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1、三角形题型归纳 一、线段比例问题（构造平行）1、下图中，E为平行四边形 ABCD 的对角线 AC上一点，AEEC=13，BE的延长线交 CD的延长线于 G，交 AD于 F，求证：BFFG=12.2、已知：如图，在直角三角形 ABC中，BAC=90，AB=AC，D为 BC的中点，E为 AC上一点，点 G在 BE上，连结 DG并延长交 AE于 F，若FGE=45，（1）求证：BD BC=BG BE；（2）求证：AG BE；（3）若 E为 AC的中点，求 EFFD的值。3、如图 1，在 RtABC中，BAC=90，AD BC于点 D，点 O是 AC边上一点，连接 BO交AD于 F，OE OB交 BC
2、边于点 E（1）求证：ABF COE；（2）当 O为 AC的中点，时，如图 2，求的值；（3）当 O为 AC边中点，时，请直接写出的值 4、如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交ACCD，于点PQ，（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；（2）求:BP PQ QR 二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）1、如下图，已知在ABC中，AD平分BAC,EM是 AD的中垂线，交 BC延长线于 E.求证：DE2=BECE.2、过ABC 的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E，求证：AEED=2AFFB.3、如果四边形 A
3、BCD 的对角线交于 O，过 O作直线 OGAB 交 BC于 E，交 AD于 F，交 CD的延长线于 G，求证：OG2=GEGF.A B C D E P O R 4、已知如图，CD是 RtABC斜边 AB上的高，E为 BC的中点，ED的延长线交 CA于 F。求证：5、如图，在 RtABC中，CD是斜边 AB上的高，点 M在 CD上，DHBM 且与 AC的延长线交于点 E.求证：（1）AEDCBM；（2）6、如图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过 D作 DGBC 于 G，分别交 CE及 BA的延长线于 F、H。求证：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH 7、已知如图，P为平行四边形
4、 ABCD 的对角线 AC上一点，过 P的直线与 AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点 E、F、G、H.求证：8、（1）如图 1，点在平行四边形 ABCD 的对角线 BD上，一直线过点 P分别交 BA，BC的延长线于点 Q，S，交于点求证：（2）如图 2，图 3，当点在平行四边形 ABCD 的对角线或的延长线上时是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明）；三、构造相似辅助线A、X字型 1、如图：ABC中，D是 AB上一点，AD=AC，BC边上的中线 AE交 CD于 F。求证：2、四边形 ABCD 中，AC为 AB、AD的比例中项，
5、且 AC平分DAB。求证：3、如图，过平行四边形 ABCD 的顶点 A的直线交 BD于 P，交 CD于 Q，并交 BC的延长线于 R，求证：22PBPDPRPQ 四、相似类定值问题 1、如图，在等边ABC中，M、N分别是边 AB，AC的中点，D为 MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交 AC、AB于点 E、F 求证：2、已知，在ABC中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a求证：3、如图，在ABC中，已知 CD为边 AB上的高，正方形 EFGH 的四个顶点分别在ABC上。求证：ABRDCPQ4、如图所示，ABCD 中，AC与 BD交于 O点，E为 AD延长线上一点，OE交 CD于 F，EO
6、延长线交 AB于 G求证：5、一条直线截ABC的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F 求证：6、已知：P为 ABCD 边 BC上任意一点，DP交 AB的延长线于 Q点，求证：五、证明线段相等 1、在等腰ABC，ACAB分别过点B、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连接DC，BE，DC与AB边相交于点M，BE与AC边相交于点N。(1)如图 1，若CBDE/，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明。(2)如图 2，若DE与CB不平行，在(1)中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明。2、在面积为 24 的ABC中，矩形 DE
7、FG 的边 DE在 AB上运动，点 F、G分别在 BC、AC上。（1）若 AE 8，DE 2EF，求 GF的长；（2）若ACB 90，如图 2，线段 DM、EN分别为ADG 和BEF的角平分线，求证：MG NF；（3）请直接写出矩形 DEFG 的面积的最大值。3、在ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DEBC交AC于点E运动时间为t秒 （1）若AB5，BC6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；（2）连接AF、CD若BDDE，求证：BAFBCD；（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MNAC，连接F
8、N 求证：BFCFDNCN；若AB5，BC6，AC4，当MNFN时，请直接写出t的值 EFABCDEFABCDNMEFABCD 六、对应练习题 1、如下图，在ABC中，D、E分别为 BC的三等分点，CM为 AB上的中线，CM分别交 AE、AD于 F、G，则 CFFGGM=532 2、已知：在四边形 ABCD 中，AD BC，BAC D，点 E、F 分别在 BC、CD上，且AEF ACD，试探究 AE与 EF之间的数量关系。（1）如图 1，若 AB BC AC，则 AE与 EF之间的数量关系是什么；（2）如图 2，若 AB BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如
9、图 3，若 AB kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明 3、在 RtABC，C=90，D为 AB边上一点，点 M、N分别在 BC、AC边上，且 DM DN 作MF AB于点 F，NE AB于点 E（1）特殊验证：如图 1，若 AC=BC，且 D为 AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若 ACB C如图 2，若 D为 AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；如图 3，若 BD=kAD，条件中“点 M在 BC边上”改为“点 M在线段 CB的延长线上”，其它条件不变，请探究 AE与 DF的数量关系并加以证明 A B C D E F
10、G 图 1 4、（1）如图 1，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求证：QCPEBQDP（2）如图，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图 2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图 3，求证MN2=DMEN 5、已知线段 OA OB，C为 OB上中点，D为 AO上一点，连 AC、BD交于 P点（1）如图 1，当 OA=OB 且 D为 AO中点时，求PCAP的值；（2）如图 2，当 OA=OB，AOAD=41时，求 tanBPC；6、如图 1，D是ABC的 BC 边上的中点，过点
11、D的一条直线交 AC于 F，交 BA的延长线于 E，AG BC交 EF于 G，我们可以证明 EG DC=ED AG成立（不要求考生证明）.（1）如图 2，若将图 1 中的过点 D的一条直线交 AC于 F，改为交 CA的延长线于 F，交 BA的延长线于 E，改为交 BA于 E，其它条件不变，则 EG DC=ED AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）根据图 2，请你找出 EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系,并给出证明;（3）如图 3,若将图 1 中的过点 D的一条直线交 AC于 F，改为交 CA的反向延长线于 F.其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？DCP
12、OAB图 1 DCPOAB图 2 A B C D F E G 图 3 A B C D E F G 图 2 7、已知：在ABC中 AB AC，点 D为 BC边的中点，点 F 是 AB边上一点，点 E在线段 DF的延长线上，BAE BDF，点 M在线段 DF上，ABE DBM （1）如图 1，当ABC 45时，求证：AE 2MD；（2）如图 2，当ABC 60时，则线段 AE、MD之间的数量关系为：。（3）在（2）的条件下延长 BM到 P，使 MP BM，连接 CP，若 AB 7，AE 72，求 tan ACP的值 8、如图 13，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC2BCD2a，点 E在 AD上，点 F在 DC上，且BEF=A.（1）BEF=_(用含a 的代数式表示)；（2）当 AB AD时，猜想线段 EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当 ABAD 时，将“点 E在 AD上”改为“点 E在 AD的延长线上，且 AE AB，AB mDE，AD nDE”，其他条件不变（如图 14），求 EB/EF的值（用含 m、n 的代数式表示）。