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1、 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动本章学习要点本章学习要点1.角坐标、角位移、角速度、角加速度。角坐标、角位移、角速度、角加速度。2.转动惯量、力矩，转动定律。转动惯量、力矩，转动定律。3.刚体转动的动能定理。刚体转动的动能定理。4.角动量定理、角动量守恒定律。角动量定理、角动量守恒定律。教学基本要求教学基本要求 一一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系握角量与线量的关系.二二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理.三三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运理解角动量概念，掌
2、握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题的简单系统的力学问题.四四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律守恒定律4 41 1 刚体的平动与转动刚体的平动与转动一、刚体模型一、刚体模型1 1）理想模型；）理想模型；2 2）在外力的作用下，任意）在外力的作用下，任意 两点均不发生相对位移；两点均不发生相对位移；3 3）内
3、力无穷大内力无穷大的特殊质点系。的特殊质点系。在任何在任何外力外力作用下，其形作用下，其形状和大小状和大小均不发生均不发生改变的物体。改变的物体。说明：说明：理解理解二、刚体运动学二、刚体运动学1 1、刚体的平动、刚体的平动刚体上所有点的运动轨迹都相同。刚体上所有点的运动轨迹都相同。刚体平动刚体平动 质点运动质点运动1 1）刚体上各点都绕同一转轴作不同半）刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的径的圆周运动圆周运动。圆面为转动平面。圆面为转动平面定轴转动特点定轴转动特点:2 2、转动：转动又分定轴转动和非定轴转动、转动：转动又分定轴转动和非定轴转动 .2 2）任一质点运动任一质点运动 均相同，均相同
4、，但但 不同。不同。熟练掌握熟练掌握3 3、一般运动、一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+三、描述刚体定轴转动的物理量三、描述刚体定轴转动的物理量1 1、参考平面、参考平面参考面参考面直线直线AB AB 在做平动，在做平动，其上各点可用参考面其上各点可用参考面 上的点上的点 P P代替代替2 2、角坐标、角速度、角加速度、角坐标、角速度、角加速度沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动角位移角位移 角坐标角坐标沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动q参考方向参考方向转动转动平面平面角速度角速度 方向方向:右手螺旋方向右手螺旋方向 刚体刚体定轴转动定轴转动可以用可以用角速度的正、负来表示角速
5、度的正、负来表示.角加速度角加速度四、匀变速转动公式四、匀变速转动公式 刚体绕定轴作匀变速转动刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动质点匀变速直线运动 当刚体绕定轴转动的当刚体绕定轴转动的=常量时，刚体常量时，刚体做匀变速转动做匀变速转动五、角量与线量的关系五、角量与线量的关系熟练掌握熟练掌握例例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少
6、转？比问在这段时间内，转子转过多少转？解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 得得P104例例2当当 t=300 s 时时由由得得在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数 当切断电风扇的电源后，电风当切断电风扇的电源后，电风扇并不是马上就停止转动，而是扇并不是马上就停止转动，而是转动一段时间后才停止转动转动一段时间后才停止转动.即转动的物体也有转动惯性，刚即转动的物体也有转动惯性，刚体的转动惯性与什么有关呢？体的转动惯性与什么有关呢？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律
7、 转动惯量转动惯量一、力矩一、力矩的方向由右手法则确定的方向由右手法则确定PO*对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 用来描述力对刚体用来描述力对刚体的转动作用的转动作用掌握掌握（1）若若力不在转动平面内力不在转动平面内 只能引起轴的只能引起轴的变形变形,对转动无贡献对转动无贡献。注注:对定轴转动问题对定轴转动问题,如不加说明，所指的力如不加说明，所指的力矩是指力在转动矩是指力在转动平面内的分力平面内的分力对转轴的力矩。对转轴的力矩。讨论讨论O(3(3）几个力同时作用，合力矩为）几个力同时作用，合力矩为(2)(2)力矩的方向力矩的方向对于定轴转动可用正、负号表示。对于定轴转动可用正、负号表示。合力矩
8、的大小等于合力矩的大小等于各力矩的代数和。各力矩的代数和。即：即：F1F2F3(4)(4)刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消考察任意两个质点考察任意两个质点1 1、2 2刚体内力不产生力矩刚体内力不产生力矩O O掌握掌握二、转动定律二、转动定律考察刚体上任意质元：考察刚体上任意质元：重点难点重点难点法向分力产生的力矩为零法向分力产生的力矩为零，对组成刚体的质点系来说：对组成刚体的质点系来说：切向分力的力矩为：切向分力的力矩为：因为内力产生的力矩为零，于是总力矩：因为内力产生的力矩为零，于是总力矩：O(2)(2)比较比较 和和对质量连续分布的刚体：对质量连续
9、分布的刚体：J J 表示刚体的转动惯性：表示刚体的转动惯性：定义转动惯量定义转动惯量:转动定律转动定律:讨论讨论（1）不变不变熟练掌握熟练掌握三、转动惯量三、转动惯量描述刚体转动惯性大小的物理量。描述刚体转动惯性大小的物理量。v 质量离散分布质量离散分布 J 的计算方法的计算方法.确定刚体的质量密度。确定刚体的质量密度。.建立坐标系，坐标原点为轴。建立坐标系，坐标原点为轴。.确定质量元确定质量元dmdm。.由定义计算由定义计算。v 质量连续分布质量连续分布a a、均匀细棒、均匀细棒(转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直)取质元取质元：b b、转轴过棒一端与棒垂直、转轴过棒一端与棒垂直x xO
10、Ox xO O说明：转动惯量与转轴位置有关。说明：转动惯量与转轴位置有关。例例1 1 均匀细棒，求均匀细棒，求J=?四、平行轴定律四、平行轴定律 刚体绕质心轴的转动惯量最小。刚体绕质心轴的转动惯量最小。质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CO掌握掌握质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JO1d=L/2O1O2O2 转动惯量的大小取决于刚体的体密转动惯量的大小取决于刚体的体密度度(质量质量)、几何形状以及转轴的位置、几何形状以及转轴的位置 .
11、注意注意掌握掌握 一圆盘质量为一圆盘质量为M,半径为半径为R，如图挖去，如图挖去一小圆盘，求剩余部一小圆盘，求剩余部分的转动惯量。分的转动惯量。思考题：思考题：O 薄圆盘转轴通过薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直r2r1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴四、典型的几种刚体的转动惯量四、典型的几种刚体的转动惯量l 细棒转轴通过中细棒转轴通过中心与棒垂直心与棒垂直l 细棒转轴通过端细棒转轴通过端点与棒垂直点与棒垂直2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径球壳转轴沿直径五、转动定律应用举例五、转动定律应用举例1.矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向
12、）；2.具有瞬时性且具有瞬时性且M M、J、是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。解题方法及应用举例解题方法及应用举例1.确定研究对象。确定研究对象。2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。3.列方程求解列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线量关系量关系)。熟练掌握熟练掌握第一类问题：已知第一类问题：已知J和力矩和力矩M M ：求：求 和以和以及及F F。书例书例2 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水平面静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，
13、绳索跨过一上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径半径R、质量、质量mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质，并系在另一质量为量为mB 物体物体B上，上，B 竖直悬挂竖直悬挂滑轮与绳索间滑轮与绳索间无滑动，无滑动，滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？水平和竖直两水平和竖直两段绳索的张力各为多少？段绳索的张力各为多少？(2)物体物体 B 从静止落下从静止落下距离距离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？ABC解：隔离法，受力分析解：隔离法，受力分析分别根据牛二定律和转动定律列方程：分别根据牛二定律和转动定律列
14、方程：角量、线量关系式角量、线量关系式A解得：解得：如令如令 ，可得：，可得：2 2）物体）物体B B 由静止出发作匀加速直线运动由静止出发作匀加速直线运动第二类问题：已知运动情况和力矩第二类问题：已知运动情况和力矩M M，求，求 J。例：测轮子的转动惯量用一例：测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为根轻绳缠绕在半径为 R、质、质量为量为 M 的轮子上若干圈后，的轮子上若干圈后，一端挂一质量为一端挂一质量为 m 的物体，的物体，从静止下落从静止下落 h 用了时间用了时间 t,求求轮子的转动惯量轮子的转动惯量 J。hP P144144作业作业-11-11h受力分析：受力分析：m：M：物体从静止下
15、落时满足物体从静止下落时满足稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度书例书例3一长为一长为 l、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOmg 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得
16、式中式中得得m,lOmg由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分得代入初始条件积分得m,lOmg练练习习：一一个个飞飞轮轮质质量量m=60kg，半半径径R=0.25m，以以 0=1000r/min的的转转速速转转动动。现现要要制制动动飞飞轮轮，要要求求在在t=5.0s内内使使它它均均匀匀减减速速而而最最后后停停下下来来。求求闸闸瓦瓦对对轮轮子子的的压压力力N为为多多大大？设设闸闸瓦瓦与与飞飞轮轮间间滑滑动动摩摩擦擦系系数数=0.8，飞飞轮轮质质量量看看作作全全部部均均匀匀分分布在轮外周上。布在轮外周上。解：解：P145作作业业4-16将转动惯量代入，可得：将转动惯量代入，可得：根据刚体
17、定轴转动定律，可得根据刚体定轴转动定律，可得负负值值表表示示 与与 0的的方方向向相相反反，和和减减速速转转动动相相对对应应。以以fr表表示示摩摩擦擦力力的的数数值值，则则它它对对轮轮的的转轴的力矩为转轴的力矩为第三类问题：已知运动情况和第三类问题：已知运动情况和 J，确定运动学，确定运动学和动力学的联系和动力学的联系-，求，求 M或或 F。例：长为例：长为 l、质量为、质量为 m 的细杆，初始时的角的细杆，初始时的角速度为速度为 0，由于细杆，由于细杆与桌面的摩擦，经过与桌面的摩擦，经过时间时间 t 后杆静止，求后杆静止，求摩擦力矩摩擦力矩 M阻阻。解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：生力矩，由匀变速转动公式：细杆绕一端的转动惯量细杆绕一端的转动惯量则摩擦阻力矩为：则摩擦阻力矩为：P143P143作业：作业：4-14-1，4-24-2，4-64-6，4-114-11，4-134-13