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1、相似三角形知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段dcba,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,叫做成比例线段，简称比例线段 注：比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb ()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项 同时交换内外项 核心内容：bcad （2
2、）黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，即2ACAB BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC215 0.618AB即512ACBCABAC 简记为：512长短全长 注：黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形 黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：acabcdbdbd 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立如：dcdcbabaccdaabdcba等等 （4）等比性质：如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca 知识
3、点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知 AD BE CF,可得ABDEABDEBCEFBCEFABBCBCEFACDFABDEACDFDEEF或或或或等.特别在三角形中：由 DE BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或 知识点 4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例 注：对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的 两个
4、三角形形状一样，但大小不一定一样 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形 FEDCBAEABCD（2）三角形相似的判定方法 1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理 1：简述为：两角对应相等，两三角形相似 AA 3、判定定理 2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似SAS 4、判定定理 3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似SSS 5、判定定理 4：直角三角形中，“HL”全等与相似的比较：三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相
5、等(SSS)、(HL）两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例“HL”（3）射影定理：如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边 BC上的高，则 AD2=BD DC，AB2=BD BC，AC2=CD BC.知识点 5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形周长的比等于相似比(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点 6 相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(1)EABCD(3)DBCAEDBCA (2)如图：其中
6、1=2，则ADE ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反 A共角型”、“反 A共角共边型”、“蝶型”）(3)一线三等角的变形:知识点 7 等积式证明题常用方法归纳：(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”
7、)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。ABCDE12AABBCCDDEE12412(4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成 比例.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。知识点 8 相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3)相似多边形面积比等于相似比的平方 注意：相似多边形问题往往要
8、转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键 知识点 9 位似图形有关的概念与性质（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.（4）位似图形具有相似图形的所有性质.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）