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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第五章第五章 线性系统二次型指标的最优控制线性系统二次型指标的最优控制 线性二次型问题线性二次型问题返回主目录经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用n5.1 引言引言n5.2 线性二次型问题的提法线性二次型问题的提法n5.3 终端时间有限时连续系统的状态调节器问题终端时间有限时连续系统的状态调节器问题n5.4 稳态时连续系统的状态调节器问题稳态时连续系统的状态调节器问题n5.
2、5 离散系统的线性二次型问题离散系统的线性二次型问题n5.6 伺服跟踪问题伺服跟踪问题n5.7 设计线性二次型最优控制的若干问题设计线性二次型最优控制的若干问题n5.8 小结小结经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.1 引言引言 用极小值原理解非线性系统的最优控制将导致用极小值原理解非线性系统的最优控制将导致非线性两点边值问题，这类问题求解是很困难的。非线性两点边值问题，这类问题求解是很困难的。即使系统是线性的，但当指标函数是最短时间、最即使系统是线性的，但当指标函数是最短时间、最少燃料这种形式，要
3、求得到最优控制的解析表达式，少燃料这种形式，要求得到最优控制的解析表达式，并构成反馈控制（即把并构成反馈控制（即把 表示为表示为 的函数）的函数）也是非常困难的。也是非常困难的。返回子目录返回子目录经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 的确定归结为求解一个非线性矩阵黎卡提（Riccati）微分方程或代数方程。而黎卡提方程的求解已研究得很透彻，有标准的计算机程序可应用，因此，求解既规范又方便。这种问题简称为线性二次型(Linear Quadratic 简称LQ)问题，目前应用得十分广泛，是现代控制理论最
4、重要的结果之一。下面我们将看到，若系统是线性的，指标函数是下面我们将看到，若系统是线性的，指标函数是二次型的（指标函数是二次型的（指标函数是 和和 的二次函数），的二次函数），则可以求得线性最优反馈控制律则可以求得线性最优反馈控制律 。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 线性二次型问题的实用意义还在于：例如，在飞行器的轨迹优化问题中，根据飞行器的状态方程（一般是非线性的）用极小值原理计算出名义的最优控制和最优状态轨迹，设分别 用 和 表示。把它所得到的最优反馈控制与非线性系统的开环把它所得到的最优反
5、馈控制与非线性系统的开环最优控制结合起来，可减小开环控制的误差，达到更最优控制结合起来，可减小开环控制的误差，达到更精确的控制的目的。精确的控制的目的。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 因为状态方程只能是对飞行器实际动力学特性的近似描绘，这里存在着模型误差，把 加到飞行器上去，所产生的实际状态 将不同于 （这里我们还未考虑作用在飞行器上的其它扰动作用）。（这里我们还未考虑作用在飞行器上的其它扰动作用）。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消
6、费者购买商品的价款或接受服务的费用 令状态误差为令状态误差为 ，我们要使我们要使 愈小愈好，为此，可根据愈小愈好，为此，可根据 构构成一个最优反馈控制成一个最优反馈控制 ，作为校正信号加到，作为校正信号加到 上去，得到的实际控制信号上去，得到的实际控制信号 将使飞行器尽可能沿着将使飞行器尽可能沿着 飞行。飞行。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 由于由于 、应该比较小，它们应该比较小，它们将满足线性的状态方程，所以可用线性二次型问将满足线性的状态方程，所以可用线性二次型问题设计出反馈控制题设计出反馈
7、控制 。我们可用图我们可用图5-1表示上面的思想。表示上面的思想。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用n 图图5-1 线性二次最优反馈控制的应用线性二次最优反馈控制的应用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.2 线性二次型问题的提法线性二次型问题的提法n一般情况的线性二次型问题可表示如下：其中，其中，为为 维状态向量，维状态向量，为为 维控制向量，维控制向量，为为 维输出向量。设维输出向量。设 不受约束。不
8、受约束。设线性时变系统的方程为设线性时变系统的方程为（5-15-1）（5-25-2）返回子目录返回子目录经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用其中，其中，为为 维理想输出向量。寻找最优控维理想输出向量。寻找最优控制，使下面的性能指标最小制，使下面的性能指标最小（5-4）令误差向量令误差向量 为为（5-35-3）其中，其中，是是 对称半正定常数阵，对称半正定常数阵，是是 对对称半正定阵称半正定阵,是是 对称正定阵。对称正定阵。一般将一般将 、取成对角阵。取成对角阵。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当
9、按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 下面对性能指标 中的每一项作一说明。因 为正定阵，则当 ，就有 。例如设 ，则 为正定阵，于是经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 它与消耗的控制能量成正比，消耗得越多，则性能指标值 越大。故性能指标中这一项表示了对消耗控制能量的惩罚。、可看作加权系数，如认为 的重要性大于 ，则可加大 。将 选成时间函数，是为了对不同时刻的 加权不一样。实际上，为了简单起见常选用常数阵 。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应
10、当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 为半正定阵，则当 ，就有 ，表示误差平方和积分，故这项表示对系统误差的惩罚。表示对终端误差的惩罚，当对终端误差要求较严时，可将这项加到性能指标中。总之，性能指标总之，性能指标 最小表示了要用不大最小表示了要用不大的控制量来保持较小的误差，以达到能量和误差的控制量来保持较小的误差，以达到能量和误差的综合最优。的综合最优。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 这时这时 （单位阵），（单位阵），理想输出理想输出 ，
11、则，则 ，这时，问题归结为用不大的控制量使，这时，问题归结为用不大的控制量使 保保持在零值附近。因而称为状态调节器问题。持在零值附近。因而称为状态调节器问题。n下面讨论几种特殊情况：1）调节器问题。例如电机转速调节系统中，由于外加电压波动例如电机转速调节系统中，由于外加电压波动使转速偏离要求值，通过施加控制使转速偏差趋于使转速偏离要求值，通过施加控制使转速偏差趋于零。零。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 这时 ，这时要用不大的控制量使 跟踪 ，因而称为跟踪问题。例如，用雷达跟踪飞行器的运动，通过控
12、制使跟踪误差趋于零。n2）伺服机问题。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.3 终端时间有限时连续系统的状终端时间有限时连续系统的状态调节器问题态调节器问题要求寻找最优控制要求寻找最优控制 ，使，使 最小。这里最小。这里 无约束。无约束。、为对称半正定阵，为对称半正定阵，为对称为对称正定阵。终端时间正定阵。终端时间 为有限值。为有限值。(5-5)(5-6)考虑下面的系统状态方程和性能指标返回子目录返回子目录经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为
13、消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.3.1 用极小值原理求解上面的问题用极小值原理求解上面的问题因因 无约束，故等同于用经典变分法求解。无约束，故等同于用经典变分法求解。取哈密顿函数为取哈密顿函数为协态方程为协态方程为最优解的必要条件如下：最优解的必要条件如下：（5-7）（5-8）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用因因 正定，故正定，故 存在，由上式可确定最存在，由上式可确定最优控制优控制 。为寻求最优反馈控制律还需把。为寻求最优反馈控制律还需把 与状态与状态 联系起来。联系起来。（5-9）控制
14、方程为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 我们再一次遇到了两点边值问题（已知我们再一次遇到了两点边值问题（已知 和和 ），如前所述，一般要试凑），如前所述，一般要试凑 再积分协态方程再积分协态方程使使 满足要求。满足要求。但这里处理的是线性微分方程，可找到更简单但这里处理的是线性微分方程，可找到更简单的解法。从的解法。从(5-10)可见，协态可见，协态 和状态和状态 在终端在终端 时刻成线性关系。时刻成线性关系。(5-10)横截条件为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其
15、受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 然后再来求出然后再来求出 （这种方法称为扫描法）。（这种方法称为扫描法）。将（将（5-11）代入（）代入（5-9），再代入（），再代入（5-5），得），得（5-11）(5-12)(5-13)由（由（5-11）和（）和（5-8）可得）可得这启发我们假定：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 上式对任意上式对任意 都应成立，故方括号内的项都应成立，故方括号内的项应为零，这就得出应为零，这就得出(5-14)将(5-12)代入(5-13)可得经
16、营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 上式是 的非线性矩阵微分方程，称为黎卡提（Riccati）矩阵微分方程。一般来说得不出 的解析表达式，但可用计算机程序算出 的数值解。为了求解 ，要知道它的边界条件。比较(5-11)和(5-10)可知 因此可从 到 逆时间积分黎卡提微分方程，求出 。由(5-9)和(5-11)就可构成最优反馈控制(5-15)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 又称为最优反馈增益矩阵。又称为
17、最优反馈增益矩阵。最优反馈系统的结构图如图最优反馈系统的结构图如图5-2所示。所示。(5-16)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 图5-2 最优反馈系统的结构图经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 注意到 与状态 无关，故可在系统未运行前，将 先计算出来（称为离线计算），把它存储在计算机中。在系统运行时，将在系统运行时，将 从计从计算机存储元件中取出，与同一时刻测量到的算机存储元件中取出，与同一时刻测量到
18、的 相乘，就可构成最优控制相乘，就可构成最优控制 。由此可见，系统运行时的计算量（称为在线计由此可见，系统运行时的计算量（称为在线计算量）只是一个乘法计算，故可用简单的微计算机算量）只是一个乘法计算，故可用简单的微计算机来完成。来完成。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.3.2 矩阵黎卡提微分方程的求解及的性质矩阵黎卡提微分方程的求解及的性质1、于是可用下面的差分方程来近似黎卡提微分方程于是可用下面的差分方程来近似黎卡提微分方程（5-17）矩阵黎卡提微分方程是非线性的，一般不能求得闭合形式的解。在
19、数字机上求解时，可用一阶差分代替微分经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2、求解上式时，以求解上式时，以 为初始条件，取为初始条件，取 为负的小量，从为负的小量，从 到到 逆时间递推计算，即逆时间递推计算，即可出可出 。是对称矩阵，即 ，表示转置。这可证明如下：因为 、都是对称的，将(5-14)式转置一下，可得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 因此 和 一样满足同一黎卡提方程，并且边界条件一样，即 。于是
20、，由微分方程解的唯一性可知 利用这个对称性，求利用这个对称性，求 维维 的元的元时，只需积分时，只需积分 个方程即可。个方程即可。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用n3、即使系统是定常的，即系统矩阵A，输入矩阵B为常数阵，加权阵 和 也是常数阵，但 仍为时变阵。这从这从 是黎卡提微分方程的解可看出。是黎卡提微分方程的解可看出。时变时，反馈控制增益也时变，在实现时总是不太时变时，反馈控制增益也时变，在实现时总是不太方便。方便。下一段将看到，对线性定常系统，若终端时间下一段将看到，对线性定常系统，若终端
21、时间 ，且系统满足一些附加条件时，且系统满足一些附加条件时，将变为常数阵将变为常数阵 。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例5-1 设系统状态方程为设系统状态方程为（5-18）（5-19）寻找最优控制寻找最优控制 使下面的性能指标使下面的性能指标为最小。为最小。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解考虑到考虑到 是对称阵，设是对称阵，设 为简单起见，上式右端省略了自变量为简单起见，上式右端省略了自变量 。
22、把上。把上面的面的 、和和 代入黎卡提方程代入黎卡提方程（5-14）式，可得）式，可得（5-20）（5-21）把状态方程（5-18）和（5-5）式相比较，把性能指标（5-19）和（5-6）式相比较，可得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 令上式等号左右端的对应元相等，得令上式等号左右端的对应元相等，得（5-23）（5-22）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 由由 到到 逆时间积分上面的非线性微分方逆时间
23、积分上面的非线性微分方程组，即可求得程组，即可求得 。于。于是最优控制为是最优控制为（5-24）得得（5-25）这是一组非线性微分方程。由边界条件经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 、和和 随随时间变化的曲线可求出，如图时间变化的曲线可求出，如图5-3(a)、(b)、(c)所所示。示。图图5-3 、和和 的时间曲线的时间曲线 由图5-3可见，定常系统的反馈系数 、都是时变的。当 比系统的过渡过程时间大很多时，、只在接近 时才有较大的变化，其它时间接近于常数。当 时，、和 都趋于零，则黎卡提微分方程变
24、为黎卡提代数方程经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解上面的方程组可得 、的稳态值于是最优控制律可表示为于是最优控制律可表示为（5-27）最优控制系统的结构图如图最优控制系统的结构图如图5-4所示。所示。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用图5-4 重积分系统最优控制的结构图经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.4
25、 稳态时连续系统的状态调节器问稳态时连续系统的状态调节器问题题 对于稳态问题，当系统状态方程和性能指标中对于稳态问题，当系统状态方程和性能指标中的加权阵满足一定条件时，可得出常数的最优反馈的加权阵满足一定条件时，可得出常数的最优反馈增益阵，这样在实现时非常方便，因此有很大的实增益阵，这样在实现时非常方便，因此有很大的实际意义。际意义。我们不加证明地列出下面的结果，然后再对我们不加证明地列出下面的结果，然后再对问题中的条件作一些说明。问题中的条件作一些说明。现在来研究工程实践中经常碰到的情况：系统是定常的，积分指标的上限为无穷大。这种线性二次型问题称为稳态问题。返回子目录返回子目录经营者提供商品
26、或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 为为 维，维，为为 维，系统是可控的或至少维，系统是可控的或至少是可稳的（可稳指不可控的状态是渐近稳定的）。是可稳的（可稳指不可控的状态是渐近稳定的）。性能指标为性能指标为（5-28）（5-29）线性定常系统经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 其中 不受约束，和 为常数对称正定阵。或者可将对 的要求改为对称半正定，可观测，或至少可检测（可检测指不可观测的状态是渐近稳定的），是 的矩阵
27、平方根：。上节我们已经证明了：使上节我们已经证明了：使 为为 极小的最极小的最优控制是存在和唯一的，且可表示为：优控制是存在和唯一的，且可表示为：（5-30）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 其中 为 维常数阵，称为反馈增益阵，为 维正定对称阵，满足下面的矩阵黎卡提代数方程 对照有限时间调节器的公式（对照有限时间调节器的公式（5-14）可见，令）可见，令 ，并将时变阵换成常数阵即得到（，并将时变阵换成常数阵即得到（5-31）式。在）式。在5.5中将针对离散型系统求取与（中将针对离散型系统求取与（5
28、-30）对应的线）对应的线性二次型状态调节器的控制规律。性二次型状态调节器的控制规律。（5-31）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 可以看到，与有限时间的调节器不同，稳态调节器问题附加了两个条件：系统可控或至少可稳；为对称正定阵，或 对称半正定并且 可观，至少可检测,。下面对这些条件作些解释。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 也就是受控系统的状态变量必须是渐近稳也就是受控系统的状态变量必须是渐近稳定的
29、（这时由定的（这时由 产生的反馈控制产生的反馈控制 也收也收敛到零）。敛到零）。因为稳态问题的性能指标积分上限为无穷，为因为稳态问题的性能指标积分上限为无穷，为了保证积分值为有限，了保证积分值为有限，和和 要收敛到零。要收敛到零。1）系统可控或至少可稳。这个要求是为了保证性能指标的积分为有限值（不趋于无穷）而提出的。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 如果系统可控，则通过状态反馈可任意配置闭环系统极点，使系统渐近稳定。可控的条件可减弱为可稳，即不可控的状态是渐进稳定的。对有限时间调节器来讲，因为积分
30、上限 为有限值，即使系统不可控，状态变量不稳定，但积分指标仍可为有限值，故仍旧有最优解。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 2）为正定或 为半正定并且 可观测至少可检测，。这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的，这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的，因性能指标因性能指标 取有限值，还不能保证系统稳定。取有限值，还不能保证系统稳定。例如只要不稳定的状态变量在性能指标中不出例如只要不稳定的状态变量在性能指标中不出现（未被指标函数所现（未被指标函数所“观测观测”到）即可。到）即可。为半正为半正定时就可能
31、出现这种情况，所以定时就可能出现这种情况，所以 必须正定。或必须正定。或者半正定，但还有者半正定，但还有 可观，至少可检。下面可观，至少可检。下面用例子来说明。用例子来说明。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例5-2 已知系统方程已知系统方程 要寻找最优控制使要寻找最优控制使 最小。最小。（5-32）性能指标是性能指标是（5-33）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 解 设 ，即未控系统是不稳的，但系统
32、是可控的。若 ，即 、为正定。黎卡提代数方程（5-31）化为（5-34）（5-35）取正定解取正定解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由（5-30）求得最优控制代入状态方程（5-32），得闭环特征根变为即最优反馈系统是稳定的。（5-37）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 从 的形式立即可判断出 时 最小。这时无反馈控制作用，系统保持为开环不稳定。从黎卡提方程来看，这时有 有两个解：和 。只有 可使 ，从
33、而性能指标为最小，但这时系统不稳定。若 （相当于为半正定），则指标蜕化为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例5-3 考虑下面的不可控系统要求出最优控制使 为最小。（5-38）（5-39）（5-40）性能指标为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解 显然，这个系统的 是可控的，而 不可控，性能指标中只包含了可控的状态变量 。由状态方程和性能指标求得显然 为半正定阵。可控性阵为（5-41）（5-42）经营者提供
34、商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由 对构成的可观性阵为 是非奇异阵，故 为可观测对。令是奇异的，系统不可控。将 阵作下面的分解（5-43）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用为保证 正定，根据塞尔维斯特判据，的各阶主子式应大于零，即代入矩阵黎卡提代数方程（5-31）可得由上式可解得（5-44）（5-45）（5-46）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者
35、购买商品的价款或接受服务的费用 将求得的 、的值代入上面正定性条件，可得 若 ，则上式将导致 ，发生矛盾若 ，则 可成立，可正定。而由(5-39)，时，不可控的状态 是稳定的，即系统满足可稳的要求，于是存在正定的最优反馈增益阵 。（5-47）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用最优控制可计算如下（5-48）（5-49）最优闭环系统为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 当 时，闭环系统也是稳定的闭环系统矩阵为
36、它的特征根为（5-50）（5-51）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.5 离散系统的线性二次型问题离散系统的线性二次型问题 先考虑一般的线性时变离散系统在终端时间有限时的状态调节器问题，再考虑线性定常离散系统在终端时间无限时的稳态状态调节器的问题返回子目录返回子目录经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.5.1 终端时间有限的状态调节器问题终端时间有限的状态调节器问题设系统状态方程为二次型性能指标为（5
37、-53）（5-52）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 、为半正定阵，为正定阵。要求寻找最优控制序列 ，使 最小。写出哈密顿函数协态方程（5-54）（5-55）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用横截条件为控制方程为假设（5-56）（5-57）（5-58）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 把上式代入（5-59）
38、并消去等式两端的 ，可得 必须满足下面的黎卡提矩阵差分方程把（5-58）代入协态方程（5-55）得由状态方程（5-52）和控制方程（5-57）可得 所以（5-59）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对上式方括号部分应用矩阵求逆引理。令可得矩阵黎卡提差分方程的另一形式（5-61）（5-60）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用从 开始反向递推计算（5-60）即可决定 。求出 后，下面来决定 。由（5-55）得
39、黎卡提方程的终端条件为因而由（5-57）得（5-62）（5-63）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 式（5-63）可化为另一形式，将（5-60）代入（5-63）并利用(5-61)得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 取 可得对上式花括号内引用前面的矩阵求逆引理 是最优反馈增益阵。（5-64）（5-65）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购
40、买商品的价款或接受服务的费用n例5-4 设系统状态方程为 n解要求寻找最优序列 、，使 最小。从给定的系统方程可见，系统矩阵 ，输入矩阵 。给定 （5-66）性能指标为（5-67）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 从给定的性能指标可知加权阵 ，。黎卡提方程（5-60）可写成 终端值 。由 反向计算，求出 、。（5-68）（5-69）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用再利用（5-63）式计算 ，1。再计算
41、（5-70）（5-71）（5-72）（5-73）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.5.2 稳态状态调节器问题稳态状态调节器问题 为 维状态向量，为 维输入向量。性能指标为设系统的状态方程为（5-74）（5-75）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 假设（）可控或可稳，为对称正定的常数阵，为对称正定的常数阵，或 为对称半正定常数阵，但 可观测或可检测，。要求寻找最优控制使 最小。可以证明，对于上面的问题
42、，最优控制是存在和唯一的，它可以表示为（5-76）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 L为mn维的常数反馈增益阵,参考（5-65），将时变阵换成常数阵，L可表示为 其中K为nn常数阵,是下面的矩阵黎卡提代数方程的唯一的对称正定解。在（5-61）的矩阵黎卡提差分方程中，将时变阵换为常数阵，即可得出矩阵黎卡提代数方程为（5-77）（5-78）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 例5-5 系统的状态方程为 它是
43、渐近稳定的，即 的特征值的模小于1。最优反馈控制系统为下面用例子来说明上述结果的应用。性能指标为（5-80）（5-79）（5-81）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用n解 ，（5-82）因 非奇异，故系统可控。当 为半正定，故有下面的分解寻找最优控制使 最小。由状态方程（5-80）和性能指标（5-81）可求得下面的矩阵经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的
44、要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 （5-83）非奇异，故 对可观测。于是满足稳态状态调节器问题的条件。由（5-78）令 ,黎卡提方程可写成经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由上式可解得由（5-76）、（5-77）可得（5-84）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用最优反馈增益阵闭环系统的系统矩阵为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其
45、受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用闭环特征根为 。显然，根的模都小于1，闭环系统稳定。由状态方程（5-80）可见，开环系统的根为 ，系统不是渐近稳定的。当 ，于是 ，闭环系统不是渐近稳定的，这是由于 不满足可观性条件，即（5-83）式为奇异阵，这时稳态状态调节器的最优控制解是不存在的。此外，当 ，则有 。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用5.6 伺服跟踪问题伺服跟踪问题其中，为 维，为 维，为 维。设理想输出为 ，跟踪误差 为设系统的状态方程和输出方程为（5-85）（5
46、-86）（5-87）返回子目录返回子目录经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用寻找控制 （不受约束）使下列性能指标最小其中 为正定阵，、为半正定阵，给定。跟踪问题的哈密顿函数为（5-88）（5-89）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用因U无约束，由控制方程由协态方程得出（5-91）可得（5-90）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款
47、或接受服务的费用 由上式可见 中有一项与 成线性关系，另一项与理想输出 成线性关系。根据扫描法的思想，令由横截条件得（5-92）（5-93）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 其中矩阵 和向量时间函数 待定。将（5-93）式对t微分，得 设法从上式中消去 ，为此把（5-90）和（5-93）代入状态方程（5-85），可求出将（5-95）代入（5-94），即得（5-94）（5-95）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服
48、务的费用（5-96）另外，（5-93）代入（5-91）可得（5-97）（5-96）减去（5-97）可得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用上式对任意的 、均应成立，于是可得（5-98）（5-99）（5-100）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 上面的微分方程组的边界条件可推导如下：由（5-93）得而由（5-92）得比较上面两式，可得（5-101）（5-102）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消
49、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用由上面的 时的边界条件出发，逆时间积分（5-99）和（5-100）即可求出 、。于是，最优控制可根据（5-90）和（5-93）求得为 中一项与状态 成正比（同状态调节问题），另一项与时间函数 成正比，而 是与理想输 出 有关的，故它表示了跟踪 的驱动作用。（5-103）经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 值得指出的是：为了求出当时时刻的 ，需要知道全部未来时刻的 ，。这是因为积分（5-100）求 是从 逆时间进行的。
50、于是在实现最优控制时，必须预先知道 在 中的变化规律。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 在某些情况下能做到这点，如跟踪卫星时，卫星的运动可事先计算出来。但大部分情况下 的将来值是未知的，如导弹攻击敌机，敌机的运动规律不知道。这时可有两种处理方法：一种是根据 对 的测量，预报它的将来值，另一种是将 看成随机的。用后一种处理方法时，当然只能得到统计平均意义下的最优。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例5-6