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1、线性代数二次型(课件)第一节第一节 基本概念基本概念定义定义一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵称称为为一个一个(n元元)二次型二次型.本书本书只只讨论讨论实二次型实二次型，即系数全是，即系数全是实实数的二次型。数的二次型。2于是于是上述二次型上述二次型可以写成可以写成如下求和如下求和形式形式 34记记则则上述上述二次型可以用矩二次型可以用矩阵阵形式表示形式表示为为 A称称为为二次型二次型 的矩的矩阵阵。5A的秩称的秩称为为该二次型的秩该二次型的秩。A称称为为二次型二次型 的矩的矩阵阵。A是一个是一个实实对对称矩称矩阵阵。事事实实上，由一个上，由一个实对实对称矩称矩阵阵也可构造唯一的也可构造唯
2、一的实实二次型，也就是二次型，也就是说说，实实二次型与二次型与实对实对称矩称矩阵阵是互相是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性唯一确定的，所以，研究二次型的性质质可以可以转转化化为为研究研究A所具有的性所具有的性质质。6例例1 1设设二次型二次型 求二次型的矩阵求二次型的矩阵A和二次型的秩。和二次型的秩。解解所以所以r(A)=3，即二次型的秩等于即二次型的秩等于3。7例例2 2求求二次型二次型 的矩阵的矩阵A和二次型的秩，和二次型的秩，解解所以二次型所以二次型 f 的矩阵为的矩阵为8二、线性变换二、线性变换在平面解析几何中，在平面解析几何中，为为了确定二次方程了确定二次方程 所表示的曲所表示的
3、曲线线的性的性态态，通常利用，通常利用转轴转轴公式：公式：9定义定义关系式关系式 记记则上述线性变换可以写成矩阵形式：则上述线性变换可以写成矩阵形式：10C 称称为为该该线线性性变换变换的的矩阵矩阵。如果如果C 为正交矩阵，为正交矩阵，则则此线性变换此线性变换称称为为正交变换正交变换。容易验证，转轴公式容易验证，转轴公式是一个正交变换。是一个正交变换。11三、矩阵的合同关系三、矩阵的合同关系 由于由于C是可逆矩是可逆矩阵阵，所以，所以A和和B秩相等秩相等,从而两个从而两个二次型的秩相等。二次型的秩相等。12定义定义 与矩与矩阵阵的相似关系的相似关系类类似，矩似，矩阵阵之之间间的合同关系的合同关系也也具有以下性质具有以下性质。(1)(1)反身性：反身性：(2)(2)对称性：对称性：(3)(3)传递性：传递性：A AA BB AA BB CA C证明证明 只证只证(3)(3)，其余留作练习。，其余留作练习。13练习：练习：P222 习题五习题五14END15此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢