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1、第一章 导数及其应用选修2-211.1.2 导数的概念2（1）求质点在t=2至t=4这段时间的平均速度；（2）求质点在t=2时的瞬时速度。问题：是否可利用平均速度求瞬时速度？一质点的运动方程为s(t)=3t2-6t+5,其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）.3求质点在t=2,t=2+t这段时间的平均速度；t0时,在 2,2+t 这段时间内4t0时,在2,2+t 这段时间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,问题：可否利用平均速度求瞬时速度？t t 无限逼近无
2、限逼近00时时,2s,2s到到(2+(2+t)st)s的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼近近2s2s时的瞬时速度！并且平均速度趋近于时的瞬时速度！并且平均速度趋近于6m/s.6m/s.2s到(2+t)s的平均速度56思考：1、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？即从表达式入手，即当 t t趋于 趋于0 0时，时，趋近于 趋近于6 6平均速度的极限平均速度的极限=瞬时速度瞬时速度7一般的，函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作或,即 导数的定义:注意：瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称
3、。8由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数 y y=f f(xx)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.1.求函数的改变量求函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率3.3.求极限值求极限值一差、二比、三极限9导数概念的进一步理解1011_【小试牛刀】设f(x)=ax+4，若f(1)=2,则 a=_.121314例1.求y=x2在点x=1处的导数解：15f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算x=2和x=6时的导数.根据导数的定义,所以,同理可得16 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:17在不致发生混淆时，导函数也简称导数什么是导函数?由函数f(x
4、)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:18191.1.3 导数的几何意义20 1.曲线的切线y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.21PQoxyy=f(x)割线切线T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.22 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线P
5、Q有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.注意,曲线在某点处的切线:(1)与该点的位置有关；(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。23例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-1 11OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.24变
6、式:设f(x)为可导函数，且满足,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.故所求的斜率为-2.25例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.答案:y=3x-4.26练习:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.yx-2-11 2-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.27 练习28练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列
7、各极限值:练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和29例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量x的形式是多样的,但不论x 选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.30 莱布尼兹：影响人类的100位伟人中，无莱布尼兹排名，但是：戈特弗里德威廉莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明
8、了微积分。历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿赢，但历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。牛顿、爱因斯坦有自闭症即阿斯伯格症。31求质点在t=2,t=2+t这段时间的平均速度；32t0时,在2,2+t 这段时间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,问题：可否利用平均速度求瞬时速度？t t 无限逼近无限逼近00时时,2s,2s到到(2+(2+t)st)s的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼近近2s2s时的瞬时速度！时的瞬时速度！2s到(2+t)
9、s的平均速度33从2s到(2+t)s这段时间内平均速度 t t 无限逼近无限逼近00时时,2s,2s到到(2+(2+t)st)s的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼近近2s2s时的瞬时速度！时的瞬时速度！平均速度的极限=瞬时速度34问题三：运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?t t 无限逼近无限逼近00时时,tt0 0 到到(t0 0+t)t)的平均速度便无限逼的平均速度便无限逼近近 tt0 0 时的瞬时速度！时的瞬时速度！平均速度的极限=瞬时速度35导数的定义:一般地，函数一般地，函数 y=f(x)在在 x=x0 0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 0 处的处的导数,记作记作或或,即即36 当 t 趋近于0时,即无论 t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 6.从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度就无限趋近于 t=2时的瞬时速度.因此,运动员在 t=2 时的瞬时速度是 6m/s.思考：1、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？37