数学与人的发展(二).pptx

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1、 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023数学与人的发展（二）重庆三峡学院 查 中 伟 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023 一门学科实现公理化的标志：一是它有一套基本术语，或原始概念；二是它有一组基本命题，或原始命题，或公理；三是其余的概念全由原始概念出发予以定义，其余的命题全由公理出发予以推理论证。起源于数学的公理化方法已经产生广泛影响，这种影响已经越出数学范围而进入其他自然科学领域，已经越出自然科学而进人人文科学领域。数学的公理思想使数学作为文化具有更实际的意义。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Z

2、ha zhong wei 28 五月 2023 数学的公理思想产生广泛影响经历了一个过程，数学自身的公理化程度和水平也经历了不同的发展阶段。牛顿力学建立了公理系统，即他的三大定律，这具有实质公理化特征。对普通学生，从中学到大学本科，实质公理化方法就已足够的了，也是必要的。公理化不仅使数学本身的内在统一性、和谐性得到充分的揭示，而且有利于人们更清晰地从微观到宏观看世界；公理化也不仅是使人更易认识世界，而且为数学发现与创造提供必要的启示和工具；同时还对人自身逻辑思维的发展起极为积极的推动作用；公理方法在一定范围内也使思维经济有效。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong

3、wei 28 五月 2023 算术公理，它由以下五条组成：11属于非空集(1只是一个符号)；2 的每个元素 有后继数；31不是任何元素的后继数；4若，则(即两元素之后继数相等时，两元素自身也相等)；5设，若1属于，又若当 属于 时，亦必属于，则。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023 什么是“物质”？“物质是独立于人的意识之外的客观存在。”如果这是关于物质的定义，从逻辑上说，它使用了意识、客观、存在等概念，那么这些概念就应当是已知的。然而，什么叫“存在”呢?存在是“不依赖人的意志为转移的客观世界，即物质。”这里又用“物质”的概念定义了“

4、存在”，而前面是用“存在”定义了“物质”的。在黑格尔那里，“存在”是基本概念，是不必再加定义的，因而也就避免了起码应避免的逻辑缺陷。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023“等腰三角形两底角相等”为例看看是如何运用的。在三角形 中，若，那么。下面是证明：作，交 于。因为凡直角皆相等(大前提)，又 和 皆为直角(小前提)，所以(结论)；一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023 因为有两边对应相等的两直角三角形必全等(大前提)，又在 和 中，(小前提)，所以(结论)；因为凡全等三角形的对

5、应角相等(大前提)，又(小前提)，所以 即(结论)。三段论中含3个项，大项、中项、小项，中项起中间作用，在结论中不出现。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023 例子：“凡羊有两只角，是一只羊，有两只角”，这里，“羊”是中项，“两只角”(的动物)是大项，是小项。看一个哲学中的三段论：世界是物质的，意识是世界的一部分，所以，意识是物质的。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023 大前提应修改为“世界的本源是物质的”。下面按修改后的大前提再作一三段推论：世界的本源是物质的 意识是世界的一

6、部分 所以，意识的本源是物质的。物质与意识是有密切联系的，却不能看成是一回事，也不能把一者看成是包含另一者的。太阳与地球紧密联系着，但太阳是太阳，地球是地球。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023 唯物论认为物质是第一性的，意识是第二性的，这就是说，意识的本源是物质的。但决不认为意识本身就是物质的或者意识是物质的一部分。否则，并不是正确的认识了物质与意识的关系，而是混淆了两者的关系。辩证唯物主义还认为，在一定条件下，物质可以变精神，精神可以变物质。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2

7、023 数学的事实还证明，数学是要求严格遵守形式逻辑的，这一点不仅不妨碍辩证思维的发展，而且还为把握辩证逻辑提供了必需的基础。当我们说到公理的作用的时候，并不是说人文学科、社会学科都应当建立在公理的基础上，甚至它们能不能做到这一点我们也还不知道。但是，至少，公理的方法也是能给我们在人文科学、社会科学中进行推理的时候亦须注意或借鉴的基本事项。一、公理方法的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023 1.归纳，类比 不完全归纳是发现的开始，是创造的开始，是十分珍贵的思维形式之一。另一方面的事实是，儿童从小就有归纳的经历，12岁的小孩的语言符号就在迅速增加，第

8、二信号系统在迅速扩张。其所以能这样，原因之一就是他们首先是接触归纳，并且能接受归纳。小孩子数(sh)数(sh)，开始学个位数困难一点，然后学十几、二十几，也困难一点，再往后学三十几、四十几、的两位数就不是很困难了，到了小学高年级，很大很大的数也能数(sh)。这也是归纳能力的表现。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023 可能有3个问题：一是不太清楚儿童是有归纳能力(不完全归纳)；二是不太清楚不完全归纳的珍贵；三是不太清楚在加强收敛性训练、演绎训练的同时，不仅不应磨损了儿童的归纳品质，而且还继续关注他们在这方面的发展。二、数学直觉的作用 上

9、一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 怎么算?只要舍得花时间，一个个加就是了；如果要加到9 999，时间上也花不起了。高斯小时候就有一个办法，两头相加，1+99=100，2+98=100，这样，首尾共有49对，还有中间一个50不与什么数搭对了，于是结果马上出来了：49100+50=4 950，二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 与高斯同样的思想，任何等差级数的求和都容易了，特别是正整数列求和：。平方数求和呢?通常见到的是，一下子公式就给出来了：随后便要求用数学归纳法证明。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong

10、wei，这似乎还看不出什么来。我们还作些观察，并列出一个表来看，为了方便，我们使用两个记号：，二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei我们看到了第8项，似已(由不完全归纳)看出，这样，似可得到二、数学直觉的作用1 2 3 4 5 6 7 81 3 6 10 15 21 28 361 5 14 30 55 91 140 2041 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 数学归纳法其所以是必要的，是因为它的逻辑严谨，是进一步的可靠性保证，它的证明所包含的两个步骤是必不可少的，还要强调的是：少了一步都有危险。完全归纳与不完全归纳相互联系，相互依赖，各

11、有优点又各有缺陷。不完全归纳的优点是发现，开拓，思维形式多样、活泼。缺陷则在它的严谨性、可靠性上尚有疑问。两者皆可贵，两者联合起来更珍贵。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 类比是不能登上论证推理的大雅之堂的，可是，类比是非常重要的发现式思维，非常重要的创造性思维。它和不完全归纳一样，虽不属于论证推理，但它们都属于似真推理，它们不最后确证真理，却是逼近真理的必要途径之一。(不完全)归纳由个别(或特殊)去发现一般(或普遍)，类比则是由此去发现彼或由彼去发现此。归纳是发现同类事物之间的联系，类比是发现不同类别之间的联系。归纳和类比都是想象的具体形式。二、数学

12、直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei是一个发散级数(其和不存在，或为无穷大)，但是的情况则不同。又恰是上面那个发散级数给人以启示，人们得到结论：当 时 发散，而当时 它是收敛的。特别，当 时，即级数是收敛的。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 欧拉不愧为伟大的数学大师，当然也可称他是一位善于归纳、类比的大师，他还是一位善于创造性地运用符号的大师(使用最经济有效的符号表达)。就在前一个求和的基础上，他还探讨了以下级数的和：这个和是。而且他还猜测(是某个正整数)。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong

13、 wei2.直觉 虽然我们可以把直觉明确叙说为直接的觉察，但似乎也不能给人以明晰的感觉：直觉究竟是什么？然而，我们可在进一步的具体讨论中去把握。直觉是指对事物直接的觉察、领悟甚至是印象。“这个人看来不是个好人。”为什么？“凭我的直觉。”说不出很明确的理由来。日常生活中的这种直觉多的是。数学直觉则是指对数学对象或问题(性质、关系或结构)的直接领悟或觉察。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 1617年，笛卡儿还在军营里服役，但服役期间就经常思考数学问题，并解决过一些问题。1619年11月10日，他带着一系列思索入睡了，一连作了几个梦，这天晚上他感到自己“发现

14、了一种不可思议的科学的基础”，笛卡儿后来说：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理”。笛卡儿1619年的这一直觉发现，于1637年出版更好地指导推理和寻求科学真理的方法论一书，时隔18年，直觉作了先导。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 1880年，庞加莱在寻求单复变自守函数的变换方法时，进行了长时间的工作，但毫无所获，有一天，他决定暂时把工作搁下来，去乡下旅行，然而当他刚登上车时，一个新颖的思想突然闪现，问题的答案可能就是那个非欧几何变换。伯克利数学研究所所长开普兰斯基在谈到自己的体验时说：“当一个难题纠缠你时，你会在长时间内一无进展。有时某些东西数

15、月甚至数年被你忽视，而后你突然间有了意想不到的发现，可你却不知道它是从什么地方冒出来的。”二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 3.直觉的特性 心理学上，把直觉分为三个层次：直觉判断，猜测，洞察；从直觉的不同特点看，直觉又分为辨识直觉、关联直觉、审美直觉；从对直觉形成的不同理解上看，又可分为综合型的、类推型的和选择型的。这里，我们所要讨论的是直觉的一些共同特点。(1)非逻辑性(2)偶然性，自发性(3)易逝性(4)情感性 二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 这些特点对增强自己直觉能力有许多实际的、具体的启示：a当你百思

16、不得其解时，有意无意地搁置一下，去做做别的事情，这种转换期间获得灵感的可能性是存在的。b当你持久的思索仍找不到答案的时候，暂时忘却它，可能还会增加产生其他联想的机会，不仅在不同的工作之间而且在工作与休闲之间转换。c有意思地进行各种形式的学术交流是十分必要的，阅读同一学科的不同观点的论文，甚至阅读一点不同学科的论文或著作，尤其要有面对面的学术交流或思想碰撞。d与人合作是重要的，学术自由是重要的。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei e别忘了一些特殊的时辰有特殊的作用，别忘了一些特殊的地点和场合也有特殊的效果。f直觉出现的突然性、易逝性直接提醒我们，偶然进发出

17、来的思想火花应及时记载下来。g被记下的思想还需要进一步去琢磨它，因为直觉的可靠性还需要再检验。h直觉出现的非逻辑性、随机性、易逝性等等，都不表明偶然性在支配一切。勤于思索是最重要的基础，没有这一必要基础，一切机遇都会丧失。二、数学直觉的作用 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 在人类文明中，有物质文明和精神文明两翼；在人类知识宝库中，有科学技术和人文、社会两翼；在人类创造之中，有直觉与逻辑的两翼；很巧，人的大脑也有两翼：左半脑和右半脑这构成了奇特的人类现象。1.直觉与逻辑的互补 一个人的逻辑能力和直觉能力都是必要的，但很难说清什么比例是最佳的，由于两种能力的性质不同，更难以

18、用定量的方式刻画这种比例。一个具有创造力的人，决不能只有其一而缺另一。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 当创造(包括学习中的创造)过程中直觉出现以后，随之而来的一般是逻辑的加工和整理。科学工作的最终产品不是直觉，它必须有明确的结论和相应的理论系统。相比于逻辑，直觉有时更困难，直觉更需要人的想象力、创造力。然而，对直觉成果的逻辑加工也不是一件简单的事。甚至有这样的例子，从直觉的意义上人们无法接受的东西，逻辑上却证明了它的存在，人们还是不能不接受它，即使不情愿，即使你厌恶它。这是逻辑与直觉的互补作用。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhon

19、g wei2.左右脑问题 左脑主要是语言的，分析的，数理的，以及逻辑推理的功能，其运行犹如串行的、继时的信息处理，是因果式的思考方式，循序渐进，以线性方式处理信息。左脑是“语言中枢”，负责理解文字、语言、数字计算，将复杂的问题或事物细分成单个的要素，有条理地展开思维，具有确定性、收敛性的特点，并负责解决可行性问题。这是左脑的特点，也是优点，却同时也预示了左脑的缺点。左脑能处理抽象领域里的问题，却无法处理形象领域里的问题；左脑在逻辑领域里畅行，却难以处理非逻辑领域的问题；左脑在语言文字、符号数字所及的范围大显神通，却不能处理尚未能用符号、语言表达而只能依赖直觉的问题。三、左右脑开发 上一内容 下

20、一内容 回主目录Zha zhong wei 右脑具有形象性、非逻辑性，它有“纵观全局”的本领，它的触角可以伸展到意想不到的角落，它能处理尚未用语言符号正式表达的问题。右脑抗干扰，能在任何状态中(甚至在睡眠状态下)不停地工作。顿悟、灵感常常在无意识状态下产生，这正是右脑的作用。所以，右脑是灵感、直觉、想象等创造性思想火花闪现的地方，是顿悟的发源地。如果不重视(不完全)归纳、类比、联想及一般的直觉训练，不重视非形式化内容或不重视对数学思想实质的介绍，右脑的训练也就很微弱，右脑的许多优点就难以发扬，右脑的开发就会碰到极大的困难。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei

21、左右脑都有突出的优点，同时又都有各自的局限，因此，左右脑的同时开发是重要的，左右脑的相互配合是更重要的。左右脑的同时开发是人的全面发展的重要内容。因此，同时注意逻辑训练和直觉训练的教育是关系人的全面发展的大事情，是关系培养创造性人才的大事情。右脑有很多特点，但右脑需要左脑的刺激，需要左脑确定任务，并由左脑提供给右脑以能量和愉快心境的必要条件，以及对右脑形成的初看起来并无依据的“原材料”进行逻辑加工，进行分析、整理。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 左脑有很多特点，但左脑需要右脑提供材料，甚至在抽象时也需要右脑配合，例如在强抽象(内涵增加，外延缩小)和完全理

22、想化的抽象(如物理学中的质点概念，几何学中的点线面概念)中，需要右脑的综合、想象来加以辅助。左脑犹如一位专门家，右脑则犹如一位万能博士；左脑好比一个善于分析的战术指挥官，右脑则是一位能“纵观全局”的战略家；左脑宛如一盘盘录像带，看到的情景，闻到的气味，听到的音频，被收录下来，像一座巨型仓库，为了便于提取、组合，右脑就给录像带进行分类、编排并贴上标签。左右脑是能彼此配合的。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 3.关注右脑开发 许多重大的成就可说是人脑胼胝体的伟大功绩；反过来，人脑胼胝体作用的充分发挥，左右脑的充分配合，便是取得重大数学成就的保证。(1)右脑开发

23、的潜力还很大 右脑的记忆容量大约是左脑的100万倍，而且，右脑(区别于左脑)的识别能力是惊人的。学前儿童更多的是右脑思维，入学后左脑思维训练逐渐增加，尤其是数学学习，大多偏于左脑训练，这使得右脑的充分开发遇到了本不应遇到的危险。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei(2)右脑开发的意义也特别大 脑科学证明了右脑的特殊功能，心理学家证明了发散思维的存在与特殊作用，众多的科学家自述了自己的直觉思维在自己成功道路上的特殊影响，所有这些可说是“异曲同工”地说明了右脑开发的重大意义。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei(3)电脑替代右脑的

24、能力更差 电脑发展至今，已能替代人的相当一部分劳动，主要表现在：a进行人力所难以想象的大量计算；b进行逻辑论证；c进行记忆性储存；d通过人机对话帮助理解；e部分的识别能力。除了第五种外，其他基本上是替代左脑劳动的，而第五种尚属相对薄弱的。综合判断、形象思维、奇思妙想等创造特色极强的工作、直觉的活动等这些右脑的功能是电脑目前尚无法替代的。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei(4)开发右脑的实际办法也不多 目前，我国教育改革就包含了教学改革，教学改革的要义之一便是教学内容的改革，这一改革应从历史学、从心理学、从脑科学那里获得启示。数学讲究严谨，这是应当的。但是，并非只有严谨的一面，讲述数学是如何从不严谨到严谨的过程比仅讲严谨要好得多，也重要得多。三、左右脑开发 上一内容 下一内容 回主目录Zha zhong wei 28 五月 2023