2018年中考数学专题复习卷《锐角三角函数》含解析.docx

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1、2018 年中考数学专题复习卷含解析1锐角三角函数锐角三角函数一、选择题一、选择题1.计算=()A.B.1C.D.【答案】B【解析】:tan 45 =1故答案为:B。【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。2.下列运算结果正确的是A.3a32a2=6a6B.(-2a)2=-4a2C.tan45=D.cos30=【答案】D【解析】A、原式=6a5,故不符合题意;B、原式=4a2,故不符合题意;C、原式=1,故不符合题意;D、原式=,故符合题意故答案为:D【分析】根据单项式乘以单项式,系数的积作为积的系数,对于相同的字母,底数不变,指数相加;积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的

2、幂相乘;根据特殊锐角三角函数值即可一一得出答案,再进行判断即可。3.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 0,BD=8,tanABD=,则线段 AB 的长为().2018 年中考数学专题复习卷含解析2A.B.2C.5D.10【答案】C【解析】:菱形 ABCD,BD=8ACBD,在 RtABO 中,AO=3故答案为:C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分,得出 ACBD,求出 BO 的长,再根据锐角三角函数的定义,求出 AO 的长,然后根据勾股定理就可求出结果。4.数学活动课,老师和同学一起去测量校内某处的大树的高度,如图,老师测得大树前斜坡的坡度 i=1:4,一学生站在离斜

3、坡顶端的水平距离 DF 为 8m 处的 D 点,测得大树顶端 A 的仰角为,已知,BE=1.6m,此学生身高 CD=1.6m,则大树高度 AB 为()m.A.7.4B.7.2C.7D.6.8【答案】D2018 年中考数学专题复习卷含解析3【解析】如图所示:过点 C 作延长线于点 G,交 EF 于点 N,根据题意可得:,计算得出:,设,则,故,即,计算得出:,故,则,故答案为:D.【分析】将大树高度 AB 放在直角三角形中,解直角三角形即可求解。即:过点 C 作C G A B延长线于点 G,交 EF 于点 N,因为斜坡D E的坡度 i=1:4,所以,解得 EF=2,而sin=,设 AG=3x,则

4、 AC=5x,所以 BC=4x,即 8+1.6=4x,解得x=2.4,所以AG=2.43=7.2m,则 AB=AGBG=7.20.4=6.8m。5.如图,电线杆 CD 的高度为 h,两根拉线 AC 与 BC 相互垂直,CAB=,则拉线 BC 的长度为(A、D、B在同一条直线上)()2018 年中考数学专题复习卷含解析4A.B.C.D.hcos【答案】B【解析】:CAD+ACD=90,ACD+BCD=90,CAD=BCD,在 RtBCD 中,cosBCD=,BC=,故选:B【分析】根据同角的余角相等得CAD=BCD,由 osBCD=知 BC=6.如图,ABC 内接于O,AD 为O 的直径,交 B

5、C 于点 E,若 DE2,OE3,则()A.4B.3C.2D.5【答案】A【解析】:如图,连接 BD,CDDO=2,OE=3OA=OD=5AE=OA+OE=82018 年中考数学专题复习卷含解析5ABE=EDC,AEB=DECABEDEC同理可得:AECBED由得AD 是直径ABD=ACD=90tanACB=ADB=tanABC=tanADC=tanACB tanABC=4故答案为:A【分析】根据 OD 和 OE 的长,求出 AE 的长,再根据相似三角形的性质和判定,得出,利用锐角三角函数的定义,可证得 tanACB tanABC=,代入求值即可。7.在 RtABC 中,C=90,AC=4,c

6、osA 的值等于,则 AB 的长度是()A.3B.4C.5D.【答案】D【解析】:RtABC 中,C=90,cosA 的值等于cosA=解之:AB=2018 年中考数学专题复习卷含解析6故答案为:D【分析】根据锐角三角函数的定义,列出方程 cosA=,求出 AB 的值即可。8.如图,一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 位于其北偏东 60方向上,轮船沿正东方向航行 30 海里到达 B 处后,此时测得灯塔 P 位于其北偏东 30方向上,此时轮船与灯塔 P 的距离是()A.15海里B.30 海里C.45 海里D.30海里【答案】B【解析】:作 BDAP,垂足为 D根据题意,得BAD=30,BD=15 海

7、里,PBD=60,则DPB=30,BP=152=30(海里),故选:B【分析】作 CDAB,垂足为 D构建直角三角形后,根据 30的角对的直角边是斜边的一半,求出 BP9.如图,在中,则等于()A.B.2018 年中考数学专题复习卷含解析7C.D.【答案】A【解析】:在 RtABC 中,AB=10、AC=8,BC=,sinA=.故答案为:A【分析】首先根据勾股定理算出 BC 的长,再根据正弦函数的定义即可得出答案。10.一艘在南北航线上的测量船,于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30方向,继续向南航行 30 海里到达 C 点时,测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15方向,那么海岛

8、B 离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据:)()A.4.64 海里B.5.49 海里C.6.12 海里D.6.21 海里【答案】B【解析】:根据题意画出图如图所示:作 BDAC,取 BE=CE,AC=30,CAB=30ACB=15,ABC=135,又BE=CE,ACB=EBC=15,ABE=120,又CAB=30BA=BE,AD=DE,2018 年中考数学专题复习卷含解析8设 BD=x,在 RtABD 中,AD=DE=x,AB=BE=CE=2x,AC=AD+DE+EC=2x+2x=30,x=5.49,故答案为:B.【分析】根据题意画出图如图所示:作BDAC,取BE=CE,根据

9、三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE,AD=DE,设 BD=x,RtABD 中,根据勾股定理得 AD=DE=x,AB=BE=CE=2x,由 AC=AD+DE+EC=2x+2x=30,解之即可得出答案.二、填空题二、填空题11.在ABC 中,C=90,若 tanA=,则 sinB=_【答案】【解析】:如图所示:C=90,tanA=,设 BC=x,则 AC=2x,故 AB=x,则 sinB=.故答案为:【分析】根据正切函数的定义由 tanA=,设 BC=x,则 AC=2x,根据勾股定理表示出 AB 的长,再根据正弦函数的定义即可得出答案。2018 年中考数学专题复习卷含解析912.如图,在

10、菱形纸片 ABCD 中,将菱形纸片翻折,使点 A 落在 CD 的中点 E 处,折痕为 FG,点分别在边上,则的值为_【答案】【解析】如图,作 EHAD 于 H,连接 BE,BD、AE 交 FG 于 O,因为四边形 ABCD 是菱形,A=60,所以ADC 是等边三角形,ADC=120,点 E 是 CD 的中点,所以 ED=EC=,BECD,RtBCE 中,BE=CE=,因为 ABCD,所以 BEAB,设 AF=x,则 BF=3-x,EF=AF=x,在 RtEBF 中,则勾股定理得,x2=(3-x)2+()2,解得 x=,RtDEH 中,DH=DE=,HE=DH=,RtAEH 中,AE=,所以 A

11、O=,RtAOF 中,OF=,2018 年中考数学专题复习卷含解析10所以 tanEFG=,故答案为.【分析】作 EHAD 于 H,连接 BE,BD、AE 交 FG 于 O,根据菱形的性质及等边三角形的判定方法得出ADC 是等边三角形,ADC=120,根据等边三角形的三线合一得出 ED=EC=,BECD,RtBCE 中,根据勾股定理得出 BE,CE 的长,根据平行线的性质得出 BEAB,设 AF=x,则 BF=3-x,EF=AF=x,在 RtEBF 中,则勾股定理得出方程求解得出 x 的值,RtDEH 中,DH=DE=,HE=DH=,RtAEH 中,利用勾股定理得出 AE 的长,进而得出 AO

12、 的长,RtAOF 中,利用勾股定理算出 OF 的长,根据正切函数的定义得出答案。13.如图,在 RtABC 中,B=90,C=30,BC=,以点 B 为圆心,AB 为半径作弧交 AC 于点 E,则图中阴影部分面积是_【答案】【解析】:连接 BEB=90,C=30,BC=,A=60,AB=1AB=EB,ABE 是等边三角形,ABE=60,S弓形=S扇形 ABESABE=故答案为:【分析】连接 BE 因为B=90,C=30,BC=,由C 的正切可得 tanC=,所以 AB=1,由题意以点 B 为圆心,AB 为半径作弧交 AC 于点 E 可得 AB=EB,所以ABE 是等边三角形,则ABE=60,

13、图中阴影部分面积=扇形 ABE 的面积-三角形 ABE 的面积=-1=-.2018 年中考数学专题复习卷含解析1114.如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB,飞机上的测量人员在 C 处测得 A,B 两点的俯角分别为 45和 30若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米,且点 H,A,B 在同一水平直线上,则这条江的宽度 AB 为_米(结果保留根号)【答案】【解析】:依题可得:ACD=45,BCD=30,CH=1200,CDAB,CAH=ACD=45,CBH=BCD=30,AH=CH=1200,设 AB=x 米,在 RtCHB 中,tanCBH=,即=,解得:x=1200-1200

14、.故答案为:1200-1200.【分析】根据平行线的性质结合已知条件得CAH=ACD=45,CBH=BCD=30,设 AB=x 米,在 RtCHB中,根据正切三角函数定义建立等式,代入数值解方程即可得 AB 长.15.如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,B 是锐角,AEBC 于点 E,M 是 AB 的中点,连结 MD,ME 若EMD=90,则 cosB 的值为_。【答案】2018 年中考数学专题复习卷含解析12【解析】:延长 DM 交 CB 的延长线于 H,四边形 ABCD 为菱形,AB=AD=BC=2,ADBC,ADM=H,又M 是 AB 的中点,AM=BM=1,在ADM 和BHM 中,A

15、DMBHM(AAS),DM=HM,AD=BH=2,EMDM,EH=ED,设 BE=x,EH=ED=2+x,AEBC,AEB=EAD=90,AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,即 22-x2=(2+x)2-22,化简得:x2+2x-2=0,解得:x=-1,在 RtABE 中,cosB=.故答案为:.【分析】延长 DM 交 CB 的延长线于 H,由菱形的性质和平行线的性质可得:AB=AD=BC=2,ADM=H;由全等三角形的判定 AAS 得ADMBHM,再根据全等三角形的性质得 DM=HM,AD=BH=2,根据等腰三角形三线2018 年中考数学专题复习卷含解析13合一的性质可得 EH=ED,设

16、 BE=x,则 EH=ED=2+x,根据勾股定理得 AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,代入数值解这个方程即可得出 BE 的长.16.如图,在边长为 1 的小正方形网格中,点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上,AB、CD 相交于点 O,则 tanAOD=_.【答案】2【解析】:连接 BE 交 CF 于点 G(如图),四边形 BCEF 是边长为 1 的正方形,BE=CF=,BECF,BG=EG=CG=FG=,又BFAC,BFOACO,,CO=3FO,FO=OG=CG=,在 RtBGO 中,tanBOG=2,又AOD=BOG,tanAOD=2.故答案为:2.【分析】连接 BE 交 CF

17、 于点 G(如图),根据勾股定理得 BE=CF=,再由正方形的性质得 BECF,BG=EG=CG=FG=,又根据相似三角形的判定得BFOACO,由相似三角形的性质得,2018 年中考数学专题复习卷含解析14从而得 FO=OG=CG=,在 RtBGO 中根据正切的定义得 tanBOG=2,根据对顶角相等从而得出答案.17.如图。在的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是_【答案】【解析】AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AC2+BC2=AB2,ABC 为直角三角形,且ACB=90,则 sinBAC=故答案为:【分析】首先

18、根据方格纸的特点,算出 AB2,AC2,BC2,然后根据勾股定理的逆定理判断出ABC 为直角三角形,且ACB=90,根据正弦函数的定义即可得出答案。18.一副含 30和 45角的三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起,边 BC 与 EF 重合,BC=EF=12cm(如图 1),点G 为边 BC(EF)的中点,边 FD 与 AB 相交于点 H,此时线段 BH 的长是_现将三角板 DEF 绕点 G 按顺时针方向旋转(如图 2),在CGF 从 0到 60的变化过程中,点 H 相应移动的路径长共为_(结果保留根号)【答案】;2018 年中考数学专题复习卷含解析15【解析】:如图如图 1 中,作 HMB

19、C 于 M,HNAC 于 N,则四边形 HMCN 是正方形,设边长为 a.在 RtABC 中,ABC=30,BC=12,AB=8,在 RtBHM 中,BH=2HM=2a,在 RtAHN 中,AH=a,2a+=8,a=66,BH=2a=1212.如图 2 中,当 DGAB 时,易证 GH1DF,BH1的值最小,则 BH1=BK+KH1=3+3,HH1=BHBH1=915,当旋转角为 60时,F 与 H2 重合,易知 BH2=6,2018 年中考数学专题复习卷含解析16观察图象可知,在CGF 从 0到 60的变化过程中,点 H 相应移动的路径长=2HH1+HH2=1830+6(1212)=1218

20、,故答案为:1212,1218.【分析】如图 1 中,作 HMBC 于 M,HNAC 于 N,则四边形 HMCN 是正方形,设边长为 a,利用解直角三角形求出 AB 的长,用含 a 的代数式分别表示 BH、AH 的长,再根据 AB=AH+BH,就可求出 a 的值,从而求出 BH 的值即可;如图 2 中,当 DGAB 时,易证 GH1DF,得出此时 BH1的值最小,求出 BH1的值,再求出 BH2的值,然后求值在CGF 从 0到 60的变化过程中,点 H 相应移动的路径长即可。三、解答题题三、解答题题19.先化简,再求值:(),其中 a=2sin60tan45【答案】解:原式=(a1)=(a1)

21、=当 a=2sin60tan45=21=1 时,原式=【解析】【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法,再计算减法,最后约分即可化简原式,根据特殊锐角三角函数值求得 a 的值,代入即可20.为了计算湖中小岛上凉亭 P 到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点 A 处,测得凉亭 P在北偏东 60的方向上;从 A 处向正东方向行走 200 米,到达公路l上的点 B 处,再次测得凉亭 P 在北偏东 45的方向上,如图所示求凉亭 P 到公路l的距离(结果保留整数,参考数据:,)2018 年中考数学专题复习卷含解析17【答案】解:依题可得:AB=200 米,PAC=60,PBD=45,令 PG

22、=x 米,作 PGl,PAG=30,PBG=45,PBG 为等腰直角三角形,BG=PG=x,在 RtPAG 中,tan30=,即,x=100(+1)273答:凉亭 P 到公路 l 的距离是 273 米【解析】【分析】令 PG=x 米,作 PGl,根据题意可得PBG 为等腰直角三角形,即 BG=PG=x,在 RtPAG中,根据锐角三角函数正切定义可得 tan30=,代入数值解方程即可.21.如图,湛河两岸 AB 与 EF 平行,小亮同学假期在湛河边 A 点处,测得对岸河边 C 处视线与湛河岸的夹角CAB=37,沿河岸前行 140 米到点 B 处,测得对岸 C 处的视线与湛河岸夹角CBA=45.问

23、湛河的宽度约多少米?(参考数据:sin370.60,cos37=0.80,tan37=0.75)【答案】解:过 C 作 CDAB 于点 D,设 CD=x 米2018 年中考数学专题复习卷含解析18在 RtBDC 中,CDB=90,CBD=45,BD=CD=x 在 RtADC 中,ADC=90,CAD=37,AD=AB=AD+DB=140,x=60答:湛河的宽度约 60 米【解析】【分析】过 C 作 CDAB 于点 D,设 CD=x 米,在 RtBDC 中,CDB=90,CBD=45,根据等腰三角形的性质可得 BD=CD=x,在 RtADC 中,ADC=90,CAD=37,由 tanCAD=ta

24、n37=,所以 AD=,而由题意得 AB=AD+DB=140,所以+x=140,解得 x=6022.已知:在平面直角坐标系中,点 0 为坐标原点,点 A 在 x 轴的负半轴上,直线与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点,四边形 ABCD 为菱形.(1)如图 1,求点 A 的坐标;(2)如图 2,连接 AC,点 P 为ACD 内一点,连接 AP、BP,BP 与 AC 交于点 G,且APB=60,点 E 在线段 AP上,点 F 在线投 BP 上,且 BF=AE.连接 AF、EF,若AFE=30,求 AF+EF的值;(3)如图 3 在(2)的条件下,当 PE=AE 时,求点 P 的坐标.【答案】(

25、1)解:如图 1:BO=,CO=在 RBCO 中四边形 ABCD 为菱形AB=BC=7AO=AB-BO=2018 年中考数学专题复习卷含解析19(2)解:如图 2AO=BO,COABAC=BC=7AB=AC=BCABC 为等边三角形ACB=60,APB=60APB=ACBPAG+APB=AGB=CBG+ACBPAG=CBG 连接 CE、CFAE=BFACEBCFCE=CFACE=BCFECF=ACF+ACE=ACF+BCF=ACB=60CEF 为等边三角形CFE=60EF=FCAFE=30AFC=AFE+CFE=90在 RtACF 中AF2+CF2=AC2=72=49AF2+EF2=49(3)

26、解:如图由(2)知CEF 为等边三角形CEF=60EC=EF 延长 CE、FA 交于点 HAFE=30CEF=H+EFHH=CEF-EFH=30H=EFHEH=EFEC=EH 连接 CPPE=AECEP=HEACPEHAEPCE=H:CPFHHFP=CPF 在 BP 上截取 TB=AP连接 TC 由(2)知CAP=CBTAC=BC,ACPBCT2018 年中考数学专题复习卷含解析20CP=CTACP=BCTPCT=ACP+ACT=BCT+ACT=ACB=60CPT 为等边三角形CT=PTCPT=CTP=60CPFHHFP=CPIT=60APB=60APB=AFPAP=AFAPF 为等边三角形C

27、FP=AFC-AFP=90-60=30TCF=CTP-TFC=60-30=30TCF=TFCTF=TC=TP连接 AT 则 ATBP 设 BF=m 则 AE=PE=mPF=AP=2m.TF=TP=m TB=2m BP=3m在 RtAPT 中 AT=在 RtABT 中,AT2+TB2=AB2m1=-(舍去)m2=BF=,AT=,BP=3,作 PQAB 垂足为点 Q,作 PKOC,垂足为点 K,则四边形 PQOK 为矩形则 OK=PQ=BPsinPBQ=3x2=3【解析】【分析】(1)先求出直线 BC 与两坐标轴的交点 B、C 的坐标,再利用勾股定理求出 BC 的长,根据菱形的性质得出 AB=BC

28、,然后求出 AO 的长,就可得出点 A 的坐标。(2)根据点 A、B 的坐标,可证得ABC 是等边三角形,可得出 AC=AB,再证明PAG=CBG,根据已知 AE=BF,就可证得ACEBCF,得出 CE=CF,ACE=BCF,然后证明AFC=90,在 RtACF 中,利用勾股定理就可结果。(3)延长 CE、FA 交于点,根据等边三角形的性质及已知条件,先证明 EC=EH,连接 CP,易证CPEHAE,得出PCE=H,根据平行线的性质,可得出HFP=CPF,在 BP 上截取 TB=AP,连接 TC,证明ACPBCT,根据等边三角形的性质及平行线的性质,去证明 TF=TC=TP,连接 AT,得出 ATBP,设 BF=m,AE=PE=m,再根据勾股定理求出 m 的值,作 PQAB,PKOC,可得出四边形 PQOK 是矩形,利用解直角三角形求出 PQ的长,就可求出 BQ、OQ 的长,从而可得出点 P 的坐标。

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