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1、2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2021年 11月）一.选 择 题（共8小题）1.（2021秋长春期中）如图，在aA B C 中，ZC=90,AB=5,A C=4,下列三角函数表示正确的是（）5 3 5 42.（2021秋金山区校级期中）以下与tan30大小相等的是（）A.cos60 B.cot60 C.cot30 D.tan603.（2021秋莱芜区期中）在 RtZAC8中，NC=90,tanA=2代，则 sinB的值为（）A.1 B.A C.V2 D.5/35 24.（2021秋徐汇区期中）如图，一块矩形木板ABC。斜靠在墙边（OCJ_OB,点 A,B,C,D,O在同一平面内
2、），已知AB=a,AD=b,Z B C O=a,则点A 到 O C的距离等于（）A.sina+b.sina B.cosa+bcosaC.#sina+/?ecosaD.a.cosa+ina.5.（2021秋浦东新区期中）在 RtZA3C中，ZC=90,A B=m,那么边AC的长为（）A.msinB B.mcosB C.mtanB D.mcotB6.（2021秋长春期中）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：V 3.坝高8 C 为 4 m 则AB的长度为（）_5A4ssssssssssssgsssssssssssysssssstsySssstsyssstsySSSQssssssssssssss.s
3、sssssssssssss.8/C8%6/BD7.（2021秋锦江区校级期中）如图，ABC的顶点在正方形网格的格点上，则 cos/ACB的 值 为（)且_ A.A B.豆 C.D.2 5 5 108.（2 0 2 1秋盐湖区校级月考）如 图1、是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架 A。、B C 与桌面构成如图 2,已知。4 =O B=O C=O Q=2 0、/a ,N C O Q=6 0 ,则点A到 地 面（C 所在的平面）的距离是（）A.30yB.6 0y/2cm C.40D.6 0cm填 空 题（共7小题）9.（2 0 2 1秋闵行区期中）如图，某梯子长1 0米，斜靠在竖直的墙面
4、上，当梯子与水平地面所成角为a时，梯子顶端靠在墙面上的点8处，底端落在水平地面的点A处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为B，且s ina=c os 0=|,则梯子顶端上升了米.1 0.（2 0 2 1 鹿城区校级二模）如 图1是两扇推拉门，A B是门槛，AD,B C是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中t a nN Z M B=巨，t a nN C 8 A=,测12 4得C,。间 的 距 离 为 玩凉?，则门槛A B的长为 dm.c图1图21 1.（2 0 2 1 秋婺城区校级月考）如 图 1是一款“雷达式”懒人椅.当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示
5、，金属杆A B、CD在点。处连接，且分别与金属杆E F 在点B,D处连接.金属杆CD的O D部分可以伸缩（即O D的长度可变）.已 知OA=5 0cm,OB=2 0 c/n,OC=3 0cm.D E=B F=5 c m.当把懒人椅完全叠合时，金属杆A B,C D,E 尸重合在一条直线上（如图3 所示），此时点E和点A重合.（1）如图2,已知N B O ）=1 2 0 ,N O B 尸=1 4 0 ,则点A,C之间的距离为 cm.（2）如图3,当懒人椅完全叠合时，则 C F 与 C 的比为.1 2.（2 0 2 1 宁夏）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮
6、球筐的直径A B约 为 0.4 5?，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为4 2 ,再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为3 5 .若该同学的目高O C为 1.7，则篮球筐距地面的高度AD大约是，.（结果精确到1 根）.（参考数据:t a n4 2 =0.9,t a n3 5 =0.7,t a n4 8 L I,t a n5 5 =1.4）1 3.（2 0 2 1 秋栖霞市期中）如图，A B C 的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则 c os/BAC等 于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 4.（2 0 2 1 秋海
7、曙区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A B=3 旄，连 接 4B并延长1 5.（2 0 2 1 秋平阳县期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点。处后进球.已知小明与篮框内的距离3 c=5米，眼镜与底面的距离4 3=1.7米，视线A Z）与水平线的夹角三.解 答 题（共 5 小题）1 6.（2 0 2 1 攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自 2 0 2 1 年 2月 1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的 中华人民共和国海警法正式实施.中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措.如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D
8、处测得与斜坡A C坡脚点C的距离 为 1 4 0 米，测得岛礁顶端A的仰角为3 0.9 6 ,以及该斜坡AC的坡度i=S,求该岛6礁 的 高（即点A到海平面的铅垂高度）.（结果保留整数）（参考数据：s i n3 0.9 6 -0.5 1,c os 3 0.9 6-0.8 5,t a n3 0.9 6 =0.60）1 7.（2 0 2 1 秋浦东新区期中）如图，在 R t A B C 中，ZB A C=9 0 ,延长斜边8c到点）,使 CZ)=LBC,联结 A。，如果 t a n B=9,求 t a n/C A O 的值.2 31 8.（2 0 2 1 新野县三模）许昌市旅游服务中心由广场和1“
9、一门四阙 主题建筑组成，如 图 1.广场为迎宾广场一门”为“许昌之门”，“四蹦”为广场四角的汉阙，是许昌的标志性建筑.某数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度，图 2为测量示意图，MN为服务中心的对称轴，在 地 面 的 处 架 设 测 角 仪，测得旅游服务中心的最高点。的仰角4 5 ,利用无人机在点B的正上方57.8米处的点C处测得点D的俯角为3 2 ,测角仪的高度AB=1.6 米，尸”=1 7.2 米，E=1 9.8 米.（1）求旅游服务中心的高度为多少米？（结果精确到（），.参考数据：si n3 2 g0.53 0,c o s3 2 心0.84 8,tan3 2 g0.6 2 5,我
10、 亡 1.4 1 4）（2）兴趣小组测量后到旅游服务中心参观，发现讲解员讲解的高度为3 6 8”，请用物理知识解释测量值与实际值出现差距的原因，如何避免或者减小差距？1 9.（2 0 2 1 秋龙马潭区校级期中）2 0 2 1 年 9 月 1 6 号，泸县发生地震，救援队及时达到现场参与救援，在救援中用热气球进行探测.如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部 8 的仰角（N B A。）为 4 5 ,看这栋高楼底部C的俯角（N C 4。）为 6 0 ,热气球与高楼的水平距离A Z）为 50?，求这栋高楼的高度（结果保留根号）.B2 0.（2 0 2 1 巴音郭楞州模拟）如图，一辆轿车在一个十字
11、路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是/。=3 0 和/O C B=53 ,如果斑马线的宽度A8=4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x 约是多少米？（参考数据：si n53 弋 生 c o s53 勺旦，tan53 弋生 F.73,结果精确5 5 3至 U 0.1 米）2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2021年 11月）参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题）1.（2021秋长春期中）如图，在aA B C 中，ZC=90,AB=5,A C=4,下列三角函数表示正确的是（）5 3 5 4【考点】勾股定理；锐角三角函
12、数的定义.【专题】解直角三角形及其应用；模型思想.【分析】先利用勾股定理求出B C 的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可.【解答】解：VZACB=90,AB=5,AC=4,BC=VAB2-AC2=V52-42=3，s in A=3,故选项A 错误；5tanA=旦，故选项8 错误；4c o s A=4,故选项C 正确；5ta n fi=A,故选项。错误.3故选：C.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键.2.（2021秋金山区校级期中）以下与tan30大
13、小相等的是（）A.cos60 B.cot60 C.cot30 D.tan600【考点】特殊角的三角函数值.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出各个选项中特殊角的三角函数值，比较大小即可得到答案.【解答】解：tan30=返，cot60=返，3 3则与tan300大小相等的是cot60,故选：B.【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记6 0 的正切值、余切值是解题的关键.3.（2021秋莱芜区期中）在 RtZVICB中，NC=90,tanA=2后，则 sinB的值为（）A.A B.A C./2 D.V35 2【考点】互余两角三角函数的关系.【专题】平
14、面直角坐标系；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.【解答】解：设中，ZC=90,/A、N B、/C 的对边分别为a、b、c,由于 tanA=2-,cosaC.asina+6cosa D.acosa+sina.【考点】解直角三角形的应用.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】作 A E L 08交。8 的延长线于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解直角三角形可求出点A 到 0 C 的距离.【解答】解：如图，作 AE_L08交。8 的延长线于点E,OCLOB,：.ZAEB=ZBOC=90,.四边形ABC。是矩形，：.BC=AD=
15、b,NABC=90,NABE=90-ZOBC=ZBCO=a,cos/A8E=cosa,A BBE=AB,cosa=a,cosa,.3=s in N 8co=sina,B COB=BC,sina=b*sma,0E=BE+OBa*cosa+b sina,：AE/OC,.点A、点 到。C 的距离相等，/.点 A 到 0 C 的距离等于acosa+%sina,【点评】此题考查直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，解题的关键是作辅助线将点A 到 0 C 的距离转化为一条线段的长.5.（2021秋浦东新区期中）在 RtA4BC中，Z C=90,A B m,那么边AC的长为（）A.zns
16、inB B.mcosB C.mtanB D.mcotH【考点】锐角三角函数的定义.【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；模型思想.【分析】根据锐角三角函数的定义，得出答案.【解答】解：在R t Z A B C中，N C=9 0 ,AB=m,V s i n B=-,即 s i n 8=,A B m.*.A C=/w s i n B,故选：A.【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键.6.（2 0 2 1秋长春期中）如图，河坝横断面迎水坡A B的坡比为1：V 3.坝高B C为 痴，则A B的长度为（）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【专题】解直角三角形及其应
17、用；推理能力.【分析】根据坡度的概念求出A C,再根据勾股定理计算，得到答案.【解答】解：.迎水坡A B的坡比为1：遍，-B C=1AC后；B C=4，A C=4 心?，由勾股定理得：4 B=+AC2=4 2 2=8（%），故 选:B.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键.7.（2 0 2 1秋锦江区校级期中）如图，A B C的顶点在正方形网格的格点上，则c o s N A C BB.正c.等。噜【考点】解直角三角形.【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.【分析】根据图形得出A。的长，进而利用三角函数解答即可.【解答】解：过 A 作 ADLBC于。
18、，B D C：.DC=,AD=3,，MC=VA D2+D C2=V TO,：.c o sZ A C B=-=-,AC V10 10故选：O.【点评】此题考查解直角三角形，关键是利用三角函数解答.8.（2021秋盐湖区校级月考）如 图 1、是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架 A。、与桌面构成如图 2,已知 OA=O 3=O C=O Q=20cm,NCOO=60,则点 A 到 地 面（C。所在的平面）的距离是（）A.30jcmB.60y/2cmC.D.60cm【考点】解直角三角形的应用.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】连 接 CD 过。作。F_LC 于点尸，延长F O,
19、交 AB于点E,根据直角三角函数求出O F的长，进而得出E F 的长.【解答】解：如图，连接C C,过。作 OFLC。于点尸，延长F O,交 AB于点E,EBOA=OB=OC=OD=20yf3cm,ZC0D=6Q,：.ZCOF=30,CF=OC*c os Z COF=20A/X 2 =3 0 (cm),：.EF=2OF=60(cm),即点A到 地 面（CD所在的平面）的距离是60cm.故选：D.【点评】本题考查了含3 0 角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.二.填 空 题（共 7 小题）9.（2 0 2 1 秋闵行区期中）如图，某梯子长1 0 米，斜靠在
20、竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为a时，梯子顶端靠在墙面上的点8处，底端落在水平地面的点4处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为0，且 si na=c os0=_|,则梯子顶端上升了2_米，【考点】解直角三角形的应用.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】在原图中标上必要的字母，由至上=si na=E =c os0=,设 BC3 m,则 ABA B E D 5=5 m,求出川 的值和A B、8c的长，同样方法求出EC的长，再根据勾股定理求出Q C的长，即可求出梯子顶端上升几米.【解答】解：如图，由题意可知，Z A C B=9 0 ,AB=ED=O,由国匕=si na=
21、2=c os0 =3,A B E D 5设 B C=3 m,则 4 8=5 加，则 5 m=1 0,解得m=2,：.BC=3 X2=6,设 E C=3 ，则 E Z）=5,*5=1 0,解得几=2,，E C=3 X 2=6,DC=VED2-E C2=V102-62=8,；.B D=D C-B C=8-6=2（米），.梯子顶端上升了 2米，故答案为：2.【点评】此题考查锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理等知识与方法，解题的关键是根据题中所给的三角函数值设未知数，使每一个直角三角形由两个未知边变为两个已知边.1 0.（2 0 2 1 鹿城区校级二模）如 图 1 是两扇推拉门，AB 是门槛，AD,
22、B C是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中la n/D 4 B=互，t a n N C 8 A=3,测12 4得C,D间的距离为4 y 7 而加1,则门槛A B的长为 2 6 0 dm.c2、门 槛B A O B图1图2【考点】解直角三角形的应用.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.【分析】过。作 C FLA8于 F,过 C 点作CGLA8于 G,过点。作 OELCG于 E,则四边形。GE为矩形，进而可得E=FG,EG=。凡 设 A D=B C=x,则 A B=2x,通过解直角三角形可求得CE=鱼X，DE=&x，利用勾股定理列式计算可求解x 值，进而求65 65解
23、AB的值.【解答】解：过。作。FLA B于 凡 过 C 点作CGLA2于 G,过点。作 QELCG于 E,则四边形OFGE为矩形，:.DE=FG,EG=DF,NDEC=90,设 A Q=B C=x,则 AB=2x,VtanZDAB-,tanZCBA=,12 4.,.sinNA=-,sinZB=,13 5.O F=_ LY，C G=3y,BG=-V13 13 5 5；.CE=CG-EG=CG-且Y=1Y，5 13 65DE=FG=AB-AF-BG=2a-Y-A13 5 65在 R tacnE 中，DC 4r/130t/w-DEP+CEPDC2,即。（差 乂）2=（47130）2,解得x=130,
24、A8=2x=260d，.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角CQE是解题的关键.I I.(2021秋婺城区校级月考)如图1是一款“雷达式”懒人椅.当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，金属杆A8、CO在点。处连接，且分别与金属杆E F在点B,。处连接.金属杆CQ的。部分可以伸缩(即。的长度可变).已知OA=50a”，OB=20，OC=30aw.D E=B F=5 c m.当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB,C D,E F重合在一条直线上(如图3所示)，此时点E和点A重合.(1)如图2,已知/8。=120,NOBF=140,则点A,C之间的距离为 70 cm.(2)如图3,当懒人
25、椅完全叠合时，则CF与CQ的比为 1：15.【考点】解直角三角形的应用.【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.【分析】(1)连接A C,过点4作AG1.CE于G,由直角三角形的性质得出O G=2O42=2 5 c m,由勾股定理得A G=2 5 j&?，得出AC=7(kro即可；(2)由题意得出 C F=O C -OB-BF=5 cm,C D=O C+O A -DE=7 5 cm.【解答】解：(1)连接A C,过点A作AG LC E于G,如图2所示：V Z A O C=120 ,；./A O G=180-120=60,：AGA.C E,NOGA=90,A ZOAG=9 0 -60=30,A
26、 O G=AOA=AX50=25(cm),2 2由勾股定理得：4G=Q2-Q(2=5Q2-252=25,/3 cm,V CG=OC+OG=30+25=55(cm),-,A C=VCG2+A G2=7552+(25V3)2=70 (C W),.,.点A,C之间的距离为70cm；故答案为：70.(2)CF=OC-OB-BF=30-20-5=5(cm),C C=OC+OA-DE=30+50-5=75(C T T?).C1与CD的比5：75=1：15.故答案为：1：15.【点评】本题考查了解直角三角形的应用、直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键.12.（2
27、021宁夏）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，己知篮球筐的直径A B约 为0.45/M,某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42,再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35.若该同学的目高OC为1.7m,则 篮 球 筐 距 地 面 的 高 度 大 约 是 3 m.（结果精确到1/）.（参考数据：tan42-0.9,tan35=0.7,tan48 一 1.1,tan55 一 1.4）测量示意图【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.【分析】设OE=x,A E=B F y,然后结合角的正切值列方程
28、组求解，从而求得AO的高度.【解答】解：如图:B由题意可得四边形A E F B是矩形，四边形O C D E是矩形,：.AB=EF=0.45,OC=ED=1.1,设 O E=x,AE=BFy,在 R t z A O E 中，t an 4 2 =坐,O E.y-=0.9)x在 R t Z s B O尸中，t an 3 5 =更,O Fy-=0 7,x+0.45联立方程组，可得，y=0.9xV-=0 7x+0.45解得：63V-40_567y-400：.A D=A E+E D=L+n 7=3,400故答案为：3.【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，理解锐角三角函数的定义，利用角的正切值列方程组是
29、解题关键.1 3.（2 02 1秋栖霞市期中）如图，A B C的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则c o sABAC等于色叵.一10【考点】解直角三角形.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.【分析】设小正方形的边长为1，过 C 作 COLA8于。，求出aABC的面积，根据勾股定理求出A 3和 A C,根据三角形的面积求出高CD长，根据勾股定理求出A。，再求出答案即可.【解答】解：设小正方形的边长为1,过 C 作 CD_LA8于。，r T r -I I I_一 1.一 I_ ISAA B C=/X 2 X 2=2，由勾股定理得：A B=22+42=2V5 A C=22+22=2A/2-x
30、2V5x CD解得：8=织 ,5 _ _由勾股定理得：AD=必/f（2如）2-（噜 产 喏,W5.cosN B 4C=-5A C 2 V 2 1 0故答案为：之 国.1 0【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出 ABC的面积是解此题的关键.14.（2021秋海曙区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A B=3&,连 接 A B 并延长至 C,连接O C,若满足OC2=BCAC,ta n a=2,则点C 的坐标为（-2,4）.【考点】坐标与图形性质；解直角三角形.【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.【分析】根据相似三角形的判定和性质得出/A =/C0 2,进而得出N A 8 0=a
31、,利用t a n a=2,得出O A=2 O B,利用勾股定理解得0 B,从而可知0 A的长，进而可知t a n/A的值，由t a n a=2,设C（-机，1 m）,机0,t a n N4的值列出关于，的方程，解得机的值，则可得点C的坐标.【解答】解：V Z C=Z C,OC2=B C?A C,即 毁 上2 _,B C 0 C：.lOBCsXOAC,：.Z A=Z C O B,a+ZCOB=90,/A+/A 8 O=9 0 ,ZA B O=a,V t a n a=2,，t a n NA B O=烈=0OB：.OA=2OB,:A B=3 辰,由勾股定理可得：OA2+OB2-=AB2,即 4 0B
32、2 4 OB2=（W）2,解得：OB=3,t a n a=2,设 C（-加，2 m）,n?0,.AD=6+mf*.*UnZA=A,2 CD 1AD 2 2-m-=1，6+m 2解得：/n=2,经检验，加=2 是原方程的解.点 C 坐标为：（-2,4）.故答案为：（-2,4）.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键.15.（2021秋平阳县期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点。处后进球.已知小明与篮框内的距离BC=5米，眼镜与底面的距离AB=1.7米，视线AO与水平线的夹角为 a,已知t
33、 a n/a=-则点D到底面的距离C D是 3.2 米.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用：运算能力；推理能力；应用意识.【分析】过 A 作 AELCO于 E,则四边形A8CE是矩形，得 AE=BC=5米，C E=A B=1.7米，解 RtZSAOE得到。E 的长度，再由C=CE+OE即可求解.【解答】解：如图，过 A 作 AE_LC于 E,则四边形ABCE是矩形，；.AE=BC=5 米，CE=AB=1.7 米，在 RtZ4）E 中，ZD A E=a,tana=-,AE 10.E=W-A；=3X5=1.5（米），10 10.,.C)=CE+Z)E=3.2 米
34、.故答案为：3.2.【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.三.解 答 题（共5小题）16.（2021攀枝花）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的 中华人民共和国海警法正式实施.中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措.如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点。处测得与斜坡AC坡脚点C的距离 为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96,以及该斜坡A C的坡度i=互，求该岛6礁 的 高（即点A到海平面的铅垂高度）.（结果保留整数）
35、（参考数据:sin30.96-0.51,cos30.96 七0.85,tan30.96 0.60）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.【分析】根据斜坡A C的坡度i=5,可设A 8=5 x米，BC=6x米，继而表示出8。的长6度，再由tan30.96 0.6 0,可得关于x的方程，解出即可得出答案.【解答】解：斜坡AC的坡度i=5,6BC=5-6,故可设A B=5 x米，B C=6 x米，在 RtZVIOB 中，Z 7）=30.96,B D=（140+6x）米，.tan30.96=-_=0.60,140+6x解得：x=60（米），经检验，x=6 0
36、 是方程的解，.*.5x=300（米），答：该岛礁的高AB为 300米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义，表示相关线段的长度.17.（2021秋浦东新区期中）如图，在 RtZVIBC中，/B 4C=90,延长斜边8 c 到点使 C =28C,联结4力，如果ta n B=2,求 ta n/。的值.2 3【考点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形.【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.【分析】过 点 C 作 CH_LAO,交 A D 于点、H,根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的三角函数解答即可.C.AB/C H,：./DC H/D
37、BA,C-Hz:-C-D，A B B D.C H _ C D =1*A B =2 C D+C D设 C H=k,；.A B=3 Z,：.AC=4 k,.,.t a n Z C A =H=-=A,A C 4 k 4.t a n/C A Q的值为工.4【点评】此题考查解直角三角形，关键是根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的三角函数解答.1 8.(2 0 2 1新野县三模)许昌市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成，如 图1.广场为迎宾广场一门”为“许昌之门”，“四蹦”为广场四角的汉阙，是许昌的标志性建筑.某数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度，图2为测量示意图，MN为服务中心
38、的对称轴，在地面的AB处架设测角仪，测得旅游服务中心的最高点。的仰角4 5 ,利用无人机在点B的正上方5 7.8米处的点C处测得点D的俯角为3 2 ,测角仪的高度AB=1.6 米，F H=1 7.2 米，O E=1 9.8 米.(1)求旅游服务中心的高度为多少米？(结果精确到0.1%参考数据：s i n 32 g0.5 30,c o s 32 弋0.8 4 8,t a n 32 t0.6 2 5,圾 七 1.4 1 4)(2)兴趣小组测量后到旅游服务中心参观，发现讲解员讲解的高度为3 6 8”,请用物理知识解释测量值与实际值出现差距的原因，如何避免或者减小差距？B F W 口图1图2【考点】轴
39、对称的性质；解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得B G的值，也就是MN的值；（2）根据物理知识中误差产生的原因和减少误差的方法可以解答本题.【解答】解：（1）作 G _ L A C 于点G,由题意可得，Z l=32 ,N 2=4 5 ,./C G=32 ,Z A D G=4 5 ,：.ZADG=ZDAG=4 5 ,：.GD=GA,设 C G=x 米，则 AG=BC-BA-C G=5 7.8-1.6-x=（5 6.2 -x）米，则 G D=（5 6.2-x）米,；t a n/C G
40、 D=竺，G D.*.t a n 32 0 =-,5 6.2 x解得产力1.6,：.B G=B C-GC 5 7.S-2 1.6=36.2 （米），:.M N=B G=3 6 2 米，答：旅游服务中心的高度约为36.2 米；（2）造成误差的主要原因有系统误差和随机误差，比如误读、误算、视差、刻度误差等,避免或者减小差距可以通过多次测量，求平均值.【点评】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题、轴对称的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键.1 9.（2 0 2 1 秋龙马潭区校级期中）2 0 2 1 年 9月 1 6 号，泸县发生地震，救援队及时达到现场参与救援，在救援中用热气球进行探
41、测.如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部 8的仰角为4 5 ,看这栋高楼底部C的俯角(N C 4。)为 6 0 ,热气球与高楼的水平距离A Z)为 5 0?，求这栋高楼的高度(结果保留根号).【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识.【分析】在Rt/ABD和Rt/XADC中分别求出B D和CD的长度，即可求解.【解答】解：在 R t Z 4 B 中，t a n/R 4 Z)=E D,A D：.BD=ADtan4 5 0=5 0 X 1=5 0 (i),在 R t z X A D C 中，t a n N C 4 D=%，A DA
42、C D=A)t a n 6 0 =50X=50我(m),:.B C=B D+C D=(5 0+50 V 3)m,答：这栋高楼的高度为(50+50 73)m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由锐角三角函数定义求出BD,CO的长是解题的关键.2 0.(2 0 2 1 巴音郭楞州模拟)如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是N C C 4=3 0 和/O C 8=53 ,如果斑马线的宽度AB=4 米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？(参考数据：s in53 c os 53 弋旦，t a n
43、53 、巧弋1.73,结果精确5 5 3到 0.1 米)【考点】解直角三角形的应用；视点、视角和盲区.【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.【分析】延长A 8,过C作C ELA 8于点E,在 直 角 与 直 角BEC中，利用三角函数，即可利用CE表示出A E于8 E,根据A 8=A E-8 E,即可得到关于C E的方程，从而求解.进而求得A E,则A E-A 8-1.8即可求解.【解答】解：延长A B,过C作CEJ_4B于点E,：.ZCAB=ZDCA=30 ,Z C B E=ZDCB=53 ,设 CE=m.则在直角ACE 中，tan/C4E=C,AE：.AE=-_.=-tan/CAE tan
44、300同理 B E=_5,tan530*：A B=A E-BE.：-5=4,tan300 tan530解得：,=4x t a n3 0 X t a n53 0 弋4。8(m),t a n53 0 -t a n3 0 0，*七7.0 6 Un),.,.JC=7.06-4-1.8=1.3 (w).【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程求解.考点卡片1.坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：到 X轴的距离与纵坐标有关，到)，轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时
45、，需要加上恰当的符号.2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律.3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.2.直角三角形斜边上的中线(1)性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边的中点)(2)定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.该定理可以用来判定直角三角形.3.勾股定理(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分
46、别是a,b,斜边长为C,那么“2+6 2=C2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾 股 定 理 公 式 的 变 形 有：a=iyc2 _b2,b=窄 及c=窄忑.(4)由于a1+b1=c1 a1,所 以c a,同 理c h,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.4.轴对称的性质(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质得到一下结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形
47、的对称轴.（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.5.锐角三角函数的定义在 R tZ A B C 中，Z C=90 .（1）正弦：我们把锐角A的对边。与斜边c的比叫做NA的正弦，记作si n A.即sinA-Z A的对边除以斜边=包.C（2）余弦：锐角A的邻边6 与斜边c 的比叫做/A的余弦，记作c o sA.即 c o sA =NA的邻边除以斜边=上.C（3）正切：锐角4 的对边a与邻边b的比叫做/A的正切，记作ta n/1.即 ta n A=ZA的对边除以NA的邻边=包.b（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.6.互余两角三角函数的关系在
48、直角三角形中，/A+N B=9 0 时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即 si n A=c o s（90 -NA）；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即 c o sA =si n （90 -NA）；也可以理解成若/A+N B=90 ,那么si n A=c o sB 或 si n B=c o sA.7.特殊角的三角函数值（1）特指3 0、45、60 角的各种三角函数值.si n 3 0=；c o s3 0 02=组 ta n 3 0 02=73-.,3si n 45COS452=2 2,；ta n 4502=1 ；si n 60=2；c o s60 2=工；t
49、a n 60 02（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.8.解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.（2）解直角三角形要用到的关系锐角、直角之间的关系：乙4+/8=90 ；三边之间的关系：/+/=0 2；边角之间的关系：NA的 对 边 _a c wt _ NA的 邻 边 _b t a _NA的 对 边 _a斜边 C（a,b,
50、c 分别是NA、N B、斜边 c NA的 邻 边 bNC的对边）9.解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.（2）解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）.根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.10.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度人和水平宽度/的比，又叫做坡比，它是一个