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1、主讲教主讲教师：师：李晓沛李晓沛 1 第二章 导数与微分第1节 导数概念2导数产生的背景导数产生的背景导数定义导数定义求导举例求导举例导数的几何意义导数的几何意义 导数概念可导与连续的关系可导与连续的关系3一.导数产生的背景 1.物理背景 2.几何背景4 变速直线运动物体作匀速直线运动时,有,这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.由于匀速运动物体的速度是不变的，因此1.物理背景5 由于变速直线运动物体的速度 V(t)是变的，因此，用这个公式算出的平均速度 V 不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?如图SS(t0)S(t0+t)0 在 t0
2、,t0+t 这段时间内物体的平均速度为 t越小，近似值就越接近精确值V(t0).V(t0)=?6 平面曲线上切线的概念割线PQ切线PT切点2.几何背景 平面曲线的切线问题 7沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.平面曲线 y=f(x)的切线：曲线在点 A(x0,y0)处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x,y0+y)定义定义切线方程:其中,8(1)建立一个函数关系 y=f(x)xI.(2)求函数由 x0 到 x0+x 的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求 x 0 的极限：小结9设函数 f(x)在 U(x0)有定义,且 x0+x U(x0)
3、.则称函数 f(x)在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f(x)在如果极限存在,点 x0 处的导数.记为定义定义1.导数的定义二.导数的概念10如果函数 f(x)在点 x0 处可导,则11存在，则称f(x)在x0可导(或称f(x)在 x0 的导数存在).否则，称 f(x)在x0不可导(或称 f(x)在 x0的导数不存在).特别注注1.若12设函数 f(x)在 x0,x0+)内有定义,若则称 a 为 f(x)在点 x0 处的右导数.记为2.左、右导数定义定义则称 a 为 f(x)在点 x0 处的左导数.记为定理定理定理定理设函数 f(x)在(x0-,x0,内有定义,若133.导函数若 x(a,
4、b),函数 f(x)皆可导,则说 f(x)在(a,b)内可导.这时 f(x)是关于 x 的一个新函数,称之为 f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为 f(x)在(a,b)内的导数：导数：定义定义14函数在点 x0 I 处的导数:若 f(x)在(a,b)内可导,且 存在,则称 f(x)在 a,b 上可导,f(x)称为 f(x)在 a,b 上的导函数,简称为导数.先求导、后代值.定义定义154.求函数的导数求导数可分为如下几步：1.写出函数的增量2.算比值3.求极限1617例例1 118或重要极限和差化积等价无穷小（仿照正弦函数的推导方法）1920(x)=x121总总 结结225.导数的
5、几何意义此时,切线方程为:函数 f(x)在点 x0 的导数 f(x0)就是对应的平面曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率 k:5.导数的几何意义23切线平行于x 轴：曲线 y=f(x)在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、垂直于 x 轴、或不存在,所反映出的导数值是：切线垂直于x 轴：（曲线为连续曲线）在点 x0 处无切线：f(x0)不存在.24 y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O xyx0 y O x x0f(x0)不存在f(x0)不存在25在任意一点 x 处,有在点(1,1)处 故所求切线方程为：求曲线 y=x2上任意一点处切线的斜率,
6、并求在点(1,1)处的切线方程.即 y=2x 1.y 1=2(x 1),例例2 2解26三 可导与连续的关系设 f(x)在点 x0 可导,即有于是故只是必要条件！无穷小27y=|x|在点 x=0 连续,但不可导.故 f(0)不存在.y=|x|Oxy例例3 3解28在点 x=0 处的连续性和可导性.又 当 nN 时,函数在在点 x=0 处连续.例例4 4解29当 n=1 时,不存在,故 n=1 时,函数在 x=0 处不可导.当 n 1 时,故 n 1时,函数在 x=0 处可导.其导数为30 f(x)在 x=0 处可导,从而 f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=1 f(x)在 x=0
7、处连续,f(0)=a.解设a+bx,x 0求 a,b 之值.e x,x 0y=在 x=0 可导,练习练习31由可导性：故 b=1,此时函数为f(x)=1 x,x 0e x,x 0f(x)=1+bx,x0e x,x 0f(0)=132P46 习题2-1一、1，333 第二章 导数与微分第2节 求导法则和基本公式34定理定理和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则35推论推论36例例1 1解解例例2 2解解37例例3 3解解同理可得同理可得38例例4 4解解同理可得同理可得39例例5 5解解4041注意注意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.42例例 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.令令切点为切点为所求切线方程为所求切线方程为和和解解43练练 习习 题题44第二章第二章 第一、二节第一、二节第一章第二、三节第一章第二、三节P46P46习题习题2-1 2-1 1.1.（2 2）6.6.（3 3）P53 P53习题习题2-2 2-2 1 1（2 2）2.(4)2.(4)（7 7）（）（9 9）45