《2023年中考数学专题复习讲座《锐角三角函数专题》.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学专题复习讲座《锐角三角函数专题》.pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、锐角三角函数锐角三角函数知识点总结与复习直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题1、勾股定理：直角三角形两直角边八b的平方和等于斜边c的平方。必运2、如以下图，在RtZABC中，NC为日卿那么NA的锐角三角函数为（NA可”二部定 义表达式取值范围邻 边关 系正弦.ZA的对边斜边 asin A=c0sinA l（N A为锐角）sin A=cosBcosA=sin Bsin2 A+cos2 A=1余弦,乙4的邻边斜边Abcos A=一0 cosA 0（N A为锐角）tan A=cot BcotA=tanB，出:乙（倒数）cot AtanAcotA=l余切4/A 的邻边cot A=-乙
2、4的对边,hcot A=acotA0（N A为锐角）任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等玉它的余角的余切值；任意锐角的余切值等啕的幽的正切值。5、0、3 0、4 5、60、90 特殊角的三角函数值（重要）三角函数0 3 0 4 5 60 90 sina023V221cos a1叵2V2220tana0V3314不存在cota不存在出1V3306、正弦、余弦的增减性:当0 W a W 90 时，s i n,随，的增大而增大，c os,随a的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当 0 90 时，t a n。随 的增大而增大，c ot。随
3、。的增大而减小。一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例 1 在 中，ZACB=9Q,B C=1,A B=2,那么以下结论正确的是（）A.s i n A=走 B.t a n A=-C.c os B=D.t a n B=7 32 2 2分析 s i n A =1,t a n A =,cosB=AB 2 AC 3 AB=；.应选D.例 2 在ABC 中，ZC=90,cosA=|,那么tan A 等于；分析 在 RtAABC中，设AC=3KAB=5kf那么6C=4左，由定义可知tan4=生=竺，.AC 3k 3分析 在 RtAABC中,B C=ylAB2-AC-=V52-42=3,sinA=|,故
4、填白例 3（12 哈尔滨）在 RtZABC 中，ZC=90,AC=4,AB=5,那么sinB的值是；【解析】此题考查了锐角三角函数的意义.解题思路:在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=-.5例 4（2023内江）如图4 所示，4A B C 的顶点是正 方 形 网 格 的 格 点，那 么 sin A 的 值 为；A/BcAD/Bc图4 图4【解析】欲求sinA,需先寻找N A 所在的直角三角形，而图形中N A 所在的aA BC 并不是直角三角形，所以需要作高.观察格点图形发现连接CD（如以下图所示），恰好可证得CDAB,于是有sinA=经=噌AC V10=石52例 5（2023
5、 宁波），RtAABC,ZC=90,AB=6,cosB,那么B C的长为；2【解析】COSBF=?又 AB=6 BC=4A D O例6(2023贵州铜仁)如图，定义：在直角三角形A B C中，锐角a的邻边与对边的比叫做角”的余切七记作ctan a,即ctan a=2怨驾=,f i 上角a的 对 边BC切定义，解以下问题：(1)ctan300=；A r22题图(2)如图，tanA=，其中N A为锐角，记求ctanA4的值.【分析】(1)可先设最小边长为一个特殊数(这样做是为了计算方便)，然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30由tanA彳,为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据
6、余切定义就可以求出ctanA的值.【解析】设BC=1,V a=30.*.AB=2.由勾股定理得：AC=V 3 ctan30=V 3(2)B C:tanA=-4.设 BC=3 AC=4.ctanA=4BC 3例7(2023山东滨州)把 ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦函数值()A.不变B.缩小为原来的;C.扩大为原来的3倍D.不能确定【解析】因为4A B C三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变.【答案】选A.例8(2023湖南)观察以下等式(l)sin30o=-l cos60=A(2)sin45o=cos
7、=45=选 sin60=q cos30=近根据上述规律，计算siMa+sii?(90-a)=.解析：根据可得出规律，即siMa+sii?(90-a)=1,继而可得出答案.答案：解：由题意得，sin230+sin2(90-30)=1；sin2450+sin2(90-45)=1；sin260+sin2(90-60)=1；故可得 siMa+sin?(90 a)=1.故答案为：1.点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外si/a+siM(90。-a)=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用.例9(2023山东德州)为了测量被池塘隔开的A,8两点之间的距离，根据实
8、际情况，作出如以下图形，其中EFA.BE,AF 交 于 O,C 在 RD 上.有四位同学分别测量出以下四组数据：5C,ZACB；CD,ZACB,ZADB；EF,DEf BD；DE,DC,B C.能根据所测数据，求出A,3 间距离的有哪组【解析】对于，可由公式AB=BCXtanNACB求出A、B 两点间的距离；对于，可设AB的长为x,那么 BC=4 ,B D=,BD-BC=CD,可解出tanZACB tanZADBA B.对于，易知DEFs/XDBA,那么”=也，可E F A B求出A B的长；对于无法求得，故有、三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定.在直角三角形中至少要有一
9、边和一角才能求出其他未知元素;判定两三角形相似的方法有:AA,SAS,S S S,两直角三角形相似的判定还有HL.例 10（2023江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P,那么tanZAPD的值是.【解析】要求tanZAPD的值，只要将NAPD放在直角三角形中，故过B 作 CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可.【答案】作 BM_LCD,DN_LAB垂足分别为M、N,那么BM=DM二也，易得：DN=,设 PM=x,那么2 10PD栏 卬 由D N P s B M P,得：焉
10、嗡，即”=单，PN=x,由 DM+PM=PD2,得：x 2 5T-+-x2=(-X)2,解得：X1=,X2=V2(舍去)，Atan10 5 2 4ZAPD=2.PM 也彳例 11.12023江苏苏州）如图,E、F 分别是AB、AD的中点，在四边形ABCD中,假设 EF=2,BC=5,等分析:根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得4 B C D 是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解.廨 箔 解：连接BD.E、F 分别是AB、AD的中点.JBD=2EF=4 V BC=5,CD=3/.ABCD 是直角三角形、：.4tanC=3例 12(2023 山东日照)在
11、 RtA ABC 中，ZC=90,把N A 的邻边与对边的比叫做N A 的余切，记作cotA=2.那么以下关系式中不成立的是()aA tanA*cotA=lB.sinA=tanA*cosAC.cosA=cotA*sinAD.tan2A+cot2A=l解答：解：根据锐角三角函数的定义，得A、tanA*cotA=-=1,关系式成立；B、sinA=-,b a ctanA*cosA=-=-,关系式成立；b c cC cosA=1,c o tA*sin A=-,关系式成立；D、c c a ctan2A+cot2A=(-)2+(-)V l，关系式不成立.应选b aD.点评：此题考查了同角三角函数的关系.(
12、1)平方关系：si/A+cos2A=1(2)正余弦与正切之间的关系(积的关系)：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 tanA=2 或 sinA=tanAcosA.(3)cosB正切之间的关系：tanA*tanB=l.例 13(2023贵港)如下图,在 ABC中，ZC=90,A D 是 B C 边上的中线，BD=4,AD=2右，那么tanNCAD的值是.5D口解答：解：V A D是B C边上的中线，BD=4,CD=BD=4,在 RtA ACD 中 ，_ I 2AC=J AD2-CD2=I（24S）-42=2,.,.tanZCAD=1=2.应选 A.*L 4M例 14（2023 烟台）如
13、果ADC 中,sinA=cosB=,那么以下最确切的结论是（）A.ABC是直角三角形 B.AABC是等腰三角形C.AABC是等腰直角三角形D.AABC是锐角三角形解：,h加 人 二cosB=变,.ZA=ZB=45,AABC2是等腰直角三角形.应选C.例15（2023四川）如下图，在数轴上点A所表示的数元的范围是（）A-jzn300 xsin602C、tan 300 x tan452解答：应选。.A0 1 2 1B、cos30 x cos452D、cot 450 x cot302同步练习1（2023甘肃）如图，A、5、。三点在正方形网格线的交点处,假设将ACB绕着点A逆时针旋转得到AC4，那么t
14、anB，的值为.解答：解：过。点作C D L A 8,垂足为。.根据旋转性质可知，在 RtZXBCD中,tanB=C D：BD=-，taiiB-tanB=-.3 32（2023 甘肃兰州）点 M（-sin60,cos60）关于x 轴对称的点的坐标是.解：Vsin60=旦,cos60=1,点 M（一走,）.*.*2 2 2 2点P（mf n）关于轴对称点的坐标P，（桃，-），M 关于轴的对称点的坐标是（-#,-1）.应2 2选 B.3（2023广东）：45A cosAC sinAtanAD、sinAcosA解答：解：V 45A 45。时,sinAcosA,应选：B.4、（2023宜昌）教学用直角
15、三角板，边 AC=30cm,ZC=90,tanNBAO。，那么边 BC 的长为.cm解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tanNBAC二生，又 AC=30cm,tanZBAC=,AC3那么 BC=ACtanZBAC=30 x=1075cm.应选 C.35、（2023福建莆田）如图，在矩形HBCD中，点E在A 5边上，沿CE折叠矩形4B C D,使点6落在A 0边上的点尸处，假设A3=4,BC=59那么打ZA F E的值为.解答：解：四边形 四力是矩形，/左N后N90,CD=AB=4f 4介 除5,由题意得：/E F俏/B=90,层 册5,A ZAFE+/D F O 9y,N M N
16、此女90,:./D C 2/A F E,、：在 R 3 C F 中,C FW,。4,:.D 23,tanZ.AFE=tanZ.DCF=-.DC 46、（2023连云港）小明在学习“锐角三角函数中发现，将如下图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，复原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5。的角的正切值是.【答案】设AB=x，那么BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=Vx,于是BF=（&+1）x.在直 角 三 角 形 ABF 中，tanNFAB=+l=tan67.5。.选 B。AB x7、（2023 福州）如图 1
17、5,A ABC,AB=AC=1,ZA=36,ZABC的平分线BD交AC于点D,那么AD的长是,cosA的值是.（结果保存根号）解析：由条件，可知ABDC、ZADB是等腰三角形，且DA=DB=B C,可证B D CS A B C,那么有生=生，设AC BCBC=x,那么DC=l-x,因此3=匕,B|J%2+x-l=0,解方程得,1 X司=与,=3（不合题意，舍去），即AD二与1；又ABcosA=答案：A D 2 x 1 6-14 2 428、（2023南京）如图，将4 5 的NAOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶 点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿沿的交点B在尺厘米，假设按相重合.O B与
18、尺上上的读书恰为2同 的 方 式 将3 7 的NAOC放置在该刻度尺上，那么OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为厘米.（结果精确到0.1厘米,参考数据 sin3700.60,cos3700.80,tan3700.75）解析：由于NAOB=45。，B点读书为2厘米，那么直尺的宽为2厘米，解直角三角形得点C的读数为24-tan3702-r0.752.7 厘米.答案：2.79、（2023 湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中NA=ND=90,AB=BC=15千米，CD=30千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积（结果
19、保存整数，参考数据尤=1.414 V 3 1.7 3 V 6 2.4 5）（2）求NACD 的余弦值.【解答】（1）结AC,AB=BC=15千米,ZB=90,ZBAC=ZACB=45,AC=15 五 千 米.又 ND=90,AD=VAC2-C D2=J（1 5&）2 _（3扬2 =12V3（千米）,周 长=AB+BC+CD+DA=30+3 五+12 6 =30+4.242+20.784 55（千米）.面积二S A B C+S A D C=1 X 15 X 15+1 X 12 V 3 X372=+1876157（平方千米）.2cosNACD二 叽 芈，A C 1 5 7 2 510、（2023甘
20、肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的平安程度。如 图（1）,虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角。，一般情况下，倾角越小，楼梯的平安程度越高；如 图（2）,设计者为了提高楼梯的平安程度，要把楼梯的倾角a减至口，这样楼梯占用地板的长度由必增加到d2,山=4米,/4=40,/2=36,楼梯占用地板的长度增加了多少米？（计算结果精确到0.01米。参考数据：tan40=0.839,解析：根据在 RtZACB 中，AB=ditan 0 i=4tan40,在 Rt/XADB 中，AB=d2tan 0 2=d2tan36o,即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度.解：由题意可知可得，Z
21、ACB=Z 0 i,/酊 8=/%在RtAACB 中，AB=ditan。i=4tan40,在 RtAADB 中，AB=d2ta n。2=d2tan36，得 4tan40=d2tan36，.-.d2=i 2 _ 4.616,tan 36d2-di=4.616-4=0.6160.6 2,答：楼梯占用地板的长度增加了 0.62米.11、（2023贵州）为促进我市经济的快速开展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道A B,如图，在山外一点C 测得BC距离为200m,Z CAB=54,Z CBA=30。,求隧道AB的长.(参考数据:sin54W).81,cos540.59,tan54=1.38,仔
22、 1.73,精确到个位)解 首先过点C 作 CD_LAB于 D,然后在R SB C D 中，利用三析：函数的知识，求得BD,CD的长，继而在RtAACD中，利N CAB的正切求得AD的长，继而求得答案.答 解：过点 C 作 CD_LAB 于 DBC=200m,Z CBA=30,案：.在 RtA BCD 中，CD=2BC=100m,BD=BC*cos300=200 x=100173(m),/Z CAB=54,在 RtZkACD 中，AD=C D=3=74(m),tan54 1.36.AB=AD+BD=173+74=247(m).答：隧道AB的长为247m.12、(2023新疆建设兵团)如图，在A
23、BC中，ZA=90.(1)用尺规作图的方法，作出 ABC绕点A逆时针旋转45。后的图形ASiG(保存作图痕迹)；(2)假设 45=3,BC=5f 求 tanNA51G.解答：解：(1)作N C 4 5 的平分线，在平分线上截取作 GA_LA3i,在 AG上截取AG=A C,如下图即是所求.(2)VAB=3,BC=5f：.ACAG 4=4,.*.ABi=3,ACi=4,tanZABiCi=-=.AD I 5专题2特殊角的三角函数值例1(2023，湖北孝感)计算：cos245+tan30o,s i n 6 0 =.【答案】1例 2（2023陕西）计算：2 c o s 4 5。-3次+（1-=,【解
24、析】原式=2 x -3 x 2 /2+l=-5 +l 【答案】-5 7 2+12例 3（2023 广安）计算：-（-|）-COS45+3-；解析：-（-）-c o s 4 5o+3-=+-+1 =7 2 +12 3 2 3 2 3例 4 计算|一3|+2cos45 解：原式=3+2 义9一1=及+2.例 5 计算一+内+（1产 7cos 60。.解：原式=3+3+（1）一；=3 1=2.例 6 计算|一+（cos 60 tan 30）+我.解：原式=及+1 十+2 夜=3 夜+1.例 7 计算出 一（冗一3.14）。一|1 一tan 60。1W解：原式=8 1-6 +1+石+2=10.例 8（
25、2023呼和浩特）计算：占|1一后+2 Ts i n 4 5【解析】三角函数、绝对值、乘方噎 一（&一）+3【答案】I 1-V 2 I+2-1=V 2-V 2 +1+-s i n 4 5 0 2_ 32例 9（2023 天水）计算：加 230。+%44。3146。+5加260。二.分析：根据特殊角的三角函数值计算.加43/（90-A）=1.解答：解：原式三+1+卜2.故答案为2.4 4例 10（2023*莱 芜）假 设 a=3-tan60,那么（1 -6.+9=。,V 3。1 a-1 3解 答：解：a=3-tan60=3-百，原式二。-1-2 a-l二1二 1 一 1 一百故答案为 昱.a-（
26、a-3）2 a-3 3-6-3 一 3 取 口 未 乃.3练习 1、（2023 浙江）计算：|一1|一（次 一（5-7T）+4cos45.【解】原式=1 1x2a l+4x 二夜2 2练习2、（2023浙江衢州）（1）计算：|-2|-（3-T T）+2cos45；解答：解：（1）原式=2-1 +2 X,=1+72；练习 3、计算：2023+V8-2sin45；原式=1+2后一V 2=1+VI；练习3、观察以下各式：sin 59 sin 28；0Vcos a V l（。是锐角）；tan 300+tan 60=tan90；tan 44 sin 28 成立，OVcos a 1（。是锐角）成立，tan
27、 30+tan 60=g +6Wtan90,tan 44 tan 45,即 tan 44/41,sin B=-=-=-.A B 2741 41专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；铅垂线|殴水平线俯角：视线在水平线下方的角。视线例 1、（2023湖北襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度C D.如图 5,李明距假山的水平距离BD为 12m,他的眼睛距地面的高度为L6m,李明的视线经过量角器零刻度线 OA和假山的最高点C,此时，铅垂线OE经过量角器的6 0 刻度线，那么假山的高度为m.【解析】如以下图，过点A
28、 作 AFCD于 F,那么 AF=BD=12m,FD=AB=1.6m.再由 OECF可知NC=NAOE=60。.所以，在 RtZACF 中，CF=上=4 6，那么 CD=CF+FD=(46+L6)m.例2、（2023珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小）,树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为4 5、木瓜B的仰角为30.求C处到树干D O的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：V 31.73,V 2=1.4 1 ）第16题图 第24题图【解析】如图，根据题意，得NCOD=90,NACO=45,ZBC
29、O=30,A B=2,求 CO.设 CO为x米，根据A0=C0,列方程,解得即可.【答案】解:设CO为x米在r均3中,tan30。=%,那么B 0=3 x3在朋ACO中,A0=C0,得方程*x+2=x解得x=5.答:C O长大约是5米.例3、（2023江苏盐城）如下图，当小华站立在镜子EF前A处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为45：如果小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30.求小华的眼睛到地面的距离。（结果精确到0 1米,参考数据：6 4 732）.【答案】设 AC=BD=x,在 RtZACAi 中，ZAAiC=45,:.AAi=x，在 Rt DBBi 中，BBi=
30、-二 ，又 Vtan 30即l X 4x=l,解得：x=%=L4（米）.2 2 2 2 2 2 2例4、（2023山西）如图，为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A.B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60,然后沿着平行于A B的方向水平飞行了 500米，在点D测得端点B的俯角为45。,求岛屿两端A.B的距离（结果精确到0.1米,参考数据：73,721.4 1 ）【解析】解：过点A作AE_LCD于点E,过点B作BFJ_CD 于点 F,ABII C D,Z AEF=Z EFB=Z ABF=90,.四边形ABFE为矩形.AB=EF,A E=B F.由题意
31、可知：AE=BF=100 米，CD=500 米.2 分在 RtA AEC 中，Z C=60,AE=100米.CE=_=AP2（米）.4 分在 RtA BFD中，Z BDF=45,BF=100.DF=_ _=屿 1 0 0 米）.6 分AB=EF=CD+DFtan45 1-CE=500+100-1x1.73=600-57.67=542.3 米）.8分答：岛屿两端A.B 的距离为542.3米.例 5、（2023呼和浩特22）如图，线段AS、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在区处测得。点的仰角为。，在A 处测得。点的仰角为。甲、乙两建筑物之间的
32、距离B C 为 m。请你通过计算用含“、机的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。【答案】解：过点A 作AM_LCD于 M 在RtABCD中,tana-CD=BC-tana=mtana 在 Rt/AMD 中,BCtanp=-1AMDM=AM-tanp=mtanp/.AB=CD-DM=m （tana-tan P例 6、（2023湖北随州，20）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A 处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C 处）和湖东岸的山峰老君岭（D 处）的仰角都是 45,游船向东航行100米 后（B 处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（6 =1.732,结果精确到米）。解析：设太婆尖高%米，
33、老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为A B=1 0 0 米，可建立关于加、h 2 的方程组，解这个方程组求得两山峰高度。答案：设太婆尖高%米，老君岭高h z 米，依题意,有-0=100tan 30 tan 45-=100、tan 45 tan 60%=1 0 0=50（V3+1）=50（1.732+1）=136.6 137（米）tan 60-tan 45_ 100=1002 tan45-ta n 30 731-3=5073（73+1）=50（3+73）=50（3+1.732）=236.6 237（米）答:太婆尖高度为1 3 7 米，老君岭高度为
34、2 3 7 米。j /题型二方位角问题1、从某点的指北方 o K向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做 第-方位角。如图3,O A、O B、O C、0 D 的方向角分别是：4 5 、1 3 5 、2 2 5 。2、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于9 0 的水平角，叫做方向角。如图4：O A、O B、O C、0 D 的方向角分别是：北偏东3 0 （东北方向），南偏东4 5 （东南方向），南偏西 6 0 （西南方向），北偏西6 0 （西北方向）。例1、（2023山东省潍坊）轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东3 0 方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东7 5 方向上，轮船航行半小时到达C处
35、,在观测灯塔A北偏东6 0 方向上，那么C处与灯塔A的距离是.海里解答：BC=50X0.5=25海里；根据方位角知识得，Z BCD=30 ,=75 -30 ；CB=Z BCD+ZACD=30 +60=90；Z A=Z CBD=45 所以CA=CB所以CB=25海里例2、（2023年四川德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东3 0 方向,且相距2 0海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏到 达B西6 0 方向航行:小时C.f5【解析】如图6 所示，根据题意可知NAPB=90。.且AP=20,PB=60X 2=40.所以 tanNABP工3 PB 40 2例 3、(2023连
36、云港)B 港口位于A 观测点北偏东53.2方向，且其到A 观测点正北方向的距离B D 的长为16km。一艘货轮从B 港口以40km/h的速度沿如下图的BC方向航行，15min后到达C 处。现测得C 处位于A观测点北偏东79.8。方向。求此时货轮与A 观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km).(参考数据：sin53.20.80,cos53.20.60,sin79.80.98,cos79.80.18,tan26.60.50,72-1.41,乒 2.24)【解析】过点B 作 AC的垂线，把所求线段AC换为两线段的差。利用RtAABH和 RtABCH求线段AH、CH的长，利用AHCH确定AC的长。
37、【答案】BC=40 x余=10.在 RtA ADB 中,sinNDAB=翳,sin53.20.8o 所以 AB=殳=20.如图，过点 BsinZDAB 0.8作 BH A C,交 AC的延长线于H o在 RtA AHB中，ZBAH=ZDAC-ZDAB=63.637=26.6,tanZBAH=也,0.5=里,AH=2BH.BH2+CH2=AB2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4 右”所以 AH=8 6 ,在RtA AHB 中，BH2+CH2=BC 2,=所以 AC=AHCH=8V52V5=6V513.4k.例4、（2023四川攀枝花）如图6,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，
38、在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场.假设渔政310船航向不变，航行半小时后到达3处，此时观测到我渔船C在北偏东3 0 方向上.问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值.）【答案】作C D上A B于。，设BD=x，:ZBCP=30,:.CD=73 x,因为 N G4D=45,:.AD=CD=g x,AB=y/3x-x,依据题意，75x-x=0.5,x=亘答：再4航行”小时，离渔船C的距离最近。例5、（2023山东东营）如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5,轮船以21海里/时的速度
39、向正北方向行驶，下 午2时该船.：到达B处,这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9。方向，求此时轮船所处位置B与城市J南猫离？（参考数据：sin36.9|,tan36.91,sin 67.5-,tan67.5-）5【解析】过点P作PC _L AB,构造直角三角形，设PO x海里，用含有x的式子表示AC,B C的值,从而求出x的值,再根据三角函数值求出B P的值即可解答.【答案】过点P作PC_LA6,垂足为C,设PC=x海里.在 RtAAPC 中，VtanZA=吆,AC：.A C=-=.在 RtAPCB 中，V tanZ B=,tan 67.5 12 B C：.BC=二 竺,VAC+BC=AB
40、=21x5，tan 36.9 3*,+=21x5,解 得 x=60.,*,sin ZB=-,12 3PB:PB=P C=6 0=60 x5=100（海里）.向阳号轮船sinZfi sin 36.9 3所处位置B与城市P的距离为100海里.例6、（2023山东省青岛）如图，某校教学楼A B的后面有一建筑物C D,当光线与地面的夹角是2 2 时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是4 5 时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）求教学楼A B的高度；学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保存整数）.q is?（参
41、考数据:sin22 g d，cos22 77,tan22）o lo 3【答案】解：过点E作EM_LAB,垂足为M.设AB为 X.Rt ABF 中,Z AFB=45 ,BF=AB=x,BC=BF+FC=x+13在 Rt AEM 中，Z AEM=22 ,AMAM=AB-BM=AB-CE=x-2,Atan22=x=12.即教学楼的高12m.由(1)可得 ME=BC=x+13=12+13=25.在 RtAAME中，cos22MET EfA E=八八M。E 2 5 Drt-、9 9。7.即A E 之间C O S z z 1 51 6的距离约为2 7m.题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值，即是坡角的正
42、切值应用举例：坡面的铅直高度力和水平宽度/的比叫做/一坡度（坡比）。用字母，表示，即；彳。坡度h一般写成1：山的形式，如，=1：5等。把坡面 口与水平面的夹角记作。（叫做坡角），那么i.=t a n a。例 1、（2023广安）如图2,某水库堤坝横断面迎水坡A B的坡比是1：百，堤坝高BC=50m,那么迎水坡面AB的长度是.m解:tanZBAC=iZBAC=30,sinZBAC=l,sinZBAC=,AB=2BC=100mAB例 2、小强在教学楼的点尸处观察对面的办公大楼.为了测量点尸到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A 的仰角为45。，测得办公大楼底部点B 的俯角为60。,
43、办公大楼高46米,。=10米.求点尸到4。的距离（用含根号的式子表示）.来人&源枇中教网PMC DP,N MC DB（第20题图）【解析】连结m、P B,过点尸作PM_LA0于点M；延长B C,交 PM于点N见 R 么 ZAPM=45,ZBPM=60,NM=1Q米.1 分设P M f米在 RtA PMA 中，勿 NAPA/=”a45=%（米）3 分在 RtL PNB 中，BN=PNxtan/BPM=（x 10）口 60。=6 一 10）6（米）5 分 来 源:中国#教育-%出版网由 AM+BN=46 米，得 x+（x-10）73=466 分解得，*=竺 里,1 +V 3点尸到AZ）的距离为竺里
44、甦米结果分母有理化为（1 8痒8）米也可）8 分【答案】彳*（结果分母有理化为（1 8 6 一 8）米也可）例 3、（2023湖北）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18cm,深为30cm,为方便残疾人士，拟将台阶改为 斜 坡，设 台 阶 的 起 点 为 A,斜 坡的起始点为C,现设计斜坡6C 的坡度：5,那么AC的长度是cm.【解析】如图，过点B 作 BD_LAC于 D,依题意可求得 AD=60cm,BD=54cm；由斜坡BC 的坡度 i=l：5,求得 CD=270cm,故 AC=CD-A D=270-60=210（cm）.例 4、（2023浙江省绍兴，19）如图L 某超市从一楼
45、到二楼的电梯A B 的长为16.50米，按坡角NA4C为32.（1）求一楼与二楼之间的高度5 c（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是025米，如图2.小明跨上电梯时,该电梯以每少上升2 级的高度运行,10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据:sin32=0.5299,cos320=0.8480,tan32=0.6249.【解析】(1)在 RtABC中，ZBAC=32,斜边AB的长为16.50米，根据锐角三角函数的定义即可求得一楼与二楼之间的高度BC.(2)先计算1 级电梯的高，再根据10秒钟电梯上升了 20级可计算10秒后他上升的高度.【答案】解：(1)VsinZBA
46、C=,/.BC=ABXsin32AB=16.50X0.52998.74 米.(2)4Han32=级 高 级 宽，工级高二级宽Xtan32=0.25X0.6249=0.156225,IO 秒钟电梯上升了 20级，小明上升的高度为：20X0.156225米.例 5、(2023浙江丽水，1 9)学校校园内有一小山坡,经测量，坡角NABC=30,斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1:3(即为CD与 BC的长度之比)，A,D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.【解析】：AD=AC-CD=6-2区答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6-2V3)米.例 6
47、、(2023深圳)小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如 图 3,此时测得地面上的影长为8 米，坡面上的影长为4 米，斜坡的坡角为3 0,同一时刻，一根长为1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 米，那么树的高度为.米【解答】：如图31,根据坡角易求树的下半局部的高为2 米，树的上半局部所在直角三角形的水平距离为（8+2亚米，由两个直接三角形相似易求树的上半局部高度为（4+a米，知树的高度为米，选择A1：（2达 阻 递 泰 州 24 如配图T1居屋镰篦胃与山脚上先的万述平线上，小李在P 处测得居民楼顶A的仰角为60。，然后他从P 处沿坡角为45。的山坡上走到C
48、处，这时，PC=30m,点 C 与点A 在同一水平线上，A、B、P、C 在同一平面内.（1）求居民楼AB的高度；（2）求 C、A 之间的距离.（精确至lj 0.1m,参考数据：出仁1.41,6=1.7 3,瓜七2.45）6023翅图）/A的 垂 练 垂 足 为 G,利用特殊B PR t A P C G和Rt/ABP中的边角关系，我们容易计算出CG（即AB）的长，最后用AC=BP+PGf就是C、A 之间的距离.（答案（1）过 C作 BP的垂线，垂足为G,在Rt/PCG中，CG=PCsin450=30X 也=15日所以 AB=15 夜=21.22（m）2）PG=PCcos45=30X 也=153,
49、B P=5限，2 6所以C、A 之间的距离=BP+PG=15亚+56=33.5（m）例 8（2023四川）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图9 所示，迎水坡面AB的长为16米，ZB=60,背水坡面CD的长为16百米，加固后大坝的横截面为梯形ABED,C E的长为8 米.（1）需加固的大坝长为 150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE的坡度.【解析】（1）求出横截面4 D C E 的面积，然后乘以坝堤长度即可得出体积.可以分别过点A,D 作 BC边上的高将问题转化为解直角三角形问题.（2）求大坝背水坡面D E 的坡度就是求
50、坡面D E上一点到BE的铅直高度与它到点E 的水平宽度的比，这一点通常取梯形的顶点.【答案】解：（1）过点A 作 AG_LBC于 G,过点D 作 DH_LBC于 H,.A G=D H.在 RtAABG 中，AG=sin60 AB=X16=8 百，D H =86.，.SADCE=DH-CE=iX8V3 X8=2 232G.需要填土石方32g X150=4800g(up).(2)在 RtADHC 中，HC=y/D C2-DH2=同=24,.HE=HC+CE=24+8=32.加固后大坝背水坡面DE的坡度=黑=誓=BH E 32 4例 9（2023江苏苏州）如图，斜坡AB长 60米,坡角（即ZBAC）