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1、第二节 参数方程1.1.参数方程的概念参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,yx,y都是某个变数都是某个变数t t的函数的函数_并且对于并且对于t t的每一个允许值，由的每一个允许值，由这个方程组所确定的点这个方程组所确定的点M(x,y)M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程组都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,yx,y的变数的变数t t叫做参变数，叫做参变数，简称参数简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程相对于参数方程而言
2、，直接给出点的坐标间关系的方程F(xF(x，y)y)0 0叫做普通方程叫做普通方程.2.2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程 轨迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程直线直线 y-y y-y0 0=tan(x-x=tan(x-x0 0)(点斜式点斜式)x=_,x=_,y=_.y=_.(t (t为参数为参数)圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 (r (r0)0)x=_,x=_,y=_.y=_.(为参数为参数)x x0 0+tcos+tcosy y0 0+tsin+tsina+rcosa+rcosb+rsinb+rsin轨
3、迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程椭圆椭圆 1 1 (a (ab b0)0)x=_,x=_,y=_.y=_.(为参数为参数)双双曲曲线线 1 1 (a (a0 0，b b0)0)x=_,x=_,y=_.y=_.(为参数为参数)抛抛物物线线 y y2 22px2px (p (p0)0)x=_,x=_,y=_.y=_.(t(t为参数，为参数，p p0)0)acosacosbsinbsinasecasecbtanbtan2pt2pt2 22pt2pt判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”“”或或“”).”).(1)(1)曲线的参数方程中的参数都有实际意义曲线的参数
4、方程中的参数都有实际意义.().()(2)(2)参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的.().()(3)(3)圆的参数方程中的参数圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的的几何意义相同几何意义相同.().()(4)(4)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不惟一普通方程化为参数方程，参数方程的形式不惟一.().()【解析解析】(1)(1)错误错误.曲线的参数方程中的参数，可以具有物理意曲线的参数方程中的参数，可以具有物理意义，可以具有几何意义，也可以没有明显的实际意义义，可以具有几何意义，也可以没有明显的实际意义.(2
5、)(2)错误错误.把普通方程化为参数方程后，很容易改变变量的取值把普通方程化为参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致.(3)(3)错误错误.圆的参数方程中的参数圆的参数方程中的参数表示半径的旋转角，而椭圆表示半径的旋转角，而椭圆的参数方程中的参数的参数方程中的参数表示对应的大圆或小圆半径的旋转角，表示对应的大圆或小圆半径的旋转角，即离心角即离心角.(4)(4)正确正确.用参数方程解决转迹问题，若选用的参数不同，那么用参数方程解决转迹问题，若选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同所求得的曲线的参数方程的形式
6、就不同.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)考向考向 1 1 直线的参数方程与应用直线的参数方程与应用 【典例典例1 1】直线直线 (t(t为参数为参数)的倾斜角为的倾斜角为_._.【思路点拨思路点拨】将直线的参数方程化为普通方程，利用直线的斜将直线的参数方程化为普通方程，利用直线的斜率求倾斜角；也可以将直线的参数方程化为标准形式再确定倾率求倾斜角；也可以将直线的参数方程化为标准形式再确定倾斜角斜角.【规范解答规范解答】方法一方法一:直线直线 (t(t为参数为参数)的普通方程为的普通方程为y=y=斜率斜率k=k=即即tan=tan=又又0 0，)，=故直线的倾斜角为故直
7、线的倾斜角为方法二：直线方法二：直线 (t(t为参数为参数)即直线即直线 (t(t为参数为参数)，令令t=2tt=2t，得，得 故直线的倾斜角为故直线的倾斜角为答案：答案：【互动探究互动探究】本例中条件不变，本例中条件不变，M M0 0(1(1，-2)-2)，当参数，当参数t=1t=1时对应直时对应直线上的点为线上的点为M,M,则则|MM|MM0 0|=_.|=_.【解析解析】本例中，本例中，M M0 0(1(1，-2)-2)为直线上的点，当参数为直线上的点，当参数t=1t=1时对应直时对应直线上的点为线上的点为M(0,-2+)M(0,-2+)，则，则|MM|MM0 0|=2.|=2.答案：答
8、案：2 2【拓展提升拓展提升】直线的参数方程的标准形式的应用直线的参数方程的标准形式的应用 设过点设过点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0),),倾斜角为倾斜角为的直线的直线l的参数方程是的参数方程是 (t(t是参数是参数)若若M M1 1,M,M2 2是是l上的两点，其对应参数分别为上的两点，其对应参数分别为t t1 1,t,t2 2，则，则(1)M(1)M1 1,M,M2 2两点的坐标分别是两点的坐标分别是(x(x0 0+t+t1 1cos,ycos,y0 0+t+t1 1sin)sin)，(x(x0 0+t+t2 2cos,ycos,y0 0+t+t2 2sin).sin).(2)
9、|M(2)|M1 1M M2 2|=|t|=|t1 1-t-t2 2|.|.(3)(3)若线段若线段M M1 1M M2 2的中点的中点M M所对应的参数为所对应的参数为t t，则，则t=t=中点中点M M到到定点定点M M0 0的距离的距离|MM|MM0 0|=|t|=|.|=|t|=|.(4)(4)若若M M0 0为线段为线段M M1 1M M2 2的中点，则的中点，则t t1 1+t+t2 2=0.=0.【变式备选变式备选】直线直线l过点过点P(1P(1，2)2)，其参数方程为，其参数方程为 (t(t是参数是参数)，直线，直线l与直线与直线 2x+y-2=02x+y-2=0交于点交于点Q
10、 Q，则，则|PQ|=_.|PQ|=_.【解析解析】方法一方法一:将直线将直线l的参数方程化为普通方程为的参数方程化为普通方程为y=3-xy=3-x，与，与方程方程2x+y-2=02x+y-2=0联立解得点联立解得点Q Q的坐标为的坐标为(-1,4)(-1,4)，|PQ|=|PQ|=方法二方法二:将直线将直线l的参数方程化为标准形式为的参数方程化为标准形式为 代入代入2x+y-2=02x+y-2=0得得t=t=|PQ|=|t|=|PQ|=|t|=答案：答案：考向考向 2 2 圆的参数方程与应用圆的参数方程与应用【典例典例2 2】(1)(1)已知曲线已知曲线C C的参数方程为的参数方程为 (为参
11、数为参数)，则曲线则曲线C C上的点到直线上的点到直线3x-4y+4=03x-4y+4=0的距离的最大值为的距离的最大值为_._.(2)(2013(2)(2013湛江模拟湛江模拟)设设P(x,y)P(x,y)是曲线是曲线C C：(为参为参数数)上任意一点，则上任意一点，则 的取值范围是的取值范围是_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)将曲线的参数方程化为普通方程，利用直线将曲线的参数方程化为普通方程，利用直线与曲线的位置关系解决与曲线的位置关系解决.(2)(2)将参数方程代入转化为三角函数求取值范围，也可以利用将参数方程代入转化为三角函数求取值范围，也可以利用曲线的普通方程以及判别式法解决曲
12、线的普通方程以及判别式法解决.【规范解答规范解答】(1)(1)曲线曲线C C的普通方程为的普通方程为(x(x2)2)2 2+y+y2 2=1=1，这，这是圆心为是圆心为(2(2，0)0)，半径为，半径为1 1的圆，圆心到直线的圆，圆心到直线3x-4y+4=03x-4y+4=0的距离是的距离是 故直线与圆相离，所以圆故直线与圆相离，所以圆C C上的点到直线上的点到直线3x-4y+4=03x-4y+4=0的距离的最大值为的距离的最大值为3.3.答案：答案：3 3(2)(2)方法一：由方法一：由P(x,y)P(x,y)是曲线是曲线C C：(为参数为参数)上任上任意一点，则意一点，则即即sin-kco
13、s=-2ksin-kcos=-2k，得，得 sin(-sin(-)=-2k)=-2k，sin(-sin(-)=)=所以所以0()0()2 211，即，即k k2 2解得解得所以所以 的取值范围是的取值范围是 .方法二方法二:由曲线由曲线C C：(为参数为参数)得得(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=1,=1,令令k=k=即即y=kxy=kx，代入圆的方程，得，代入圆的方程，得(x+2)(x+2)2 2+(kx)+(kx)2 2=1=1，即，即(1+k(1+k2 2)x)x2 2+4x+3=0+4x+3=0，由题意，得由题意，得=4=42 2-34(1+k-34(1+k2 2)0)0，即即
14、k k2 2 解得解得所以所以 的取值范围是的取值范围是 .答案：答案：【拓展提升拓展提升】直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(1)(1)设圆的半径为设圆的半径为r r，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为d d，直线与圆的普通，直线与圆的普通方程联立所求得的一元二次方程的根的判别式为方程联立所求得的一元二次方程的根的判别式为，则，则 位置关系位置关系几何性质几何性质判别式判别式 相交相交d dr r0 0相切相切d=rd=r=0=0相离相离d dr r0 0(2)(2)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离的最大值为当直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离的最大值为d+rd+r，最小值为，
15、最小值为d-r.d-r.【提醒提醒】判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法(即判别即判别式法式法)两种，解题时要灵活选取不同的方法两种，解题时要灵活选取不同的方法.【变式训练变式训练】(1)(1)若若P(2,-1)P(2,-1)为曲线为曲线 (0(02)2)的的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为_._.【解析解析】曲线曲线 (0(02)2)的普通方程为的普通方程为(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=25,=25,表示圆心为表示圆心为C(1,0)C(1,0)，半径为，半径为5 5的圆，直线的圆，直线CPCP的斜率的
16、斜率 弦所在直线的斜率为弦所在直线的斜率为1 1，所以弦所，所以弦所在直线的普通方程为在直线的普通方程为y+1=x-2y+1=x-2，即，即x-y-3=0.x-y-3=0.答案：答案：x-y-3=0 x-y-3=0(2)(2012(2)(2012西安模拟西安模拟)若直线若直线l:x-y=0:x-y=0与曲线与曲线C C：(为参数，为参数，a a0)0)有两个公共点有两个公共点A,BA,B，且，且|AB|=2|AB|=2，则实数，则实数a a的值的值为为_._.【解析解析】曲线曲线C C：(为参数，为参数，a a0)0)的普通方程为的普通方程为(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=2=2，表
17、示圆心为，表示圆心为(a,0)(a,0)，半径为，半径为 的圆的圆.由由|AB|=2|AB|=2，得圆心到直线的距离为，得圆心到直线的距离为1 1，即，即得得|a|=2|a|=2，a a0 0，a=2.a=2.答案：答案：2 2 考向考向 3 3 圆锥曲线的参数方程与应用圆锥曲线的参数方程与应用【典例典例3 3】(1)(1)若点若点P(x,y)P(x,y)是曲线是曲线x x2 2+3y+3y2 2=3=3上一点，则上一点，则x+yx+y的取的取值范围是值范围是_._.(2)(2012(2)(2012广东高考广东高考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，曲线中，曲线C C1 1和和C
18、 C2 2的的参数方程分别为参数方程分别为 (t(t为参数为参数)和和 (为参数为参数)，则曲线则曲线C C1 1与与C C2 2的交点坐标为的交点坐标为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)由椭圆的参数方程化为求三角函数的取值范由椭圆的参数方程化为求三角函数的取值范围围.(2)(2)将曲线的参数方程化为普通方程联立方程组解得交点坐标将曲线的参数方程化为普通方程联立方程组解得交点坐标.【规范解答规范解答】(1)(1)曲线曲线x x2 2+3y+3y2 2=3=3即即 +y+y2 2=1=1，由椭圆的参数方程，由椭圆的参数方程 (为参数，为参数，R)R)，得，得x+y=cos+sin x+y=
19、cos+sin=2sin(+)=2sin(+)，则，则x+yx+y的取值范围是的取值范围是-2-2，2 2.答案：答案：-2-2，2 2(2)(2)曲线曲线C C1 1和和C C2 2的普通方程分别为的普通方程分别为y y2 2=x(y0)=x(y0)和和x x2 2+y+y2 2=2=2，联立方程组，解得联立方程组，解得x=1,y=1x=1,y=1，所以曲线所以曲线C C1 1与与C C2 2的交点坐标为的交点坐标为(1,1).(1,1).答案：答案：(1,1)(1,1)【拓展提升拓展提升】圆锥曲线的参数方程的特点圆锥曲线的参数方程的特点(1)(1)椭圆、双曲线的参数方程与三角函数的关系密切
20、，解题时椭圆、双曲线的参数方程与三角函数的关系密切，解题时要注意角的取值范围；抛物线的参数方程与一次函数和二次函要注意角的取值范围；抛物线的参数方程与一次函数和二次函数有关，解题时注意二次方程的性质及其应用数有关，解题时注意二次方程的性质及其应用.(2)(2)一般地说，如果题目中涉及圆锥曲线上的动点，应考虑用一般地说，如果题目中涉及圆锥曲线上的动点，应考虑用参数方程来表示点的坐标，可使解题目标明确，过程表达清晰，参数方程来表示点的坐标，可使解题目标明确，过程表达清晰，求解方便求解方便.【变式训练变式训练】(1)(1)椭圆椭圆 =1(a=1(ab b0)0)与与x x轴正方向交于点轴正方向交于点
21、A A，O O为原点，若椭圆上存在点为原点，若椭圆上存在点P P，使，使OPAPOPAP，则椭圆离心率，则椭圆离心率e e的的取值范围是取值范围是_._.【解析解析】设椭圆设椭圆 =1(a=1(ab b0)0)上的点上的点P P的坐标为的坐标为(acos,bsin)(acos,bsin)，O(0,0)O(0,0)，A(a,0),A(a,0),由由OPAPOPAP，得，得 =0,=0,即即(acos,bsin)(acos,bsin)(acos-a,bsin)=0(acos-a,bsin)=0，得得a a2 2coscos2 2-a-a2 2cos+bcos+b2 2sinsin2 2=0=0，整
22、理，得整理，得e e2 2=得得 e e2 21 1，即，即 e e1 1，所以椭圆离心率的取值范围是，所以椭圆离心率的取值范围是(1).(1).答案：答案：(1)(1)(2)(2012(2)(2012湖南高考湖南高考)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，已知曲线中，已知曲线C C1 1：(t(t为参数为参数)与曲线与曲线C C2 2：(为参数，为参数，a a0)0)有一个公共点在有一个公共点在x x轴上，则轴上，则a=_.a=_.【解析解析】曲线曲线C C1 1：(t(t为参数为参数)的普通方程为的普通方程为y=3-2xy=3-2x，与，与x x轴的交点为轴的交点为(0)(0)；曲线曲线
23、C C2 2：(为参数为参数)的普通方程为的普通方程为 =1=1，其与，其与x x轴轴交点为交点为(-a,0),(a,0)(-a,0),(a,0)，由由a a0 0，曲线，曲线C C1 1与曲线与曲线C C2 2有一个公共点在有一个公共点在x x轴上，知轴上，知a=a=答案：答案：考向考向 极坐标方程与参数方程的综合题极坐标方程与参数方程的综合题【典例典例】(1)(2013(1)(2013珠海模拟珠海模拟)直角坐标系直角坐标系xOyxOy中，以原点为极中，以原点为极点，点，x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A A，B B分别在曲线分别在曲线C C1 1：
24、(为参数为参数)和曲线和曲线C C2 2：=1=1上，则上，则|AB|AB|的最小值为的最小值为_._.(2)(2)已知极点在直角坐标系的原点已知极点在直角坐标系的原点O O处，极轴与处，极轴与x x轴的正半轴重合，轴的正半轴重合，曲线曲线C C的极坐标方程为的极坐标方程为=2cos=2cos，直线，直线l的参数方程为的参数方程为(t(t为参数为参数)，则曲线，则曲线C C上的点到直线上的点到直线l的最短距离为的最短距离为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(1)将曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方将曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程，利用曲线的位置关系以及几何性质求解程，利用曲线的位置关
25、系以及几何性质求解.(2)(2)将曲线将曲线(含直线含直线)的极坐标方程和参数方程化为直角坐标方的极坐标方程和参数方程化为直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系以及几何性质求解程，利用直线和曲线的位置关系以及几何性质求解.【规范解答规范解答】(1)(1)曲线曲线C C1 1：(为参数为参数)的普通方程为的普通方程为(x-3)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=1=1，曲线曲线C C2 2：=1=1的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 2+y+y2 2=1=1，两圆的圆心距为两圆的圆心距为|C|C1 1C C2 2|=5|=5R R1 1+R+R2 2=2,=2,所以两圆外离，依
26、题意，所以两圆外离，依题意，|AB|AB|的最小值为的最小值为|C|C1 1C C2 2|-(R|-(R1 1+R+R2 2)=5-2=3.)=5-2=3.答案：答案：3 3(2)(2)将曲线将曲线C C的极坐标方程的极坐标方程=2cos=2cos化为直角坐标方程，得化为直角坐标方程，得x x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0，即即(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，这是圆心为，这是圆心为C(1,0)C(1,0)，半径为，半径为1 1的圆的圆.将直线将直线l的参数方程的参数方程 (t(t为参数为参数)化为普通方程，得化为普通方程，得4x-3y+3=04x-3y+3=0，则圆
27、心到直线的距离为，则圆心到直线的距离为故直线与圆相离，所以圆故直线与圆相离，所以圆C C上的点到直线上的点到直线l的最短距离为的最短距离为d-r=d-r=答案：答案：【互动探究互动探究】本例本例(1)(2)(1)(2)中条件不变，则中条件不变，则(1)|AB|(1)|AB|的最大值为的最大值为_._.(2)(2)曲线曲线C C上的点到直线上的点到直线l的最远距离为的最远距离为_._.【解析解析】(1)(1)由于两圆外离，点由于两圆外离，点A A，B B分别在两个圆上，则分别在两个圆上，则|AB|AB|的的最大值为最大值为|C|C1 1C C2 2|+(R|+(R1 1+R+R2 2)=5+2=
28、7.)=5+2=7.答案：答案：7 7(2)(2)由于直线与圆相离，则圆上的点到直线由于直线与圆相离，则圆上的点到直线l的最远距离为的最远距离为答案：答案：【拓展提升拓展提升】圆与圆的位置关系以及应用圆与圆的位置关系以及应用(1)(1)两圆的位置关系以及意义两圆的位置关系以及意义(两圆半径分别为两圆半径分别为R,rR,r，且，且Rr,dRr,d为圆心距为圆心距)位置位置图形图形定义定义几何性质几何性质交点交点个数个数 外离外离两圆没有公共点，且每两圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个个圆上的点都在另一个圆的外部圆的外部dR+rdR+r0 0个个外切外切两圆有唯一的公共点，两圆有唯一的公共点，
29、且除了这个公共点以外，且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一每个圆上的点都在另一个圆的外部个圆的外部 d=R+rd=R+r1 1个个位置位置图形图形定义定义几何性质几何性质交点交点个数个数相交相交两圆有两个公共点两圆有两个公共点R-rdR-rdR+rR+r2 2个个内切内切两圆有唯一的公共点，两圆有唯一的公共点，且除了这个公共点以外，且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一一个圆上的点都在另一个圆的内部个圆的内部d=R-rd=R-r1 1个个内含内含两圆没有公共点，且一两圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个个圆上的点都在另一个圆的内部圆的内部dR-rdR-r0 0个个(2)(2)若圆若
30、圆C C1 1与圆与圆C C2 2外离，圆心距为外离，圆心距为d,d,两圆的半径分别为两圆的半径分别为R,rR,r，动，动点点A A在圆在圆C C1 1上，动点上，动点B B在圆在圆C C2 2上，则上，则A,BA,B之间距离的最小值为之间距离的最小值为d-R-d-R-r r，最大值为，最大值为d+R+r.d+R+r.【变式备选变式备选】(1)(2012(1)(2012湖北高考湖北高考)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，以原点中，以原点O O为极点，为极点，x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线已知射线=与与曲线曲线 (t(t为参数为参数)相交于相交于A
31、 A，B B两点，则线段两点，则线段ABAB的中点的直的中点的直角坐标为角坐标为_._.(2)(2013(2)(2013湖南师大附中模拟湖南师大附中模拟)在极坐标系中，圆在极坐标系中，圆C C1 1的方程为的方程为 以极点为坐标原点，极轴为以极点为坐标原点，极轴为x x轴的正半轴建立轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆平面直角坐标系，圆C C2 2的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数)，若圆若圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切，则实数外切，则实数a=_.a=_.【解析解析】(1)(1)射线射线=在直角坐标系下的直角坐标方程为在直角坐标系下的直角坐标方程为y=xy=x(x(x0)0)，将参数
32、方程，将参数方程 (t(t为参数为参数)转化为直角坐标系下的转化为直角坐标系下的普通方程为普通方程为y=(t-1)y=(t-1)2 2=(x-1-1)=(x-1-1)2 2=(x-2)=(x-2)2 2，表示一条抛物线，联立，表示一条抛物线，联立上面两个方程，消去上面两个方程，消去y y有有x x2 2-5x+4=0-5x+4=0，设，设A,BA,B两点及其中点两点及其中点P P的横坐的横坐标分别为标分别为x xA A,x,xB B,x,x0 0，则由根与系数的关系，得，则由根与系数的关系，得 又又由于点由于点P P在直线在直线y=xy=x上，因此线段上，因此线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为P().P().答案：答案：()()(2)(2)圆圆C C1 1的方程的方程 化为化为即即x x2 2+y+y2 2-4x-4y=0-4x-4y=0，其圆心，其圆心C C1 1(2,2)(2,2)，半径，半径r r1 1=圆圆C C2 2的参数方程化为普通方程为的参数方程化为普通方程为(x+1)(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=a=a2 2，其圆心，其圆心C C2 2(-1,-1)(-1,-1)，半径，半径r r2 2=|a|=|a|，因为两圆外切，所以，因为两圆外切，所以 解得解得答案：答案：