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1、 线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题包含的主要内容：线性二次型问题 状态调节器 输出调节器 跟踪器线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型问题状态方程为线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题性能指标的物理含义两个积分项相互制约，应折中处理线性二次型(LQ)最优控制问题加权矩阵的选取线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型的三种情形线性二次型(LQ)最优控制问题状态调节器有限时间状态调节器物理意义线性二次型(LQ)最优控制问题应用极小值原理求u(t)的表达式R
2、(t)正定，保证其逆阵的存在规范方程组：写成矩阵形式：其解为：线性二次型(LQ)最优控制问题横截条件给出了终端时刻二者的关系：为了与（6）建立联系，将（5）写成向终端转移形式：线性二次型(LQ)最优控制问题（9）-（8）*F 可得线性二次型(LQ)最优控制问题最优线性反馈控制求解P(t),但直接利用式（12）求解，涉及矩阵求逆，运算量大线性二次型(LQ)最优控制问题应用性质求解P（t）（13）对时间求导（15）与（16）相等，可得边界条件：线性二次型(LQ)最优控制问题最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分 方程组。（2）为非
3、线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值 解。线性二次型(LQ)最优控制问题（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值状态调节器的设计步骤线性二次型(LQ)最优控制问题例线性二次型(LQ)最优控制问题利用MATLAB求解线性二次型(LQ)最优控制问题利用MATLAB求解线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题性能指标中的参数的影响-r变化的影响线性二次型(LQ)最优控制问题性能指标中
4、的参数的影响-tf 变化的影响线性二次型(LQ)最优控制问题状态调节器无限时间状态调节器 设线性定常系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制，使系统的二次型性能指标取极小值。说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应线性二次型(LQ)最优控制问题最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值 可以证明：P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。线性二次型(LQ)最优控制问题例已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统
5、能控性线性二次型(LQ)最优控制问题展开整理得到三个代数方程 P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之线性二次型(LQ)最优控制问题利用矩阵P正定的性质用反证法证明 不是所求的根利用矩阵P正定的性质线性二次型(LQ)最优控制问题最优控制为：与给定条件 矛盾，故假设 不成立线性二次型(LQ)最优控制问题最优状态调节器系统结构图线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题输出调节器线性二次型(LQ)最优控制问题输出调节器-有限时间调节器设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制，使
6、下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出保持在零值附近。根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题 线性二次型(LQ)最优控制问题 将（2）代入（3）可以证明，如果系统完全可观测，则 是半正定的。若 是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：线性二次型(LQ)最优控制问题有限时间最优输出调节器系统结构图线性二次型(LQ)最优控制问题输出调节器-无限时间调节器设线性定常系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制，使下列二次型性能指标最小。与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：线性二次型(LQ)最优控制问题例已知二阶系统的状态方程为求使性能指
7、标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：验证系统能控性验证系统能观性系统完全能控 且完全能观线性二次型(LQ)最优控制问题展开整理得到三个代数方程 P满足下列黎卡提矩阵代数方程：故最优控制为：利用矩阵P正定的性质线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题A=0 1;0 0B=0;1C=1 0D=0sys=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题跟踪器线性二次型(LQ)最优控制问题设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）假设控制向量 不受约束，用 表示期望输出，则误差向量为 求最优
8、控制，使下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。线性时变系统的跟踪问题线性二次型(LQ)最优控制问题应用极小值原理求解u（t）的表达式规范方程组：因控制不受约束，故沿最优轨线有：线性二次型(LQ)最优控制问题写成矩阵形式：为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。横截条件给出了终端时刻二者的关系：其解为：线性二次型(LQ)最优控制问题将（10）代入（9），并化简整理，可得：应用系统特性求解 p(t)，g(t)线性二次型(LQ)最优控制问题（11）对时间求导（13）与（14）相等，可得线性二次型(LQ)最优控制问题边界条件：对所有 均成立
9、，推出：线性二次型(LQ)最优控制问题综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：q q 最优跟踪系统反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期输出无关。线性二次型(LQ)最优控制问题q 最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在 上。互为负的转置关系（伴随矩阵）线性二次型(LQ)最优控制问题q 由（21）可知，为了求得，必须在控制过程开始之前知道全部 的信息。与 有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输 出 的全部未来值。关键在于掌握 变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）
10、控制向量 不受约束，用 表示期望输出，则误差向量为 求最优控制，使下列二次型性能指标最小。线性定常系统的跟踪问题当 足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：线性二次型(LQ)最优控制问题例已知一阶系统的状态方程：求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)，g(t)为下列方程的解：线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型(LQ)最优控制问题仿真结果：给定阶跃输入线性二次型(LQ)最优控制问题仿真结果：给定正弦输入线性二次型(LQ)最优控制问题应用MATLAB 求解线性二次型最优控制问题 在MATLAB 工具箱中，提供了求解连续系统二次型最优控制的函数：lqr()、lqr
11、2()、lqry()。其调用格式为：所用算法不同。Lqr采用特征值分解，lqr2采用Schur分解算法，具有较高数值计算可靠性线性二次型(LQ)最优控制问题状态调节器利用MATLAB 求解状态调节器增加状态与控制交叉约束矩阵线性二次型(LQ)最优控制问题65 线性系统理论基础 龚道雄 线性二次型(LQ)最优控制问题n 应用MATLAB A=0,1;0,0;B=0;1;Q=eye(2,2);R=1;K,P,E=LQR(A,B,Q,R)K=1.0000 1.7321P=1.7321 1.0000 1.0000 1.7321E=-0.8660+0.5000i-0.8660-0.5000iK,P,E=
12、LQR(A,B,Q,R)最优控制律 U=Kx;代数Riccati 方程的解 P;eig(A-B*K)的特征值 E.离散系统线性二次型最优控制线性二次型(LQ)最优控制问题 假设完全可控离散系统的状态方程为：要寻求控制向量 使得二次型目标函数为最小。Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称常数矩阵线性二次型(LQ)最优控制问题n 从上面的推导可知,离散系统的定常调节器问题的最优控制u*(k)是状态变量 x(k)的线性反馈,其中 rn维矩阵K称为最优定常状态反馈增益矩阵。uK 只与G,H,Q 和R 有关,与系统的状态x(k)无关。u 因 此,由 最 优 状 态 反 馈 律 实 现 闭 环 控 制
13、时,可 事 先 离 线 计 算出K,然后可实现定常的最优状态反馈律。n 与解线性定常连续系统的定常状态调节器问题的黎卡提矩阵型代数方程相对应的,矩阵型代数方程称为离散形式的黎卡提矩阵型代数方程。u 可 以 证 明,若 线 性 定 常 离 散 系 统 是 状 态 能 镇 定 的,矩 阵 代 数方程的解P 至少为非负定的。线性二次型(LQ)最优控制问题应用MATLAB求解离散线性二次型问题线性二次型(LQ)最优控制问题线性二次型 控制实例二维空间中的独轮机器人的LQ控制：已知该机器人动力学模型：假 设 在 一 个 较 小 的 范 围 内 变 化，则可线性化为：即：线性二次型(LQ)最优控制问题二维
14、空间中的独轮机器人的LQ控制：设：可得：标准的状态空间形式的系统方程，其中的控制量 u(t)=Fx。同时考虑倾角 和位移 xLQR 的设计需要基于线性模型线性二次型(LQ)最优控制问题二维空间中的独轮机器人的LQ控制：二维空间中的独轮机器人LQ 控制系统结构：其中：控制量为 Fx(t)被控制量为(t)和 x(t)。可以理解为两个 PD 控制线性二次型(LQ)最优控制问题二维空间中的独轮机器人的LQ控制：定义线性二次型性能指标：其中设置：控制量加权系数：r=1显然，r 与Q 只有相对意义上的大小，故将其设置为 1。状态变量加权矩阵：简单起见，设置Q 为对角矩阵。平衡控制是主要矛盾，对(q33)和
15、d/dt(q44)加大权。线性二次型(LQ)最优控制问题求状态反馈增益矩阵K：（对 于 本 问 题，由 于 只 有 一 个 控 制 量，即 u(t)，K 为 向 量；又因为状态向量x(t)是4 维的，故K 是一个4 维向量。）将Q 和r，以及A 和b 带入Ricaati 方程求解Ricaati 方程获得对称正定矩阵P计算线性状态反馈增益向量K：线性二次型(LQ)最优控制问题二维空间中的独轮机器人的LQ控制：LQ 控制仿真试验：设定：q11=q22=5 q33=50 q44=10用Matlab求得K：位置漂移问题得到了很好地解决。超调较大，可能因q33和q44较小。线性二次型(LQ)最优控制问题二维空间中的独轮机器人的LQ控制：LQ 控制仿真试验：设定：q11=q22=5 q33=10000 q44=250用Matlab求得K：增大q33和q44，超调得到了抑制。