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1、复复 习习质点的角动量质点的角动量力矩力矩FrM LrmvsinLrmv 角动量定理角动量定理dLMdt角动量守恒定律角动量守恒定律若若0ML常常矢矢量量sinMrF 00ttMdtLL本章主要内容本章主要内容1 1 刚体的运动刚体的运动2 2 刚体的角动量刚体的角动量3 3 刚体受到的力矩刚体受到的力矩4 4 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律5 5 刚体的动能定理刚体的动能定理6 6 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律6.1 6.1 刚体的运动与描述刚体的运动与描述 质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更
2、复杂有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。的情况是不够的。 刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigid body ）。）。 刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。的形变，刚体同质点一样，也是一
3、个理想化模型。一、刚体的运动一、刚体的运动 固联在刚体上的任一固联在刚体上的任一条直线，在各个时刻的位条直线，在各个时刻的位置始终保持彼此平行的运置始终保持彼此平行的运动，叫做刚体的平动。动，叫做刚体的平动。 1.平动平动 刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相同的。同的。 而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来代表刚体的运动。代表刚体的
4、运动。 2.转动转动 如果刚体上所有各点绕同如果刚体上所有各点绕同一直线（转轴）作圆周运动，一直线（转轴）作圆周运动，则称为刚体的转动。则称为刚体的转动。 转动时，轴外各转动时，轴外各点在同一时间间隔内点在同一时间间隔内走过的弧长虽然不一走过的弧长虽然不一样，但角位移全同。样，但角位移全同。固定转轴：转轴不随时间变化固定转轴：转轴不随时间变化 刚体定轴转动刚体定轴转动瞬时转轴：转轴随时间变化瞬时转轴：转轴随时间变化 一般转动一般转动3.刚体的一般运动刚体的一般运动 例如，一个车轮的滚例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着动，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的平动和整个车轮绕转轴的
5、转动。转轴的转动。 在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的转动（应用转动定律）。轴的转动（应用转动定律）。一个汽车轮子在一个汽车轮子在地上的滚动地上的滚动A、B、C、各点的各点的运动都不相同运动都不相同绕过o 轴的转动oABCo o轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动平动转动刚体的运动平动转动平动：刚体上所有点运动状态都相同平动：刚体上所有点运动状态都相同转动：各质元均作圆周运动转动：各质元均作圆周运动二二. 刚体平动的描述刚体平动的描述 刚体的平
6、动刚体的平动可用质心运动来代表整体的运动可用质心运动来代表整体的运动1。质心的位矢。质心的位矢设设N N个质点个质点m m1 1, ,m m2 2, , ,m mN N， 对应的位矢对应的位矢Nrrr21, iiicmrmr iicxmMx1定义定义： 质心的位矢质心的位矢 iicymMy1 iiczmMz1 xdmMxc1 ydmMyc1 zdmMzc1质心质心 重心重心2。质心运动定理质心运动定理质心的速度质心的速度：dtrdVcc )1(iirmMdtd dtrdmMii 1iivmM 1质心的加速度质心的加速度：dtVdacc )1(iivmMdtd dtvdmMii 1iiamM 1
7、设设m mi i 受力受力内内外外、iifF则：则：iiiifFam 对所有质点求和对所有质点求和： iiiifFam0合外合外F MMcaMF 合外合外 质心运动定理质心运动定理即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点，即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点， 所受的力是质点系受的所有外力。所受的力是质点系受的所有外力。注：注：质心上可能既无质量，又未受力。质心上可能既无质量，又未受力。 iiicmrmr2角位置角位置角速度角速度dtdtt lim0角加速度角加速度220limtddtdtdt pro转 动 平转 动 平面面三三. 刚体（定轴）转动的角量描述刚体（定轴）转动
8、的角量描述6.2 6.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律一一. 刚体定轴转动所受力矩刚体定轴转动所受力矩 力矩力矩一般定义一般定义：FrM M此处此处即可是对某点也可是对某轴而言即可是对某点也可是对某轴而言当刚体作定轴转动时，力矩当刚体作定轴转动时，力矩就可以用标量来表示。就可以用标量来表示。o o 习惯上习惯上 把定轴用把定轴用z表示表示力矩力矩表示为表示为zMo o .P1） 在垂直在垂直o o o o 的平面内的平面内FF sinMrF2） 不在垂直不在垂直o o o o 的平面内的平面内Fo o .PrrFF/F/FFF对刚体绕对刚体绕o o 轴轴转动无贡献转动无贡献计算力矩时只
9、需考虑计算力矩时只需考虑 的力矩的力矩F 总可分解成两个分量总可分解成两个分量：FFroor5zziMM合外力矩合外力矩o o FFF r1 。一个质点的情况。一个质点的情况 F nF法向力法向力nF对轴的矩为零对轴的矩为零切向力切向力Fmamr 对轴的矩对轴的矩2zMrFmr 二二. 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律见右下平面图见右下平面图（刚体类似于多质点系刚体类似于多质点系）设某刚体绕固定轴设某刚体绕固定轴Z Z轴转动轴转动Zmi取质量元取质量元m mi i，其到转轴的距离其到转轴的距离 r ri iiriFifi i 受力如图示受力如图示，根据牛顿定律根据牛顿定律：iiiiamfF各质
10、元加速度不同各质元加速度不同，但角加速度相同但角加速度相同 iiiiiiamfFsinsin用用 r ri i乘以上式：乘以上式： iiiiiiiiiarmfrFrsinsin ra 2sinsiniiiiiiiirmfrFr将所有质元相加：将所有质元相加： 2sinsiniiiiiiiirmfrFrfifj0|iiFr )(2iirmM 合合外外ro2。连续质量分布刚体的情况。连续质量分布刚体的情况定义定义2iirmJM合合外外 )(2iirm刚体对定轴（刚体对定轴（z z 轴）的轴）的 转动惯量转动惯量则有则有zdMJJdt 定轴转动定律定轴转动定律由由zMJ 与牛顿定律比较与牛顿定律比较
11、：MJ 或或amF aJ mFMm 反映质点的平动惯性反映质点的平动惯性J 反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性3。理解注意。理解注意是是合外力矩合外力矩 这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。转轴的转动惯量成反比。JdJdtzdLdt1nziziMM 内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因而不能改变刚体的角速度。而不能改变刚体的角速度。这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例这是角动量定理在刚体定轴转
12、动情形下的特例（1）zM（2）（3）质量连续分布质量连续分布质量离散分布质量离散分布对刚体定义对刚体定义转动惯转动惯量量单质点单质点单位：单位：kgm22Jr dm2Jr dm2i iiJm r质量元质量元dm第第 i 个质点的质量个质点的质量imr 到转轴的距离到转轴的距离dmir 到转轴的距离到转轴的距离im2Jmr三三. 转动惯量及计算转动惯量及计算质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的只有对于
13、几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。dmdl dmdsdmdV 如图套两个质点的细杆长如图套两个质点的细杆长l ， 杆绕空端杆绕空端转动，分析整个系统绕转动，分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将点的转动惯量。将两质点换位再作计算。两质点换位再作计算。解：普通物理学教案例题1 ：o 2mm由由2i iiJm r232ml( )22122lJmmlo m 2m 294ml( )22222lJmml结论：结论：21JJ J 与刚体的质量分布有关与刚体的质量分布有关 J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关因为质量分布是对转轴而言的，上
14、例也可看因为质量分布是对转轴而言的，上例也可看作质心离转轴越远转动惯量越大。作质心离转轴越远转动惯量越大。 形状和转轴确定后，形状和转轴确定后，J 与刚体与刚体的质量有关的质量有关AlFe讨论讨论影响转动惯量的因素影响转动惯量的因素 求长为求长为L、质量为质量为 m 的均匀细棒对的均匀细棒对端点端点轴和中垂轴和中垂轴的转动惯量。轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题2 ：ABL/2L/2Cx取如图坐标取如图坐标取质量元取质量元dmdx ABLxdm/22103LJxdxmL /2222212LLJxdxm L 12JJ 求质量为求质量为m 、半径为半径为R 的均匀圆环的转的均匀圆环的转动惯量。轴
15、与圆环平面垂直并通过圆心。动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：普通物理学教案例题3 ：取质量元取质量元dmdx 2mR2Rdm2JR dmORdm 求质量为求质量为m 、半径为半径为R 均匀圆盘的转动均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：普通物理学教案例题4 ：这样的一个圆盘可以视这样的一个圆盘可以视为半径不等的有宽度的为半径不等的有宽度的圆环拼接而成。圆环拼接而成。任取其中一环任取其中一环2dmrdr利用前例环的转动惯量结果利用前例环的转动惯量结果32 r dr2dJr dm412R302Rr drJdJ2mR 212JmRRrdr 内半径为内
16、半径为 R1 外半径为外半径为 R2 质量为质量为 m 的的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题5 ：1R2R()22212mrdrRR 2dmrdr ()21222212RRmJrrdrRR ()222112m RR 质量为质量为m 半径为半径为R 的匀质薄球壳绕过中的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。心轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题6 ：sinR d 在球面取一圆环带，在球面取一圆环带，半径半径sinrR 224mdmrRdR 2Jr dmsin22302 mRd 223mR 质量为质量为m 半径为半径为R 的匀质球体绕过球心的匀质
17、球体绕过球心轴的转动惯量。轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题7 ：MR把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 23443mdmr drR 233mr drRJdJ223dm r4302Rmr drR225mR 如图所示，滑轮半径为如图所示，滑轮半径为r 。 （设绳与滑（设绳与滑轮间无相对滑动）轮间无相对滑动）若若m2与桌面间的摩擦系与桌面间的摩擦系数为数为，求系统的加速度，求系统的加速度a 及张力及张力 T1 与与 T2；若桌面光滑，再求。若桌面光滑，再求。解：普通物理学教案例题8：2m2T1T1mJ1m g2m g 力和力矩分析、力和力矩分析、方法方法1 1 按隔
18、离法按隔离法建坐标建坐标y0对质点用牛顿定律对质点用牛顿定律对刚体用转动定律对刚体用转动定律ar 222Tm gm a 12TrT rJ 111m gTm a限制性条件限制性条件12212/mmagmmJ r 解得：解得：22211212(/)/mmJ rTm gmmJ r 21122212(/)/mmJ rTm gmmJ r若桌面光滑，摩擦力矩为零若桌面光滑，摩擦力矩为零2m2T1T1mJ1m g2m g y0解法解法2由系统角动量定理由系统角动量定理取取 m1 、m2 、 J 为系统为系统外力矩外力矩系统的角动量系统的角动量12 Mm grm gr 2212Lm rm rJ（任一时刻）（对
19、滑轮转轴）（任一时刻）（对滑轮转轴）由角动量定理由角动量定理dLMdt12 m grm gr 2212()dm rm rJdt 由由解得：解得：221212() m grm grm rm rJ/a r 12212/mmagmmJ r 再由牛顿定律可得张力。再由牛顿定律可得张力。2m2T1T1mJ1m g2m g y0这也是定轴转动定律这也是定轴转动定律(整体分析方法整体分析方法)一根一根均均质质细细杆（杆（ m 、L ），一端可在竖直平，一端可在竖直平面内面内自由自由转动。转动。杆杆最初静止在水平位置，由最初静止在水平位置，由此下摆此下摆 角求角加速度和角速度。角求角加速度和角速度。解：普通物
20、理学教案例题9 ： odmgdml下摆过程重力下摆过程重力矩矩做功做功以杆为对象以杆为对象取质元取质元dmdl 当当杆杆处在下摆处在下摆 角时角时，该质该质量元所受重力对量元所受重力对 o 点的矩为点的矩为cosgldlcosdMdm g l 重力对整个棒的合力矩为：重力对整个棒的合力矩为：MdM代入转动定律，可得：代入转动定律，可得：MdM0cosLgldl 1cos2mgL2cos2gL 3cos2gL 2(cos )/2/3mgLmL MJ 代入转动动能定理代入转动动能定理2011cos022mgLdJ 211sin22mgLJ21()3JmL3singLsinmgLI 匀质圆盘的质量为
21、匀质圆盘的质量为 m，半径为，半径为 R，在水，在水平桌面上绕其中心旋转。设圆盘与桌面之间平桌面上绕其中心旋转。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为的摩擦系数为，求圆盘从以角速度，求圆盘从以角速度 0 旋转旋转到静止需要多少时间？到静止需要多少时间？ 解：普通物理学教案例题10 ：Ro0 r摩擦力矩导致减速摩擦力矩导致减速盘上任取微圆环盘上任取微圆环2dsrdr 圆环上各质点所受摩擦力矩全同，圆环上各质点所受摩擦力矩全同，取取0的方向为正，圆环所受力矩为的方向为正，圆环所受力矩为dMgrdm 22mrdrR22mrdrR dmdS 222rdMmgdrR 整个圆盘所受的力矩为整个圆盘所受的力矩为 根据转动定律，得根据转动定律，得 角加速度为常量，所以角加速度为常量，所以当圆盘停止转动时当圆盘停止转动时= 0，43gR 22312mgRmR MJ 23mgR 2202RrMmgdrR 得得0t034Rg 0t