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1、22 三月 2023数学与人的发展（二）数学与人的发展（二）重庆三峡学院 查查 中中 伟伟22 三月 2023 一门学科实现公理化的标志：一是它有一套基一门学科实现公理化的标志：一是它有一套基本术语，或原始概念；二是它有一组基本命题，或本术语，或原始概念；二是它有一组基本命题，或原始命题，或公理；三是其余的概念全由原始概念原始命题，或公理；三是其余的概念全由原始概念出发予以定义，其余的命题全由公理出发予以推理出发予以定义，其余的命题全由公理出发予以推理论证。论证。起源于数学的公理化方法已经产生广泛影响，起源于数学的公理化方法已经产生广泛影响，这种影响已经越出数学范围而进入其他自然科学领这种影响
2、已经越出数学范围而进入其他自然科学领域，已经越出自然科学而进人人文科学领域。数学域，已经越出自然科学而进人人文科学领域。数学的公理思想使数学作为文化具有更实际的意义。的公理思想使数学作为文化具有更实际的意义。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 数学的公理思想产生广泛影响经历了一个过程，数学自身数学的公理思想产生广泛影响经历了一个过程，数学自身的公理化程度和水平也经历了不同的发展阶段。的公理化程度和水平也经历了不同的发展阶段。牛顿力学建立了公理系统，即他的三大定律，这具有实质牛顿力学建立了公理系统，即他的三大定律，这具有实质公理化特征。公理化特征。对普通学生，从中学到大学本
3、科，实质公理化方法就已足对普通学生，从中学到大学本科，实质公理化方法就已足够的了，也是必要的。够的了，也是必要的。公理化不仅使数学本身的内在统一性、和谐性得到充分的公理化不仅使数学本身的内在统一性、和谐性得到充分的揭示，而且有利于人们更清晰地从微观到宏观看世界；公理化揭示，而且有利于人们更清晰地从微观到宏观看世界；公理化也不仅是使人更易认识世界，而且为数学发现与创造提供必要也不仅是使人更易认识世界，而且为数学发现与创造提供必要的启示和工具；同时还对人自身逻辑思维的发展起极为积极的的启示和工具；同时还对人自身逻辑思维的发展起极为积极的推动作用；公理方法在一定范围内也使思维经济有效。推动作用；公理
4、方法在一定范围内也使思维经济有效。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 算术公理，它由以下五条组成：算术公理，它由以下五条组成：11属于非空集属于非空集 (1只是一个符号只是一个符号)；2 的每个元素的每个元素 有后继数有后继数 ；31不是任何元素的后继数；不是任何元素的后继数；4若若 ，则，则 (即两元素之后继数相等时，即两元素之后继数相等时，两元素自身也相等两元素自身也相等)；5设设 ，若，若1属于属于 ，又若当，又若当 属于属于 时，时，亦必属于亦必属于 ，则，则 。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 什么是什么是“物质物质”？“物质是独立于人的
5、意识之物质是独立于人的意识之外的客观存在。外的客观存在。”如果这是关于物质的定义，从如果这是关于物质的定义，从逻辑上说，它使用了意识、客观、存在等概念，逻辑上说，它使用了意识、客观、存在等概念，那么这些概念就应当是已知的。然而，什么叫那么这些概念就应当是已知的。然而，什么叫“存在存在”呢呢?存在是存在是“不依赖人的意志为转移的客观不依赖人的意志为转移的客观世界，即物质。世界，即物质。”这里又用这里又用“物质物质”的概念定义的概念定义了了“存在存在”，而前面是用，而前面是用“存在存在”定义了定义了“物质物质”的。在黑格尔那里，的。在黑格尔那里，“存在存在”是基本概念，是是基本概念，是不必再加定义
6、的，因而也就避免了起码应避免的不必再加定义的，因而也就避免了起码应避免的逻辑缺陷。逻辑缺陷。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 “等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等”为例看看是如何运为例看看是如何运用的。用的。在三角形在三角形 中，若中，若 ，那么，那么 。下面是证明：下面是证明：作作 ，交交 于于 。因为凡直角皆相等因为凡直角皆相等(大前提大前提)，又又 和和 皆为直角皆为直角(小前提小前提)，所以所以 (结论结论)；一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 因为有两边对应相等的两直角三角形必全等因为有两边对应相等的两直角三角形必全等(大前大前提提
7、)，又在又在 和和 中，中，(小前提小前提)，所以所以 (结论结论)；因为凡全等三角形的对应角相等因为凡全等三角形的对应角相等(大前提大前提)，又又 (小前提小前提)，所以所以 即即 (结论结论)。三段论中含三段论中含3个项，大项、中项、小项，中项起个项，大项、中项、小项，中项起中间作用，在结论中不出现。中间作用，在结论中不出现。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 例子：例子：“凡羊有两只角，凡羊有两只角，是一只羊，是一只羊，有两只有两只角角”，这里，这里，“羊羊”是中项，是中项，“两只角两只角”(的动物的动物)是大是大项，项，是小项。是小项。看一个哲学中的三段论：看一个
8、哲学中的三段论：世界是物质的，世界是物质的，意识是世界的一部分，意识是世界的一部分，所以，意识是物质的。所以，意识是物质的。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 大前提应修改为大前提应修改为“世界的本源是物质的世界的本源是物质的”。下面。下面按修改后的大前提再作一三段推论：按修改后的大前提再作一三段推论：世界的本源是物质的世界的本源是物质的 意识是世界的一部分意识是世界的一部分 所以，意识的本源是物质的。所以，意识的本源是物质的。物质与意识是有密切联系的，却不能看成是一回物质与意识是有密切联系的，却不能看成是一回事，也不能把一者看成是包含另一者的。太阳与地球事，也不能把一者
9、看成是包含另一者的。太阳与地球紧密联系着，但太阳是太阳，地球是地球。紧密联系着，但太阳是太阳，地球是地球。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 唯物论认为物质是第一性的，意识是第二性的，唯物论认为物质是第一性的，意识是第二性的，这就是说，意识的本源是物质的。但决不认为意识本这就是说，意识的本源是物质的。但决不认为意识本身就是物质的或者意识是物质的一部分。否则，并不身就是物质的或者意识是物质的一部分。否则，并不是正确的认识了物质与意识的关系，而是混淆了两者是正确的认识了物质与意识的关系，而是混淆了两者的关系。的关系。辩证唯物主义还认为，在一定条件下，物质可以辩证唯物主义还认为
10、，在一定条件下，物质可以变精神，精神可以变物质。变精神，精神可以变物质。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 数学的事实还证明，数学是要求严格遵守形式逻数学的事实还证明，数学是要求严格遵守形式逻辑的，这一点不仅不妨碍辩证思维的发展，而且还为辑的，这一点不仅不妨碍辩证思维的发展，而且还为把握辩证逻辑提供了必需的基础。把握辩证逻辑提供了必需的基础。当我们说到公理的作用的时候，并不是说人文学当我们说到公理的作用的时候，并不是说人文学科、社会学科都应当建立在公理的基础上，甚至它们科、社会学科都应当建立在公理的基础上，甚至它们能不能做到这一点我们也还不知道。但是，至少，公能不能做到这
11、一点我们也还不知道。但是，至少，公理的方法也是能给我们在人文科学、社会科学中进行理的方法也是能给我们在人文科学、社会科学中进行推理的时候亦须注意或借鉴的基本事项。推理的时候亦须注意或借鉴的基本事项。一、一、公理方法的作用公理方法的作用22 三月 2023 1.归纳，类比归纳，类比 不完全归纳是发现的开始，是创造的开始，是十不完全归纳是发现的开始，是创造的开始，是十分珍贵的思维形式之一。另一方面的事实是，儿童从分珍贵的思维形式之一。另一方面的事实是，儿童从小就有归纳的经历，小就有归纳的经历，12岁的小孩的语言符号就在迅岁的小孩的语言符号就在迅速增加，第二信号系统在迅速扩张。其所以能这样，速增加，
12、第二信号系统在迅速扩张。其所以能这样，原因之一就是他们首先是接触归纳，并且能接受归纳。原因之一就是他们首先是接触归纳，并且能接受归纳。小孩子数小孩子数(sh)数数(sh)，开始学个位数困难一点，开始学个位数困难一点，然后学十几、二十几，也困难一点，再往后学三十几、然后学十几、二十几，也困难一点，再往后学三十几、四十几、四十几、的两位数就不是很困难了，到了小学高的两位数就不是很困难了，到了小学高年级，很大很大的数也能数年级，很大很大的数也能数(sh)。这也是归纳能力的。这也是归纳能力的表现。表现。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用22 三月 2023 可能有可能有3个问题：一是不太清楚儿童是有
13、归纳能个问题：一是不太清楚儿童是有归纳能力力(不完全归纳不完全归纳)；二是不太清楚不完全归纳的珍贵；二是不太清楚不完全归纳的珍贵；三是不太清楚在加强收敛性训练、演绎训练的同时，三是不太清楚在加强收敛性训练、演绎训练的同时，不仅不应磨损了儿童的归纳品质，而且还继续关注他不仅不应磨损了儿童的归纳品质，而且还继续关注他们在这方面的发展。们在这方面的发展。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 怎么算怎么算?只要舍得花时间，一个个加就是了；如只要舍得花时间，一个个加就是了；如果要加到果要加到9 999，时间上也花不起了。高斯小时候就有，时间上也花不起了。高斯小时候就有一个办法，两头相加，一个办法，两头相
14、加，1+99=100，2+98=100，这样，这样，首尾共有首尾共有49对，还有中间一个对，还有中间一个50不与什么数搭对了，不与什么数搭对了，于是结果马上出来了：于是结果马上出来了：49100+50=4 950，二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 与高斯同样的思想，任何等差级数的求和都容易与高斯同样的思想，任何等差级数的求和都容易了，特别是正整数列求和：了，特别是正整数列求和：。平方数求和呢平方数求和呢?通常见到的是，一下子公式就给通常见到的是，一下子公式就给出来了：出来了：随后便要求用数学归纳法证明。随后便要求用数学归纳法证明。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 ，这似乎还看不出什么来
15、。我们还作些观察，并列出，这似乎还看不出什么来。我们还作些观察，并列出一个表来看，为了方便，我们使用两个记号：一个表来看，为了方便，我们使用两个记号：，二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用我们看到了第我们看到了第8项，似已项，似已(由不完全归纳由不完全归纳)看出看出 ，这样，似可得到这样，似可得到二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用12345678136101521283615143055911402041 数学归纳法其所以是必要的，是因为它的逻辑数学归纳法其所以是必要的，是因为它的逻辑严谨，是进一步的可靠性保证，它的证明所包含的严谨，是进一步的可靠性保证，它的证明所包含的两个步骤是必不可少的
16、，还要强调的是：少了一步两个步骤是必不可少的，还要强调的是：少了一步都有危险。都有危险。完全归纳与不完全归纳相互联系，相互依赖，完全归纳与不完全归纳相互联系，相互依赖，各有优点又各有缺陷。不完全归纳的优点是发现，各有优点又各有缺陷。不完全归纳的优点是发现，开拓，思维形式多样、活泼。缺陷则在它的严谨性、开拓，思维形式多样、活泼。缺陷则在它的严谨性、可靠性上尚有疑问。两者皆可贵，两者联合起来更可靠性上尚有疑问。两者皆可贵，两者联合起来更珍贵。珍贵。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 类比是不能登上论证推理的大雅之堂的，可是，类比是不能登上论证推理的大雅之堂的，可是，类比是非常重要的发现式思维，非
17、常重要的创造性思类比是非常重要的发现式思维，非常重要的创造性思维。它和不完全归纳一样，虽不属于论证推理，但它维。它和不完全归纳一样，虽不属于论证推理，但它们都属于似真推理，它们不最后确证真理，却是逼近们都属于似真推理，它们不最后确证真理，却是逼近真理的必要途径之一。真理的必要途径之一。(不完全不完全)归纳由个别归纳由个别(或特殊或特殊)去发现一般去发现一般(或普遍或普遍)，类比则是由此去发现彼或由彼去发现此。归纳是发，类比则是由此去发现彼或由彼去发现此。归纳是发现同类事物之间的联系，类比是发现不同类别之间的现同类事物之间的联系，类比是发现不同类别之间的联系。归纳和类比都是想象的具体形式。联系。
18、归纳和类比都是想象的具体形式。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用是一个发散级数是一个发散级数(其和不存在，或为无穷大其和不存在，或为无穷大)，但是的情况则不同。又恰是上面那个发散级数给人但是的情况则不同。又恰是上面那个发散级数给人以启示，人们得到结论：当以启示，人们得到结论：当 时时 发散，而发散，而当时当时 它是收敛的。特别，当它是收敛的。特别，当 时，即级数时，即级数是收敛的。是收敛的。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 欧欧拉拉不不愧愧为为伟伟大大的的数数学学大大师师，当当然然也也可可称称他他是是一一位位善善于于归归纳纳、类类比比的的大大师师，他他还还是是一一位位善善于于创创造造性性
19、地地运运用用符符号号的的大大师师(使使用用最最经经济济有有效效的的符符号号表表达达)。就就在在前一个求和的基础上，他还探讨了以下级数的和：前一个求和的基础上，他还探讨了以下级数的和：这个和是这个和是 。而且他还猜测。而且他还猜测 (是某是某个正整数个正整数)。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用2.直觉直觉 虽然我们可以把直觉明确叙说为直接的觉察，但虽然我们可以把直觉明确叙说为直接的觉察，但似乎也不能给人以明晰的感觉：直觉究竟是什么？然似乎也不能给人以明晰的感觉：直觉究竟是什么？然而，我们可在进一步的具体讨论中去把握。而，我们可在进一步的具体讨论中去把握。直觉是指对事物直接的觉察、领悟甚至是印
20、象。直觉是指对事物直接的觉察、领悟甚至是印象。“这个人看来不是个好人。这个人看来不是个好人。”为什么？为什么？“凭我的直觉。凭我的直觉。”说不出很明确的理由来。日常生活中的这种直觉多说不出很明确的理由来。日常生活中的这种直觉多的是。的是。数学直觉则是指对数学对象或问题数学直觉则是指对数学对象或问题(性质、关系或性质、关系或结构结构)的直接领悟或觉察。的直接领悟或觉察。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 1617年，笛卡儿还在军营里服役，但服役期间年，笛卡儿还在军营里服役，但服役期间就经常思考数学问题，并解决过一些问题。就经常思考数学问题，并解决过一些问题。1619年年11月月10日，他带着一
21、系列思索入睡了，一连作了几日，他带着一系列思索入睡了，一连作了几个梦，这天晚上他感到自己个梦，这天晚上他感到自己“发现了一种不可思议发现了一种不可思议的科学的基础的科学的基础”，笛卡儿后来说：，笛卡儿后来说：“第二天，我开第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理始懂得这惊人发现的基本原理”。笛卡儿。笛卡儿1619年的年的这一直觉发现，于这一直觉发现，于1637年出版年出版更好地指导推理和更好地指导推理和寻求科学真理的方法论寻求科学真理的方法论一书，时隔一书，时隔18年，直觉作年，直觉作了先导。了先导。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 1880年，庞加莱在寻求单复变自守函数的变换方年，庞加莱在
22、寻求单复变自守函数的变换方法时，进行了长时间的工作，但毫无所获，有一天，法时，进行了长时间的工作，但毫无所获，有一天，他决定暂时把工作搁下来，去乡下旅行，然而当他刚他决定暂时把工作搁下来，去乡下旅行，然而当他刚登上车时，一个新颖的思想突然闪现，问题的答案可登上车时，一个新颖的思想突然闪现，问题的答案可能就是那个非欧几何变换。能就是那个非欧几何变换。伯克利数学研究所所长开普兰斯基在谈到自己的伯克利数学研究所所长开普兰斯基在谈到自己的体验时说：体验时说：“当一个难题纠缠你时，你会在长时间内当一个难题纠缠你时，你会在长时间内一无进展。有时某些东西数月甚至数年被你忽视，而一无进展。有时某些东西数月甚至
23、数年被你忽视，而后你突然间有了意想不到的发现，可你却不知道它是后你突然间有了意想不到的发现，可你却不知道它是从什么地方冒出来的。从什么地方冒出来的。”二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 3.直觉的特性直觉的特性 心理学上，把直觉分为三个层次：直觉判断，心理学上，把直觉分为三个层次：直觉判断，猜测，洞察；从直觉的不同特点看，直觉又分为辨猜测，洞察；从直觉的不同特点看，直觉又分为辨识直觉、关联直觉、审美直觉；从对直觉形成的不识直觉、关联直觉、审美直觉；从对直觉形成的不同理解上看，又可分为综合型的、类推型的和选择同理解上看，又可分为综合型的、类推型的和选择型的。这里，我们所要讨论的是直觉的一些共同
24、特型的。这里，我们所要讨论的是直觉的一些共同特点。点。(1)非逻辑性非逻辑性 (2)偶然性，自发性偶然性，自发性 (3)易逝性易逝性 (4)情感性情感性 二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 这些特点对增强自己直觉能力有许多实际的、具体的启这些特点对增强自己直觉能力有许多实际的、具体的启示：示：a当你百思不得其解时，有意无意地搁置一下，去做当你百思不得其解时，有意无意地搁置一下，去做做别的事情，这种转换期间获得灵感的可能性是存在的。做别的事情，这种转换期间获得灵感的可能性是存在的。b当你持久的思索仍找不到答案的时候，暂时忘却它，当你持久的思索仍找不到答案的时候，暂时忘却它，可能还会增加产生其他
25、联想的机会，不仅在不同的工作之间可能还会增加产生其他联想的机会，不仅在不同的工作之间而且在工作与休闲之间转换。而且在工作与休闲之间转换。c有意思地进行各种形式的学术交流是十分必要的，阅有意思地进行各种形式的学术交流是十分必要的，阅读同一学科的不同观点的论文，甚至阅读一点不同学科的论读同一学科的不同观点的论文，甚至阅读一点不同学科的论文或著作，尤其要有面对面的学术交流或思想碰撞。文或著作，尤其要有面对面的学术交流或思想碰撞。d与人合作是重要的，学术自由是重要的。与人合作是重要的，学术自由是重要的。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 e别忘了一些特殊的时辰有特殊的作用，别忘了别忘了一些特殊的时辰
26、有特殊的作用，别忘了一些特殊的地点和场合也有特殊的效果。一些特殊的地点和场合也有特殊的效果。f直觉出现的突然性、易逝性直接提醒我们，偶直觉出现的突然性、易逝性直接提醒我们，偶然进发出来的思想火花应及时记载下来。然进发出来的思想火花应及时记载下来。g被记下的思想还需要进一步去琢磨它，因为直被记下的思想还需要进一步去琢磨它，因为直觉的可靠性还需要再检验。觉的可靠性还需要再检验。h直觉出现的非逻辑性、随机性、易逝性等等，直觉出现的非逻辑性、随机性、易逝性等等，都不表明偶然性在支配一切。勤于思索是最重要的基础，都不表明偶然性在支配一切。勤于思索是最重要的基础，没有这一必要基础，一切机遇都会丧失。没有这
27、一必要基础，一切机遇都会丧失。二、数学直觉的作用二、数学直觉的作用 在人类文明中，有物质文明和精神文明两翼；在人在人类文明中，有物质文明和精神文明两翼；在人类知识宝库中，有科学技术和人文、社会两翼；在人类类知识宝库中，有科学技术和人文、社会两翼；在人类创造之中，有直觉与逻辑的两翼；很巧，人的大脑也有创造之中，有直觉与逻辑的两翼；很巧，人的大脑也有两翼：左半脑和右半脑两翼：左半脑和右半脑这构成了奇特的人类现象。这构成了奇特的人类现象。1.直觉与逻辑的互补直觉与逻辑的互补 一个人的逻辑能力和直觉能力都是必要的，但很难一个人的逻辑能力和直觉能力都是必要的，但很难说清什么比例是最佳的，由于两种能力的性
28、质不同，更说清什么比例是最佳的，由于两种能力的性质不同，更难以用定量的方式刻画这种比例。一个具有创造力的人，难以用定量的方式刻画这种比例。一个具有创造力的人，决不能只有其一而缺另一。决不能只有其一而缺另一。三、左右脑开发三、左右脑开发 当创造当创造(包括学习中的创造包括学习中的创造)过程中直觉出现以后，过程中直觉出现以后，随之而来的一般是逻辑的加工和整理。科学工作的最随之而来的一般是逻辑的加工和整理。科学工作的最终产品不是直觉，它必须有明确的结论和相应的理论终产品不是直觉，它必须有明确的结论和相应的理论系统。系统。相比于逻辑，直觉有时更困难，直觉更需要人的相比于逻辑，直觉有时更困难，直觉更需要
29、人的想象力、创造力。然而，对直觉成果的逻辑加工也不想象力、创造力。然而，对直觉成果的逻辑加工也不是一件简单的事。是一件简单的事。甚至有这样的例子，从直觉的意义上人们无法接甚至有这样的例子，从直觉的意义上人们无法接受的东西，逻辑上却证明了它的存在，人们还是不能受的东西，逻辑上却证明了它的存在，人们还是不能不接受它，即使不情愿，即使你厌恶它。这是逻辑与不接受它，即使不情愿，即使你厌恶它。这是逻辑与直觉的互补作用。直觉的互补作用。三、左右脑开发三、左右脑开发2.左右脑问题左右脑问题 左脑主要是语言的，分析的，数理的，以及逻辑推理的左脑主要是语言的，分析的，数理的，以及逻辑推理的功能，其运行犹如串行的
30、、继时的信息处理，是因果式的思功能，其运行犹如串行的、继时的信息处理，是因果式的思考方式，循序渐进，以线性方式处理信息。考方式，循序渐进，以线性方式处理信息。左脑是左脑是“语言中枢语言中枢”，负责理解文字、语言、数字计算，负责理解文字、语言、数字计算，将复杂的问题或事物细分成单个的要素，有条理地展开思维，将复杂的问题或事物细分成单个的要素，有条理地展开思维，具有确定性、收敛性的特点，并负责解决可行性问题。这是具有确定性、收敛性的特点，并负责解决可行性问题。这是左脑的特点，也是优点，却同时也预示了左脑的缺点。左脑的特点，也是优点，却同时也预示了左脑的缺点。左脑能处理抽象领域里的问题，却无法处理形
31、象领域里的问左脑能处理抽象领域里的问题，却无法处理形象领域里的问题；左脑在逻辑领域里畅行，却难以处理非逻辑领域的问题；题；左脑在逻辑领域里畅行，却难以处理非逻辑领域的问题；左脑在语言文字、符号数字所及的范围大显神通，却不能处左脑在语言文字、符号数字所及的范围大显神通，却不能处理尚未能用符号、语言表达而只能依赖直觉的问题。理尚未能用符号、语言表达而只能依赖直觉的问题。三、左右脑开发三、左右脑开发 右脑具有形象性、非逻辑性，它有右脑具有形象性、非逻辑性，它有“纵观全局纵观全局”的的本领，它的触角可以伸展到意想不到的角落，它能处理本领，它的触角可以伸展到意想不到的角落，它能处理尚未用语言符号正式表达
32、的问题。右脑抗干扰，能在任尚未用语言符号正式表达的问题。右脑抗干扰，能在任何状态中何状态中(甚至在睡眠状态下甚至在睡眠状态下)不停地工作。顿悟、灵感常不停地工作。顿悟、灵感常常在无意识状态下产生，这正是右脑的作用。所以，右常在无意识状态下产生，这正是右脑的作用。所以，右脑是灵感、直觉、想象等创造性思想火花闪现的地方，脑是灵感、直觉、想象等创造性思想火花闪现的地方，是顿悟的发源地。是顿悟的发源地。如果不重视如果不重视(不完全不完全)归纳、类比、联想及一般的直觉归纳、类比、联想及一般的直觉训练，不重视非形式化内容或不重视对数学思想实质的训练，不重视非形式化内容或不重视对数学思想实质的介绍，右脑的训
33、练也就很微弱，右脑的许多优点就难以介绍，右脑的训练也就很微弱，右脑的许多优点就难以发扬，右脑的开发就会碰到极大的困难。发扬，右脑的开发就会碰到极大的困难。三、左右脑开发三、左右脑开发 左右脑都有突出的优点，同时又都有各自的局限，左右脑都有突出的优点，同时又都有各自的局限，因此，左右脑的同时开发是重要的，左右脑的相互配因此，左右脑的同时开发是重要的，左右脑的相互配合是更重要的。左右脑的同时开发是人的全面发展的合是更重要的。左右脑的同时开发是人的全面发展的重要内容。因此，同时注意逻辑训练和直觉训练的教重要内容。因此，同时注意逻辑训练和直觉训练的教育是关系人的全面发展的大事情，是关系培养创造性育是关
34、系人的全面发展的大事情，是关系培养创造性人才的大事情。人才的大事情。右脑有很多特点，但右脑需要左脑的刺激，需要右脑有很多特点，但右脑需要左脑的刺激，需要左脑确定任务，并由左脑提供给右脑以能量和愉快心左脑确定任务，并由左脑提供给右脑以能量和愉快心境的必要条件，以及对右脑形成的初看起来并无依据境的必要条件，以及对右脑形成的初看起来并无依据的的“原材料原材料”进行逻辑加工，进行分析、整理。进行逻辑加工，进行分析、整理。三、左右脑开发三、左右脑开发 左脑有很多特点，但左脑需要右脑提供材料，甚至左脑有很多特点，但左脑需要右脑提供材料，甚至在抽象时也需要右脑配合，例如在强抽象在抽象时也需要右脑配合，例如在
35、强抽象(内涵增加，外内涵增加，外延缩小延缩小)和完全理想化的抽象和完全理想化的抽象(如物理学中的质点概念，几如物理学中的质点概念，几何学中的点线面概念何学中的点线面概念)中，需要右脑的综合、想象来加以中，需要右脑的综合、想象来加以辅助。辅助。左脑犹如一位专门家，右脑则犹如一位万能博士；左脑犹如一位专门家，右脑则犹如一位万能博士；左脑好比一个善于分析的战术指挥官，右脑则是一位能左脑好比一个善于分析的战术指挥官，右脑则是一位能“纵观全局纵观全局”的战略家；左脑宛如一盘盘录像带，看到的战略家；左脑宛如一盘盘录像带，看到的情景，闻到的气味，听到的音频，被收录下来，像一的情景，闻到的气味，听到的音频，被
36、收录下来，像一座巨型仓库，为了便于提取、组合，右脑就给录像带进座巨型仓库，为了便于提取、组合，右脑就给录像带进行分类、编排并贴上标签。左右脑是能彼此配合的。行分类、编排并贴上标签。左右脑是能彼此配合的。三、左右脑开发三、左右脑开发 3.关注右脑开发关注右脑开发 许多重大的成就可说是人脑胼胝体的伟大功绩；许多重大的成就可说是人脑胼胝体的伟大功绩；反过来，人脑胼胝体作用的充分发挥，左右脑的充分反过来，人脑胼胝体作用的充分发挥，左右脑的充分配合，便是取得重大数学成就的保证。配合，便是取得重大数学成就的保证。(1)右脑开发的潜力还很大右脑开发的潜力还很大 右脑的记忆容量大约是左脑的右脑的记忆容量大约是
37、左脑的100万倍，而且，万倍，而且，右脑右脑(区别于左脑区别于左脑)的识别能力是惊人的。的识别能力是惊人的。学前儿童更多的是右脑思维，入学后左脑思维训学前儿童更多的是右脑思维，入学后左脑思维训练逐渐增加，尤其是数学学习，大多偏于左脑训练，练逐渐增加，尤其是数学学习，大多偏于左脑训练，这使得右脑的充分开发遇到了本不应遇到的危险。这使得右脑的充分开发遇到了本不应遇到的危险。三、左右脑开发三、左右脑开发 (2)右脑开发的意义也特别大右脑开发的意义也特别大 脑科学证明了右脑的特殊功能，心理学家证明了脑科学证明了右脑的特殊功能，心理学家证明了发散思维的存在与特殊作用，众多的科学家自述了自发散思维的存在与
38、特殊作用，众多的科学家自述了自己的直觉思维在自己成功道路上的特殊影响，所有这己的直觉思维在自己成功道路上的特殊影响，所有这些可说是些可说是“异曲同工异曲同工”地说明了右脑开发的重大意义。地说明了右脑开发的重大意义。三、左右脑开发三、左右脑开发 (3)电脑替代右脑的能力更差电脑替代右脑的能力更差 电脑发展至今，已能替代人的相当一部分劳动，主要电脑发展至今，已能替代人的相当一部分劳动，主要表现在：表现在：a进行人力所难以想象的大量计算；进行人力所难以想象的大量计算；b进行逻辑论证；进行逻辑论证；c进行记忆性储存；进行记忆性储存；d通过人机对话帮助理解；通过人机对话帮助理解；e部分的识别能力。部分的
39、识别能力。除了第五种外，其他基本上是替代左脑劳动的，而第除了第五种外，其他基本上是替代左脑劳动的，而第五种尚属相对薄弱的。五种尚属相对薄弱的。综合判断、形象思维、奇思妙想等创造特色极强的工综合判断、形象思维、奇思妙想等创造特色极强的工作、直觉的活动等这些右脑的功能是电脑目前尚无法替代作、直觉的活动等这些右脑的功能是电脑目前尚无法替代的。的。三、左右脑开发三、左右脑开发 (4)开发右脑的实际办法也不多开发右脑的实际办法也不多 目前，我国教育改革就包含了教学改革，教学改目前，我国教育改革就包含了教学改革，教学改革的要义之一便是教学内容的改革，这一改革应从历革的要义之一便是教学内容的改革，这一改革应从历史学、从心理学、从脑科学那里获得启示。史学、从心理学、从脑科学那里获得启示。数学讲究严谨，这是应当的。但是，并非只有严数学讲究严谨，这是应当的。但是，并非只有严谨的一面，讲述数学是如何从不严谨到严谨的过程比谨的一面，讲述数学是如何从不严谨到严谨的过程比仅讲严谨要好得多，也重要得多。仅讲严谨要好得多，也重要得多。三、左右脑开发三、左右脑开发22 三月 2023