(1)2222Mffbffbffbb综上，对任意的b、c都有12M而当10,2bc时，21()2g xx在区间 1,1上的最大值12M故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为12。解法 2：22()|()|()|g xfxxbbc（1）当|1b时，由（）可知2M；（2）当|1b时，函数()yfx的对称轴xb位于区间 1,1内，此时max(1),(1),()Mggg b24(1)(1)2()|12|12|2|Mggg bbcbcbc22|12(12)2()|22|2bcbcbcb，即12M下同解法 1